青岛市二〇一五年初中学生学业考试

数 学 试 题

（考试时间：120分钟；满分：120分）

真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！

本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有24道题．第Ⅰ卷1—8题为选择题，共24分；

第Ⅱ卷9—14题为填空题，15题为作图题，16—24题为解答题，共96分．

要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．

第（Ⅰ）卷

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．

1．的相反数是（ ）．

A． B． C． D．2

2．某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 001s，把0.000 000 001s用科学计数法可以表示为（ ）．

A． B． C． D．

3．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（ ）．

A． B．2 C．3 D．

5．小刚参加射击比赛，成绩统计如下表

关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ）．

A．极差是2环 B．中位数是8环 C．众数是9环 D．平均数是9环

6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ）

A．30° B．35° C．45° D．60°

7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若

EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）．

A．4 B． C． D．28

8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，的取值范围是（ ）．

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9．计算：

10．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，那么

点A的对应点A＇的坐标是＿＿＿＿＿＿＿．

11．把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S（）与高之间的函数关系是为_________________________

12．如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1,1）、（-1,1），

把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得到正方形A＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇则正方形ABCD与正方形A＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇ 重叠部分形成的正八边形的边长为_____________________°．

13．如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E=30°，则∠F= ．

14．如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要 个小正方体，王亮所搭几何体表面积为________________.

三、作图题（本题满分4分）

用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

15．已知：线段，直线外一点A．

求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥，垂足为C）斜边AB＝c．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

16．（本小题满分8分，每题4分）

（1）化简：；　　　

（2）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围

17．（本小题满分6分）

某小学为了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：

（1）补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；

（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？

18．（本小题满分6分）

小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1~4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字。若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜。这个游戏对双方公平吗？请说明理由。

19．（本小题满分6分）

小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°

和35°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m。请求出热气球离地面的高度。

（结果保留整数，参考数据：，，

20．（本小题满分8分）

某厂制作甲、乙两种环保包装盒。已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料。

（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？

（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度与甲盒数量之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料。

21．（本小题满分8分）

已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为E．

（1）求证：△ABD≌△CAE；

（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？

请证明你的结论．

22．（本小题满分10分）

如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m。

（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

23．（本小题满分10分）

问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

问题探究：不妨假设能搭成种不同的等腰三角形，为探究之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论．

探究一：

（1）用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？

此时，显然能搭成一种等腰三角形。所以，当时，

（2）用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？

只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形

所以，当时，

（3）用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形

若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形

所以，当时，

（4）用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形

若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形

所以，当时，

综上所述，可得表

探究二：

（1）用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表中）

（2）分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

（只需把结果填在表中）

你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，……

解决问题：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

（设分别等于、、、，其中是整数，把结果填在表中）

问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

（要求写出解答过程）

其中面积最大的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒。（只填结果）

24．（本小题满分12分）

已知：如图，在□ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm．AC⊥AB。△ACD沿AC的方向匀速平移得到

△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动．如图，设运动时间为t(s)（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥MN？

（2）设△QMC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由．

（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择

二、填空

三、作图

四、解答题

16、（1）原式=

（2）由题知，解得，答：的取值范围是

17、（1） （2）

（3）

18、解：

共有16种等可能结果，其中大于5的有共有6种。

，因为，所以不公平。

19，解：如图，作AD⊥CB延长线于点D

由题知：∠ACD=35°、∠ABD=45°

在Rt△ACD中，∠ACD=35°

所以

在Rt△ABD中，∠ABD=45°

所以

由题

所以

解得m 答：热气球到地面的距离约为233米

20，解：（1）设制作每个乙盒用米材料，则制作甲盒用（1+20%）米材料

由题可得： 解得（米）

经检验是原方程的解，所以

答：制作每个甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料

（2）由题 ∴

∵，∴，∴当时，

21:，（1）证明：∵AB=AC ∴∠B=∠ACB

又因为AD是BC边上的中线

所以AD⊥BC，即∠ADB=90°

因为AE∥BC 所以∠EAC=∠ACB

所以∠B=∠EAC

∵CE⊥AE ∴∠CEA=90°

∴∠CEA=∠ADB

又AB=AC ∴△ABD≌△CAE（AAS）

（2）AB∥DE且AB=DE。

由（1）△ABD≌△CAE可得AE=BD，

又AE∥BD，所以四边形ABDE是平行四边形

所以AB∥DE且AB=DE

22，解：（1）由题知点在抛物线上

所以，解得，所以

所以，当时，

答：，拱顶D到地面OA的距离为10米

（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））

当时，，所以可以通过

（3）令，即，可得，解得

答：两排灯的水平距离最小是

23，解：探究二

（1）若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形

若分为2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形

若分为3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形

所以，当时，

问题应用：∵2016=4×504 所以k=504，则可以搭成k-1=503个不同的等腰三角形； 672

24，解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：

由平移性质可得MN∥AB

因为PQ∥MN，所以PQ∥AB，所以，即，解得

（2）作PD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E

由可得

则由勾股定理易求

因为PD⊥BC，AE⊥BC

所以AE∥PD，所以△CPD∽△CAE

所以，即（备注，粗略通读题，用得着的计算一并先算出）

求得：，

因为PM∥BC，所以M到BC的距离

所以，△QCM是面积

（3）因为PM∥BC，所以

若S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4，则S△QMC∶S△ABC＝1∶5

即：，整理得：，解得

答：当t=2时，S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4

（4）若，则∠MDQ=∠PDQ=90°

因为MP∥BC，所以∠MPQ=∠PQD，

所以△MQP∽△PDQ，所以，所以

即：，由，所以DQ = CD-CQ

故，整理得

解得

答：当时，。

新课 标第 一 网

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