吉林省吉林市2019届高三第一次摸底考试数学理试题
发布时间:2019-01-13 16:03:13
发布时间:2019-01-13 16:03:13
吉林市2019届高三第一次摸底考试
数学理试题
一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求.
1.计算:=( )
A. i+1 B. i﹣1 C. ﹣i+1 D. ﹣i﹣1
2.已知A⊆B,A⊆C,B={1,2,3,5},C={0,2,4,8},则A可以是( )
A. {1,2} B. {2,4} C. {2} D. {4}
3.已知条件p:x2﹣2ax+a2﹣1>0,条件q:x>2,且q是p的充分而不必要条件,则a的取值范围是( )
A. a≥1 B. a≤1 C. a≥﹣3 D. a≤﹣3
4.某程序图如图所示,该程序运行后输出的结果是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5.已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为.则该几何体的俯视图可以是( )
6.将函数f(x)=2sin(+)的图象向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )
A. g(x)=2sin(+)﹣1 B. g(x)=2sin(﹣)+1
C. g(x)=2sin(﹣)+1 D. g(x)=2sin(﹣)﹣1
7. 已知等差数列{an}的公差为2,若前17项和为S17=34,则a12的值为( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
8.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若b2﹣c2=ac,sinA=2sinC,则B=( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
9. 在(x﹣)8的二项展开式中,常数项为( )
A. 1024 B. 1324 C. 1792 D. ﹣1080
10.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1),则双曲线的焦距为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
11. △ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上的一点(包括端点),则•的取值范围是( )
A. [1,2] B. [0,1] C. [0,2] D. [﹣5,2]
12. 对函数f(x),若∀a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)为一三角形的三边长,则称f(x)为“三角型函数”,已知函数f(x)=(m>0)是“三角型函数”,则实数m的取值范围是( )
A. [1,4] B. [0,2] C. [2,4] D. [1,2]
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知x,y满足不等式组,则目标函数z=2x+y的最大值为 _________ .
14.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则下列四个命题:
①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β; ④l⊥m⇒α∥β
其中正确命题的序号是 _________ .
15. 若动直线x=a与函数f(x)=sinxcosx和g(x)=cos2x的图象分别交于M,N两点,则|MN|的最大值为 _________ .
16. 若数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),则该数列的前2019项的乘积a1•a2•a3•…a2019= _________ .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知△ABC中,a,b,c为角A,B,C所对的边,3bcosA=ccosA+acosC.
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)若△ABC的面积为2,a=3,求b,c的长.
18.(12分)已知数列{an}是公差大于零的等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=1,b1=2,b2﹣a2=1,a3+b3=13
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式
(Ⅱ)设cn=anbn,求数列{cn}前n项和Tn.
19.(12分)一企业某次招聘新员工分笔试和面试两部分,人力资源部经理把参加笔试的40名学生的成绩分组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100),得到频率分布直方图如图所示
(Ⅰ)分别求成绩在第4,5组的人数
(Ⅱ)若该经理决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名进入面试,
①已知甲和乙的成绩均在第3组,求甲和乙同时进入面试的概率
②若经理决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试,设第4组中有X名学生被考官D面试,求X的分布列和数学期望.
20.(12分)一个多面体的直观图(图1)及三视图(图2)如图所示,其中M,N分别是AF、BC的中点
(Ⅰ)求证:MN∥平面CDEF:
(Ⅱ)求二面角A﹣CF﹣B的余弦值;
21.(12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,并且经过定点P(,).
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)问是否存在直线y=﹣x+m,使直线与椭圆交于A、B两点,满足OA⊥OB,若存在求m值,若不存在说明理由.
22.(12分)已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).
(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=x2﹣2x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.
数 学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题:
二、填空题:
13.6 14. 15. 16. - 6
三、解答题:
17.解:(Ⅰ)由正弦定理得:
----------------------------------------------------------------------5分
(Ⅱ)由题意得:,即: ------------------ 7分
由余弦定理得:
联立上述两式,解得:或. ---------------------------10分
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设数列的公差为,数列的公比为
由已知得:,解得: --------------------3分
因为,所以,
即 ------------------------------------------6分
(Ⅱ)
(2)-(1)得:
---------------------------------12分
19.(本小题满分12分)
解(Ⅰ)第4组学生人数为,第5组人数为
所以第4,5组的学生人数分别为8人,4人 -----------------------------------------4分
(Ⅱ)因为第3组学生人数为,所以第3,4,5中抽取的人数分别是
3人,2人,1人,则甲,乙同时进入面试的概率为 ---------------------8分
由知,X的可能取值为0,1,2
所以
X分布列为
--------------------------------------------- 12分
20.(本小题满分12分)
解(1)证明:由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB=BC=BF=4,DE=CF=,
,连结BE, M在BE上,连结CE
EM=BM,CN=BN, 所以∥,所以平面 ------5分
()
--------------------------------------9分
-------------------------------------------------------12分
word/media/image72_1.png
()另解:以EA,AB,AD所在直线为x轴,y轴,z轴建立空
间直角坐标系,
所以
面CBF法向量为
-----------------8分
设面ACF法向量为,
取,所以
设二面角word/media/image80_1.png为, -----------12分
21.(本小题满分12分)
解(Ⅰ)由题意:且,又
解得:,即:椭圆E的方程为 ------------------5分
(Ⅱ)设
(*)
所以 --------------------------------------------------7分
-----------------------------------9分
由
得----------11分
又方程(*)要有两个不等实根,
m的值符合上面条件,所以 ------------------------------------------12分
22.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由已知, ,所以斜率,
又切点,所以切线方程为),即
故曲线在处切线的切线方程为。 -----------------4分
(Ⅱ)
①当时,由于,故,,所以的单调递增区间为. ---------------------------------------------6分
②当时,由,得.
在区间上,,在区间上,,
所以,函数的单调递增区间为,单调递减区间为. --------8分
(3)由已知,转化为. ,所以
由(2)知,当时,在上单调递增,值域为word/media/image121_1.png,故不符合题意.
(或者举出反例:存在,故不符合题意.)
当时,在上单调递增,在上单调递减,
故的极大值即为最大值,,
所以, 解得. -----------------------12分