年级 __________________专业____________________姓名______________________座号___________________成绩_____ ____

A、30º； B、45º； C、120º； D、135º. 山东科技大学继续教育学院 《高等数学》复习题

一、单项选择（5分×4=20分）

1、起终点为A（4，-7，1），B（6，2，z）的向量的模为11，则z的值为（ ） A、7， B、-5， C、7或-5， D、11. 2．过点（-3，1，5）且平行于x - 2y - 3z + 1 = 0的平面方程为（ ） A、x-2y-3z+20=0 ； B、x+2y-3z+20=0 ； C、x-2y+3z-20=0 ； D、x+2y+3z-20=0 . 3、P-级数∑

的收敛性为（ ） p

n=1n

∞

7、等比级数∑aqn的收敛性为（ ）

n=0

∞

A．q=1时收敛 C．q＜1时收敛

B．q＞1时收敛 D．q≥时收敛

8、设f(x,y)=exy+yx2+sinx，则fy'(1,2)=( )

A、 e2+4 B、 e2+1 C、 2e2+4 D、2e2+1 9、起终点为A（4，-7，1），B（6，2，z）的向量的模为11，则z的值为（ ） A、7， B、-5， C、7或-5， D、11.

10.以A（4，3，1）、B（7，1，2）、C（5，2，3）为顶点的三角形是（ ） A、等边三角形； B、直角三角形； C、等腰三角形； D、等腰直角三角形。 11、等比级数∑aqn的收敛性为（ ）

n=0∞

A．P=1时收敛； C．P＞1时收敛；

B．P＜1时收敛 D．P≤1时收敛

4．以A（4，3，1）、B（7，1，2）、C（5，2，3）为顶点的三角形是（ ） A、等边三角形； B、直角三角形； C、等腰三角形； D、等腰直角三角形。

5．过点（-3，1，5）且平行于x-2y-3z+1=0的平面方程为（ ） A、x-2y-3z+20=0 ； B、x+2y-3z+20=0 ； C、x-2y+3z-20=0 ； D、x+2y+3z-20=0 .

6、两向量a＝{1，1，－4}与b＝{1，－2，2}之间的夹角为（ ）

A．q=1时收敛 C．q＜1时收敛

B．q＞1时收敛 D．q≥时收敛

12、设f(x,y)=exy+yx2+sinx，则fy'(1,2)=( ) A、 e2+4 B、 e2+1 C、 2e2+4 D、 2e2+1

二、填空题：（5分×4=20分）

（高等数学 共6页 第1页）

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1、两向量a＝{1，1，－4}与b＝{1，－2，2}之间的夹角为

∂z

2、设z = lnsin(x-2y)，则=

∂y

五（10分）、计算二重积分⎰⎰xydxdy，其中D为直线y = x²与y²=x所围成的

D

平面区域。

3、过点（2，0，-1）且平行于直线

x-3y-1z-2

的直线方程为 ==

112

六（10

4、平分A（1，2，3）和B（2，-1，4）间的线段且和它垂直的平面方程为

5、a = 2i + j – k与b = i + j + 2k的和向量的单位向量是分）、设z=arctan(uv),而u = x-2y，v = y +2x, 求：

∂z

， . ∂x

xy

在点（1，1）处的偏导数为 2 x+y

7、以A(1,0,3)、B(0,1,3)和原点为顶点的三角形的面积是 6、．二元函数f(x,y)=

七（20分）、求下列微分方程 的通解：

8、经过（3，2，1）和（4，3，3）两点的直线方程为

9、a = 2i + j – k与b = i + j + 2k的和向量的单位向量是

（1）、sec²x coty dx - csc²y tanx dy = 0

10、经过（3，－2，－1）和（5，4，5）两点的直线方程为

∂z

= 11、设z = lnsin(x-2y)，则

∂y （2）、y″＋y′— 2y＝0 12、过点（2，0，-1）且平行于直线

x-3y-1z-2π的直线方程为 ==

八（10分）、求函数z = x sin(x+y) 在点（112

，

π

）处的全微分。 2

三（10分）、求函数z=x2+y2- 4xy在点（1，1）处的全微分。

四（10分）、求幂级数∑

n+1n

x的收敛半径和收敛区间. nn=1

∞

九（10分）、计算二重积分⎰⎰xydxdy，其中D为直线y² = x与y=x2所围成的平

D

面区域。

（高等数学 共6页 第2页）

年级 __________________专业____________________姓名______________________座号___________________成绩_____ ____ 十（10分）、求幂级数∑n+1nx的收敛半径和收敛区间.

∞

十六（10分）、设z = arctan(uv),而u = x-2y，v = y +2x, 求：∂z，

n=1n

∂z

十一（10分）、设z=arctan(uv),而u = x-2y，v = y +2x, 求：∂x， . 十七（20分）、求下列微分方程的通解：

（1）( x²-1) y′+ 2xy –cosx = 0

十二（20分）、求下列微分方程的通解： （2）y″＋6y′＋9y＝0的通解。

（1）( x²-1) y′ + 2xy –cosx=0

参考答案

（2）y″＋6y′+9y＝0 一、单项选择（5分×4=20分）

十三（10分）、求函数z=x2+y2- 4xy在点（1，1）处的全微分。 1. C 2. A 3. C 4. C

5．A 6. D 7. C 8. B

十四（10分）、计算二重积分⎰⎰xydxdy，其中D为直线y² = x与y=x2所围成的9. C 10. C 11. C 12. B

D

平面区域。

二、填空题：（5分×4=20分）

1. 3

4π 2. -2cot(x-2y) 3. x-2

1=y

1=z+1

2

∞

十五（10分）、求幂级数∑n+1

nxn的收敛半径和收敛区间

.

n=15. ±1(3i+2j+k) 6. fx(1,1)=1

4，fy(1,1)=0 7. 2 8. x-3

1=y-2

1=z-1

2

（高等数学 共6页 第3页） ∂x 4. x-3y+z-72=0

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x-3y+2z+1

==(3i+2j+k) 10. 9. ± 1331

csc2ysec2xcsc2ysec2x

解：分离变量为dy=dx，两边积分⎰dy=⎰dx得

cotytanxcotytanx

-⎰

11

d(coty)=⎰d(tanx)，整理为 cotytanx

11. -2cot(x-2y) 12.

x-2yz+1

== 112

∂z∂z

=2x-4y，=2y-4x，故zx(1,1)=-2，zy(1,1)=-2 三 解：∂x∂y

-ln(coty)=ln(tanx)-lnC，即：tanxcoty=C

（2） y″＋y′— 2y＝0

解：特征方程为r2+r-2=0，根为r=-2,r=1 通解为y=C1e-2x+C2ex 八 解：

∂z∂z

=sin(x+y)+xcos(x+y)，=xcos(x+y) ∂x∂y

从而函数在（1，1）处的全微分为：dz=-2dx-2dy

n+2

n(n+2)

=1，故收敛半径R=1 四 解：limn+1=lim

n→∞n+1n→∞(n+1)2

n

收敛区间为（-1，1）

2

⎧⎪y=x

五 解：方程联立⎨得交点（0，0），（1，1），积分域可以看作X-型区域，2

⎪⎩x=y

ππππππ

故zx(,)=-， zy(,)=-

222222从而函数在（

ππππ

，）处的全微分为：dz=-dx-dy

2222

积分限为0≤x≤1，x2≤y≤x，从而

⎰⎰xydxdy=⎰dx⎰

D

1x

x2

111x3x614

xydy=⎰x(x-x)dx=(-)=

20236012

1

2

⎧⎪y=x

九 解：方程联立⎨得交点（0，0），（1，1），积分域可以看作X-型区域，2

⎪⎩x=y

积分限为0≤x≤1，x2≤y≤x，从而

六 解：

∂z∂z∂u∂z∂vv2u4x-3y

=+=+=

∂x∂u∂x∂v∂x1+(uv)21+(uv)21+(x-2y)2(2x+y)2

⎰⎰xydxdy=⎰dx⎰2xydy=

D

x

1x

11xx14

x(x-x)dx=(-)= 2⎰0236012

1

36

1

∂z∂z∂u∂z∂v-2vu-3x-4y

=+=+=2222

∂y∂u∂y∂v∂y1+(uv)1+(uv)1+(x-2y)(2x+y)

七 解：

（1） sec²x coty dx - csc²y tanx dy = 0

（高等数学 共6页 第4页）

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n+2

十 解：limn+1n→∞n+1=lim

n(n+2)

n→∞(n+1)2

=1，故收敛半径R=1 n

收敛区间为（-1，1） 十一 解：

∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x=v2u4x-3y

1+(uv)2+1+(uv)2=

1+(x-2y)2(2x+y)2

∂z∂z∂u∂z∂v-2vu-3x-4y

∂y=∂u∂y+∂v∂y=1+(uv)2+1+(uv)2=1+(x-2y)2(2x+y)

2

十二

（1）( x²-1) y′ + 2xy –cosx=0

解：整理方程y'+2x

x2

-1

y=cosx，这是一个一阶线性微分方程 2x

2x

y=e

-

⎰x2-1dx

(⎰e⎰x2

-1dxcosxdx+C)

通解的形式为=

12

x2-1

(⎰(x-1)cosxdx+C) =1x2-1

(x2sinx+2xcosx-3sinx+C)（2）y″＋6y′+9y＝0

解：特征方程为r2+6r+9=0，根为r=-3（二重根） 故方程的通解为y=e-3x(C1+C2x) 十三 解：

∂z∂x=2x-4y，∂z∂y

=2y-4x，故zx(1,1)=-2，zy(1,1)=-2 从而函数在（1，1）处的全微分为：dz=-2dx-2dy

（高等数学十四 解：方程联立⎧⎪⎨y=x

2

⎪x=y

得交点（0，0），（1，1），积分域可以看作X-型区域，⎩2

积分限为0≤x≤1，x2≤y≤x，从而

1

⎰⎰xydxdy=⎰1dxx

xydy=1D

⎰

x2

2⎰10x(x-x4

)dx=1x3x612(3-6)=

012

n+2

十五 解：limn+1n(n+2)

n→∞n+1=lim

n→∞(n+1)2

=1，故收敛半径R=1 n

收敛区间为（-1，1）

十六 解：

∂z∂z∂u∂z∂vv2u4x-∂x=∂u∂x+∂v∂x=3y

1+(uv)2+1+(uv)2=1+(x-2y)2(2x+y)

2

∂z∂z∂u∂z∂v-2vu-3x-∂y=∂u∂y+∂v∂y=1+(uv)2+1+(uv)2=

4y

1+(x-2y)2(2x+y)2

十七

（1）( x²-1) y′+ 2xy –cosx = 0

解：整理方程y'+2x

x2

-1

y=cosx，这是一个一阶线性微分方程 2x

y=e

-

⎰2x

x2-1dx

(⎰e⎰x2-1dx

cosxdx+C)

通解的形式为=

1x2-1

(⎰(x2

-1)cosxdx+C) =1x2-1

(x2sinx+2xcosx-3sinx+C)（2）y″＋6y′＋9y＝0的通解。

共6页 第5页）

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-3（二重根）

（高等数学 共6页 第6页） 解：特征方程为r2+6r+9=0，根为r=故方程的通解为y=e-3x(C1+C2x)

高等数学 复习题及答案1