新知：等腰三角形

1.等腰三角形的定义：

2.等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的三线合一　

3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 　　

4.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 　　

5.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明) 　　

6.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴

7.等腰三角形的判定：

1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)

2.在同一三角形中，等角对等边

8.等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形

9.等边三角形的性质：

⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）

⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。

⑸等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

10.等边三角形的判定：

⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）

⑵三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

(4) 两个内角为60度的三角形是等边三角形

(5) 说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

(6) 等边三角形的性质与判定理解：

11、三角形中的中位线

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

等腰三角形的性质应用及判定

例1如图，△ABC中，D、E分别是位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

例一：AC、AB上的点，BD与CE交于点O.出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.

1.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）

2.选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形

例2如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D,又延长BA到E，使AE=BD,连接CE,DE,求证：△CDE为等腰三角形

例3如图将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（ ）

①DC平分∠BDE ②BC长为()a

③△BCD是等腰三角形 ④△CED的周长等于BC的长

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

例4如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M,N分别在AB,AC上，则△AMN的周长是

追加练习：

1.如图所示．△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN，求△AMN的周长．

2.如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。

探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。

例5已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）

A.20° B.120° C.20°或120° D.36°

例6等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为

等边三角形的性质应用及判定

例7如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与CE交于点F.(1)求证：AD=CE;(2)求∠DFC的度数。

例8如图，分别以Rt△ABC的直角边AC,BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE,AF。求证：BE=AF

例9如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论：①△ACD≌△DCB; ②CM=CN; ③AC=DN.其中正确结论的个数是

A.3个 B.2个 C.1个 D.0个

例10如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和BCN，连三角形ACM和BCN，连接AN，BN，若∠MBN=38°，则∠ANB的大小等于 。

例11已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F，得到△DEF为等边三角形，求证：（1）△AEF≌△CDE;(2)△ABC为等边三角形

等腰直角三角形的性质应用及判定

例12如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，D是BC延长线上一点，且AC=CD,则BC:CD=

例13已知，如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是 ∠A平分线，求证：AC+CD=AB

例14两个全等的含30°，60°的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点一条直线上，连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC,试判断△EMC的形状，并说明理由

1.已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，试说明△ADF是等腰三角形的理由．

2、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，过点O 作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若AB=18，AC=16，求△AEF的周长？

3、已知BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，OE∥AB，OF∥AC，如果已知BC的长为a，你能知道△OEF的周长吗？.

4、如图，在ΔABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.

求证：DE+DF=AB

5、已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。求证：DE+DC=AE。

6、等边三角形△ABC中，AD=CE,求∠BPC的度数。

7. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为

8.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC+AB=6cm，则AB= cm

5.已知：等边△ABC中，如图，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等边△CDE,连结AD,则有AD∥BC,上述结论还成立吗？答

2016年最新等腰三角形和等边三角形知识点和典型例题