题号

一

二

三

四

五

六

七

总分

得分

考生班级

序号

学号

姓名

一、选择题

1．下列是两个命题变元p，q的小项是（     ）

A．p∧┐p∧q      B．┐p∨q C．┐p∧q       D．┐p∨p∨q

2．设P：我将去镇上，Q：我有时间。命题“我将去镇上，仅当我有时间时”符号化为（）

A.PQ B.QP C.P Q D.QP

3．谓词公式(x)(y)(A(x,y)B(y,z))(x)A(x,y)中量词(x)的辖域是（ ）

A．(y)(A(x,y)B(y,z)) B．(y)(A(x,y) C．A(x,y)B(y,z)

D．(y)(A(x,y)

4．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={,,,}∪IA，则对应于R的A的划分是（     ）

A．{{a},{b,c},{d}}   B．{{a,b},{c},{d}} C．{{a},{b},{c},{d}}  D．{{a,b},{c,d}}

5．以下关系属于偏序关系的是（ ）。

（A）实数集上两实数间的“等于”关系 （B） 同余关系

（C）整数集上两实数间的“大于”关系 （D） 良序关系

6. 在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（     ）

A．a*b=min(a,b)

B．a*b=a+b

C．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)

D．a*b=a(mod b)

7．设R为实数集，R+={x| x∈R ∧ x>0}，*是数的乘法运算，，*>是一个群，则下列集合关于数的乘法运算构成该群的子群的是（     ）

A．{R+中的有理数}     B．{R+中的无理数}

C．{R+中的自然数}     D．{1，2，3}

8. 下列哪一组命题公式是等值的？（）

A. PQ,PQ B.A(BA),A(AB)

C.Q(PQ),Q (PQ) D.A (AB),B

9. 下面哪一个命题是假命题？（）

A.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式惟一

B.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一

C.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式惟一

D.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一

10. 下列运算中，哪种运算关于整数集不能构成半群？（）

A.aοb=max{a,b} B.aοb=b

C.aοb=2ab D.aοb=|a-b|

11. 设A={a,b,c}上的关系如下，有传递性的有（）

A.ρ1={,,,}

B.ρ2={,}

C.ρ3={,,,}

D.ρ4={}

12. 设D=为有向图，则有（）

A.EV×V B.EV×V

C.V×VE D.V×V=E

13. 设G为有n个结点的简单图，则有（）

A.△(G) B.△(G)≤n C.△(G)>n D.△(G)≥n

14. 设|V|>1，D=是强连通图，当且仅当（）

A. D中至少有一条通路

B. D中至少有一条回路

C. D中有通过每个结点至少一次的通路

D. D中有通过每个结点至少一次的回路

二、填空题(每空3分，共30分)

　　

　1. 设F(x): x是人，G(x): x用右手写字，命题“有的人并不用右手写字”在一阶逻辑中符号化的形式为_______________。

　2. 设A={1,2,3}，f，g，h是A到A的函数，其中f(1)=f(2)=f(3)=1；g(1)=1，g(2)=3，g(3)=2；h(1)=3，h(2)=h(3)=1，则 ① 是单射； ② 是满射； ③ 是双射。

3. 设图D=；V={v1,v2,v3,v4}，若D的邻接矩阵，则deg-(v1)= ① ,deg+(v4)= ② ，从v2到v4长度为2的通路有 ③ 条。

4. 设A={1,2,3}上的关系R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,3>}，则关系R具备 ① 性，不具备 ② 性。

5. 设A={1,2,3,4}上关系R={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>}，则r(R)= ① ，s(R)=

② 。

6. 令R(x)：x是实数，Q(x)：x是有理数。

(1) 命题“并非每个实数都是有理数”。其符号化为 ① 。

(2) 命题“虽然有些实数是有理数，但并非一切实数都是有理数”。则其符号化可表示为 ② 。

7. .Q(P(PQ)) 可化简为 。

8. 后面是图的题

33. A={2,3,4,5,6,8,10,12,24}，R是A上的整除关系。那么A的极大元是 ① ，极小元是 ② 。

假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报符号化形式为_______________。P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S))

由n个命题变元组成不等值的命题公式的个数为（）

A.2n B.2n C.n2 D.

1. 设P：我将去镇上，Q：我有时间。命题“我将去镇上，仅当我有时间时”符号化为（）

A.PQ B.QP C.P Q D.QP

2. 设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能即划船又跑步”符号化为（）

A. pQ B. PQ C. (PQ) D.PQ

3. 设P：张三可以作这件事，Q：李四可以作这件事。命题“张三或李四可以做这件事”符号化为（）

A.PQ B.PQ C.PQ D. (PQ)

4. 下列语句中哪个是真命题？（）

A.我正在说谎。 B.严禁吸烟。

C.如果1+2=3，那么雪是黑的。 D.如果1+2=5，那么雪是黑的。

2. 谓词公式x(P(x)yR(y))Q(x)中量词x的作用域是（）

A. x(P(x)yR(y)) B.P(x)

C. (P(x)yR(y)) D.P(x)，Q(x)

3. 谓词公式x(P(x)yR(y))Q(x)中变元x是（）

A.自由变量 B.约束变量

C.既不是自由变量也不是约束变量

D.既是自由变量也是约束变量

4. 设C(x)：x是运动员，G(x)：x是强壮的。命题“没有一个运动员不是强壮的”可符号化为（）

A.x(C(x)G(x)) B.x(C(x)G(x))

C.x(C(x)G(x)) D.x(C(x)G(x))

5. 设A(x)：x是人，B(x)：x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）

A.x(A(x)B(x)) B.x(A(x)B(x))

C.x(A(x)B(x)) D.x(A(x)B(x))

6. 令F(x)：x是火车，G(y)：y是汽车，H(x,y)：x比y快。则语句“某些汽车比所有的火车慢”可表示为（）

A.y(G(y)x(F(x)H(x,y)))

B.y(G(y)x(F(x)H(x,y)))

C.xy(G(y)(F(x)H(x,y)))

D.y(G(y)x(F(x)H(x,y)))

2. f:ZZ，对任意的iZ，有f(i)=i(mod 8)，则f是（）

A.不是双射 B.单射 C.满射 D.双射

2. 设集合A={1,2,3,…,10}，下面定义的哪种运算关于集合A是不封闭的？（）

A. x*y=max{x,y}

B. x*y=min{x,y}

C. x*y=GCD(x,y)，即x，y的最大公约数

D. x*y=LCM(x,y)，即x，y的最小公倍数

7. Q是有理数，(Q,*)（其中*为普通乘法）不能构成（）

A.群 B.独异点 C.半群 D.交换半群

8. R为实数集，运算*定义为：a,bR，a*b=a|b|，则代数系统(R,*)是（）

A.半群 B.独异点 C.群 D.阿贝尔群

下列代数系统(S,*)中，哪个是群？（）

A. S={0,1,3,5}，*是模7的加法

B. S=Q(有理数集合)，*是一般乘法

C. S=Z(整数集合)，*是一般乘法

D. S={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法

10. 具有如下定义的代数系统(G,*)，哪个不够成群？（）

A. G={1,10}，*是模11的乘法

B. G={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法

C. G=Q，*是普通加法

D. G=Q，*是普通乘法

2. 下面哪一个偏序集（其中均略去了反映自反关系的序对）能构成格？（）

A.A={a,b,c,d},≤={,,,,}

B.A={a,b,c,d,e},≤={,,,,,}

C.A={a,b,c,d,e,f,g},≤={,,,,,}

D.A={1,2,3,4},≤={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<3,4>}

3. 下面哪个偏序集构成有界格？（）

A.(N,≤) B.(Z,≥)

C.({2,3,4,6,12},|) D.(P(A),)

其中|为整除关系，A={a,b,c}。

7. 用谓词和量词将下列命题符号化：

(1).没有不犯错误的人；

(2).尽管有人聪明，但未必一切人都很聪明；

(3).每个计算机系的学生都学离散数学；

(4).所有的人都学习和工作；

(5).并非一切推理都能用计算机完成；

(6).任何自然数都有惟一的一个后继数。

2. 设G=为无环的无向图，|V|=6，|E|=16，则G是（）

A.完全图 B.零图 C.简单图 D.多重图

3. 含5个结点、3条边的不同构的简单图有（）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

4. 任何无向图中结点间的连通关系是（）

A.偏序关系 B.等价关系 C.相容关系 D.拟序关系

2.

设A={1,2,3,4,5}，ρ={|iA}，则的性质是（）

A.对称的 B.自反的 C.反对称的 D.反自反、反对称、传递的

设集合A={a,b,c}，R是A上的二元关系，R={,,,}，那么R是（）

A.反自反的 B.反对称的 C.可传递的 D.不可传递的

5. 下列句子中，是命题的有

(1).我是教师。

(2).禁止吸烟！

(3).蚊子是鸟类动物。

(4).上课去！

(5).月亮比地球大。

6. 设P：我生病，Q：我去学校

(1).命题“我虽然生病但我仍去学校”符号化为 。

(2).命题“只有在生病的时候，我才不去学校”符号化为 。

(3).命题“如果我生病，那么我不去学校”符号化为 。

7. 证明下列命题的等值关系：

(1).(PQ)(RQ)(PR)Q

(2).(PQAC)(APQC)(A(PQ))C

(3).P(QP)Q(PR)

(4).(PQ)(PR)P(QR)

(5).(PQ)(PQ)(PQ)

3. 设(A,≤)是格，其中A={1,2,3,4,6,8,12,24}，≤为整除关系，则3的补元是

28. 用CP规则证明A(BC)，(EF)C，B(AS)BE。

(P∧┐P)∨(P∧Q) 

P∧(P→Q)

(P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q)

(P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)

a)

　　

　　 4.设G是n阶m条边的无向简单边通图，则G的任何生成树对应的G的基本割集系统中均有________________个元素。

　　

　　 5.完全二部图Kr,s的边连通度λ等于_________________。

　　

　　 6.以1，1，1，1，2，2，4为无向树的度数列，可以生成_________________棵非同构的无向树。

　　

　　 7.设A={a,b}，则A上共有__________个不同的偏序关系。

　　

　　 8.设A={a,b,c}，B={1,2,3}，则A到B共可产生_____________个不同的双射函数。

　　

　　 9.设A是n(n≥1)元集，则A上共有22n个二元运算，其中有______________个是A到A的函数。

　　

　　 10.设A={1, 2, 3}，在A上定义二元运算如下：" x,y ? A, x*y=min{x,y}则*的运算表为___________。

三、计算题(共43分)

　　

1.求P→(P∧(Q→P))的主析取范式（写出过程）。（6分）

　　　

　 2.求公式 的前束范式。（6分）

３　证明：

　　　　（１）A→(B→A) ┐A→(A→┐B)

　　　 　

A→(B→A) ┐A∨(┐B∨A) A∨(┐A∨┐B) A∨(A→┐B) ┐A→(A→┐B)

（２）(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D))) ((C∧(AB))→D)

(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))

　　　　(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))

　　　　(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)

　　　　 (┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D

　　　　┐((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))∨D

　　　　 ((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))D

　　　　 (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D

　　　　 ((C∧(AB))→D)

　　　　（３）(A→D)∧(B→D) (A∨B)→D

　　(A→D)∧(B→D)(┐A∨D)∧(┐B∨D)

(┐A∧┐B)∨D

┐(A∨B)∨D

(A∨B)→D

4 检验下述论证的有效性。

如果我学习，那么我数学不会不及格。　

如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习。

但我数学不及格。

因此我热衷于玩扑克。

　　解：

P：我学习        Q：我数学不及格        R：我热衷于玩扑克。　

如果我学习，那么我数学不会不及格：    P→┐Q

如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习:   ┐R→P

但我数学不及格:                      Q

因此我热衷于玩扑克。                 R

即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧QR

证：

证法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R

┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R

(P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R

((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))

┐Q∨P∨R∨┐P

T　

所以，论证有效。

证法2：设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T，

则因Q为T，(P→┐Q) 为T，可得P为F，

由(┐R→P)为T，得到R为T。

故本题论证有效。

5.定义正整数集I+上两个二元运算为：a*b=ab，a△b=a×b， a，b∈I+。证明*对△是不可分配的；△对*也不可分配。

证：对于I+中任意a,b,c。 a*（b△c）= a*（b×c）= ab×c。

（a*b）△（a*c）= ab△ac= ab×ac= ab+c。因b+c不等于b×c，所以*对△是不可分配的。

a△（b*c）= a×（bc）= a×bc，而（a△b）*（a△c）=（a×b）*（a×c）=（a×b）a×c

=a a×c×ba×c，显然△对*也不可分配。

6. 写出以下无向图的邻接矩阵并画出其补图。 （7分）

7 关系R如图所示，试写出关系矩阵并求出R的自反闭包，对称闭包和传递闭包。 （12分）

七、对于代数系统＜R+,×＞和＜R,+＞，其中R+为正实数（不含0）集，R为实数集，×为普通乘法，＋为普通加法：

（1）说明＜R+,×＞和＜R,+＞都是群。

（2）证明自然对数函数Ln(x)是＜R+,×＞到＜R,+＞的同构。

（3）若A＝｛x | Ln(x)∈H且＜H,+＞为＜R，＋＞的子群｝，证明＜A，×＞为＜R+,×＞的子群。 （15分）

二、 用符号写出下列各式并且验证论证的有效性。

如果6是偶数，则7被2 除不尽。

或5 不是素数，或7被2除尽。

但5是素数。　

所以6是奇数。

　　解：

P：6是偶数      Q：7被2除尽      R：5是素数

如果6是偶数，则7被2除不尽        P→┐Q

或5不是素数，或7被2除尽          ┐R∨Q

5是素数                         R

所以6是奇数                     ┐P

即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R ┐P

证：

证法1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P

┐((┐P∨┐Q) ∧(┐R∨Q) ∧R) ∨┐P

((P∧Q) ∨(R∧┐Q) ∨┐R) ∨┐P

((┐P∨P) ∧(┐P∨Q)) ∨((┐R∨R) ∧(┐R∨┐Q))

(┐P∨Q) ∨(┐R∨┐Q)

T　

所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。

证法2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T，

则有R为T，且┐R∨Q 为T，故Q为T，

再由P→┐Q为T，得到┐P为T。

证明：

a)┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R┐P

(1) ┐R             P

(2) ┐Q∨R          P 

(3) ┐Q           (1)(2)T,I 

(4) ┐(P∧┐Q)      P

(5) ┐P∨Q        (4)T,E

(6) ┐P           (3)(5)T,I

b)J→(M∨N)，(H∨G)→J，H∨GM∨N

(1) (H∨G) →J        P

(2) (H∨G)            P

(3) J              (1)(2)T,I

(4) J→(M∨N)          P

(5) M∨N           (3)(4)T,I

c)B∧C，(BC)→(H∨G) G∨H

(1) B∧C          P 

(2) B            (1)T,I 

(3) C            (1)T,I 

(4) B∨┐C       (2)T,I

(5) C∨┐B       (3)T,I

(6) C→B         (4)T,E

(7) B→C         (5)T,E

(8) BC         (6)(7)T,E

(9) (BC) →(H∨G)    P 

(10) H∨G        (8)(9)T,I

d)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S) ┐S

(1) (┐Q∨R) ∧┐R          

(2) ┐Q∨R             (1)T,I

(3) ┐R                (1)T,I

(4) ┐Q                (2)(3)T,I

(5) P→Q                  P

(6) ┐P                (4)(5)T,I

(7) ┐(┐P∧┐S)          P

(8) P∨┐S              (7)T,E

(9) ┐S                 (6)(8)T,I

(2) 证明：

a)┐A∨B，C→┐BA→┐C

(1) ┐(A→┐C)               P                    

(2) A                       (1)T,I

(3) C                       (1)T,I

(4) ┐A∨B                   P

(5) B                       (2)(4)T,I

(6) C→┐B                   P

(7) ┐B                     (3)(6)T,I

(8) B∧┐B                  矛盾。(5),(7)

b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E) A→(B→F)

(1) ┐(A→(B→F))             P

(2) A                        (1)T,I

(3) ┐(B→F)                 (1)T,I

(4) B                        (3)T,I

(5) ┐F                      (3)T,

(6) A→(B→C)                 P

(7) B→C                     (2)(6)T,I

(8) C                        (4)(7)T,I

(9) ┐F→(D∧┐E)             P

(10) D∧┐E                  (5)(9)T,I

(11) D                       (10)T,I

(12) C∧D                    (8)(11)T,I

(13) (C∧D) →E               P

(14) E                       (12)(13)T,I

(15) ┐E                     (10)T,I

(16) E∧┐E                  矛盾。(14),(15)

c)A∨B→C∧D，D∨E→FA→F

(1) ┐(A→F)                  P

(2) A                        (1)T,I

(3) ┐F                      (1)T,I

(4) A∨B                     (2)T,I

(5) (A∨B) →C∧D             P

(6) C∧D                     (4)(5)T,I

(7) C                        (6)T,I

(8) D                        (6)T,I

(9) D∨E                     (8)T,I

(10) D∨E→F                  P

(11) F                       (9)(10)T,I

(12) F∧┐F                  矛盾。(3),(11)

d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E) B→E

(1) ┐(B→E)                  P

(2) B                        (1)T,I

(3) ┐E                      (1)T,I

(4) ┐B∨D                    P

(5) D                        (2)(4)T,I

(6) (E→┐F) →┐D            P

(7) ┐(E→┐F)               (5)(6)T,I

(8) E                        (7)T,I

(9) E∧┐E                   矛盾

e)(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→C┐A

(1) (A→B) ∧(C→D)          P

(2) A→B                    (1)T,I

(3) (B→E) ∧(D→F)           P

(4) B→E                     (3)T,I

(5) A→E                     (2)(4)T,I

(6) ┐(E∧F)                  P

(7) ┐E∨┐F                 (6)T,E

(8) E→┐F                   (7)T,E

(9) A→┐F                   (5)(8)T,I

(10) C→D                    (1)T,I

(11) D→F                    (3)T,I

(12) C→F                    (10)(10)T,I

(13) A→C                     P

(14) A→F                    (13)(12)T,I

(15) ┐F→┐A                (14)T,E

(16) A→┐A                  (9)(15)T,I

(17) ┐A∨┐A                (16)T,E

(18) ┐A                     (17) T,E

(3) 证明：

a)┐A∨B，C→┐BA→┐C

(1) A                     P

(2) ┐A∨B                 P

(3) B                     (1)(2)T,I

(4) C→┐B                 P

(5) ┐C                   (3)(4)T,I

(6) A→┐C                CP

b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E) A→(B→F)

(1) A                P 

(2) A→(B→C)         P 

(3) B→C             (1)(2)T,I

(4) B                P 

(5) C               (3)(4)T,I

(6) (C∧D) →E       P 

(7) C→(D→E)       (6)T,E

(8) D→E            (5)(7)T,I

(9) ┐D∨E          (8)T,E

(10) ┐(D∧┐E)     (9)T,E

(11) ┐F→(D∧┐E)      P

(12) F              (10)(11)T,I

(13) B→F               CP

(14) A→(B→F)          CP

c)A∨B→C∧D，D∨E→FA→F

(1) A                    P

(2) A∨B                (1)T,I

(3) A∨B→C∨D           P

(4) C∧D                (2)(3)T,I

(5) D                   (4)T,I

(6) D∨E                (5)T,I

(7) D∨E→F              P

(8) F                   (6)(7)T,I

(9) A→F                 CP

d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E) B→E

(1) B                    P(附加前提)

(2) ┐B∨D           P

(3) D           (1)(2)T,I

(4) (E→┐F)→┐D        P

(5) ┐(E→┐F)          (3)(4)T,I

(6) E                (5)T,I

(7) B→E                 CP

(4)证明：

a) R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→Q┐P

(1) R→┐Q                 P

(2) R∨S                   P

(3) S→┐Q                 P

(4) ┐Q                   (1)(2)(3)T,I

(5) P→Q                   P

(6) ┐P                   (4)(5)T,I

b) S→┐Q，S∨R，┐R，┐PQP

证法一：

(1) S∨R                 P 

(2) ┐R                   P

(3) S                  (1)(2)T,I 

(4) S→┐Q                P  

(5) ┐Q               (3)(4)T,I 

(6) ┐PQ                P

(7)(┐P→Q)∧(Q→┐P)    (6)T,E

(8) ┐P→Q            (7)T,I 

(9) P                 (5)(8)T,I 

证法二：（反证法）

(1) ┐P                 P（附加前提）

(2) ┐PQ                 P

(3)（┐P→Q）∧（ Q→┐P） (2)T，E

(4) ┐P→Q                 (3)T,I

(5) Q                   (1)(4)T,I

(6) S→┐Q                  P

(7) ┐S                   (5)(6)T,I

(8) S∨R                   P

(9) R                   (7)(8)T,I

(10) ┐R                   P

(11) ┐R∧R                 矛盾（9）（10）T，I

c)┐(P→Q)→┐(R∨S)，((Q→P)∨┐R)，RPQ

(1) R                      P

(2) (Q→P) ∨┐R            P

(3) Q→P                   (1)(2)T,I

(4)┐(P→Q) →┐(R∨S)      P

(5) (R∨S) →(P→Q)        (4)T,E

(6) R∨S                   (1)T,I

(7) P→Q                   (5)(6)

(8) (P→Q) ∧(Q→P)       (3)(7)T,I

(9) PQ                  (8)T,E

求下列各式的主析取范式及主合取范式，并指出下列各式哪些是重言式。

b) (┐P∨┐Q)→(P┐Q)  

c) Q∧(P∨┐Q)           

d) P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R)))

e) (P→(Q∧R))∧(┐P→(┐Q∧┐R))

f) (Q→P)∧(┐P∧Q)

对下面的每一组前提，写出可能导出的结论以及所应用的推理规则。

a)  如果我跑步，那么，我很疲劳。

我没有疲劳。

　　设P：我跑步。Q：我很疲劳。                   

       前提为：P→Q，┐Q

(1) P→Q            P      

(2) ┐Q             P     

(3) ┐P            (1)(2)T,I

  结论为：┐P，我没有跑步。

b)  如果他犯了错误，那么，他神色慌张。

他神色慌张。

　　设S：他犯了错误。 R：他神色慌张。

前提为：S→R，R    

       因为（S→R）∧R（┐S∨R）∧RR。故本题没有确定的结论。

      实际上，若S →R为真，R为真,则S可为真，S也可为假，故无有效结论。

c)  如果我的程序通过，那么，我很快乐。

如果我快乐，那么，阳光很好。

现在是晚上十一点，天很暖。

　　设P：我的程序通过。 Q：我很快乐。

R：阳光很好。     S：天很暖和。（把晚上十一点理解为阳光不好）

前提为：P→Q，Q→R，┐R∧S

            (1) P→Q               P

            (2) Q→R               P

            (3) P→R              (1)(2)T,I

            (4) ┐R∨S             P

            (5) ┐R               (4)T,I

　　把以下各式化为前束范式。

a)      (x)(P(x)→(y)Q(x,y))

　　　 (x)(P(x)→(y)Q(x,y))

(x)( ┐P(x) ∨(y)Q(x,y))

(x) (y) (┐P(x) ∨Q(x,y))

b)      (x)(┐((y)P(x,y))→((z)Q(z)→R(x)))

　　(x)(┐((y)P(x,y))→((z)Q(z)→R(x)))

(x)((y)P(x,y)∨((z)Q(z)→R(x)))

(x)((y)P(x,y) ∨(┐(z)Q(z) ∨R(x)))

(x)((y)P(x,y) ∨((z)┐Q(z) ∨R(x)))

(x) (y) (z) ( P(x,y) ∨┐Q(z) ∨R(x))

c)      (x)( y)((( x)P(x,y,z)∧(u)Q(x,u))→(v)Q(y,v))

(x)( y)( ┐((z)P(x,y,z)∧(u)Q(x,u))∨(v)Q(y,v))

(x)( y)( (z)┐P(x,y,z) ∨(u)┐Q(x,u)∨(v)Q(y,v))

(x)( y)( (z)┐P(x,y,z) ∨(u)┐Q(x,u)∨(v)Q(y,v))

(x)( y) (z) (u) (v) (┐P(x,y,z) ∨┐Q(x,u)∨Q(y,v))