高考数学专题复习难点突破名师讲练：概率与统计综合问题

一、考点突破

近几年来新课程高考试卷把概率和统计的基础知识和方法——随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等概率及相应的计算，离散型随机变量分布列和数学期望等概念和计算列为考查的重点，作为必考内容。考查学生分析问题和解决问题的能力；考查学生的分类讨论思想、等价转化思想以及对背景新奇问题的理解中所表现出来的不同思维品质、思维能力。

二、重难点提示

重点：利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；用样本方差去估计总体方差，用样本频率分布估计总体分布，用样本频率分布求其累积频率分布等的计算问题。

难点：能分辨出随机变量服从哪种分布。

一、知识脉络图

二、知识点拨

离散型随机变量的期望和方差

1. 随机变量的分布列

设离散型随机变量ξ的可能取值为

ξ取每一个值的概率，则下表

称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。

离散型随机变量的分布列具有下述性质

（Ⅰ）

（Ⅱ）

2. 期望

若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望，即分布列中随机变量ξ的一切可能值与对应的概率的乘积的和叫做随机变量ξ的数学期望；反映了离散型随机变量取值的平均水平，是反映随机变量ξ集中趋势的指标（相当于质点分布的重心）；为常量。

期望的一个性质：若5fb8a0f7e0b40534a5014fb9a3ffc6a0.png，则c499b7923cf6861ebdfeb1e8274db29e.png

3. 方差

当随机变量ξ的分布列为时，

叫做随机变量ξ的均方差，简称方差；的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作，即＝。

与都反映了随机变量ξ关于期望的稳定与波动、集中与离散的程度。越小，稳定性越高，波动性越小；标准差 则反映随机变量ξ的取值与期望值的偏差大小。越小，则ξ与其期望值的偏差越小。

方差的性质：①6a25c1de472c0dcfa3e890dd9c8db47c.png；②ef3aa7063d5fb05ed33db92a71fb34d4.png 。

4. 特殊的分布列

（1）两点分布：

若随机变量X的分布列: 则称X的分布列为两点分布列.

（2）超几何分布：

一般地，在含有69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png件次品的8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png件产品中，任取7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png件，其中恰有02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png件次品，则

ffa021fb292c56c5cda542c68b78a076.png

为超几何分布列。

超几何分布的期望：若随机变量ξ服从超几何分布，即ee74b398c76623f109d1d31b9ed0b748.png且则c8d2c66a66d34384a06122c0e4df3acf.png

（3）二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 ，其中k＝0，1，2，…，n，q＝1－p。

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布：记作ξ~B（n，p），

其中n，p为参数，并记

二项分布的期望：若ξ~B（n，p），则

二项分布的方差：若ξ~B（n，p），则

（4）几何分布

设在一次试验中某事件发生的概率为p，又设在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数为ξ，则“ξ＝k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生，，其中q＝1－p，k＝1，2，3，…。

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

我们称此时的ξ服从几何分布，并记

几何分布的期望：若随机变量ξ服从几何分布，且，则

几何分布的方差：若随机变量ξ服从几何分布，且，则

能力提升类

例1 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量b0472f9ee9e24a926cd40538b45e208b.png，

①若向量5c2f1b6f27758df81af552c3d9848fd5.png，求当76d896487b0fb35a3398191515ae6a9a.png13e018b86466da0a42b05678e6c53cbb.png时的概率；

②若向量fc24c70c607cc2a9e921367403b1d039.png，又1e8a5315dbbcbf156823c87deb23a709.png，且dc71903fb6b9facede48105336dff18a.png时，求向量d1dd0d347924c09f2a656f928e0dbe76.png的坐标。

一点通：①本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是点数对（a，b）共有6×6对，满足条件的事件是76d896487b0fb35a3398191515ae6a9a.png13e018b86466da0a42b05678e6c53cbb.png得a－2b＝0，即a＝2b，列举出所有满足条件的事件，根据等可能事件的概率得到结果。

②根据所给的条件，列出向量平行和向量的模长的关系式，得到两个关于a，b的方程，根据方程组解出a，b的值，得到要求的概率。

解：①由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是点数对（a，b）共有6×6＝36对，满足条件的事件是76d896487b0fb35a3398191515ae6a9a.png13e018b86466da0a42b05678e6c53cbb.png得a－2b＝0，即a＝2b，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png数对（a，b）只有三对：（1，2）、（2，4）、（3，6），

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png向量af282c270a8a7df81da34b9586faeae1.png＝（－1，2）、（－2，4）、（－3，6）只有3个，

此时的概率bd4383e991a5eaf515afcca62363208b.png；

②a127e591b4b5a666f2e509d815f32463.png

7c49cad7700761c316d9e3fb17c73867.png，

又1e8a5315dbbcbf156823c87deb23a709.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.pngb＝2a，得a2＝4

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.pnga＝2，b＝4，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png向量4487c20cca6125ca188dfca2a7b38515.png

点评：本题考查等可能事件的概率，考查向量的模长和向量平行的充要条件，是一道综合题，题目涉及向量的运算，使得运算过程中数字比较杂，不要在数字上出错。

例2 A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏：当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数。

（1）求ξ的取值范围；

（2）求ξ的数学期望Eξ

一点通：（1）设出硬币正面出现的次数和出现反面的次数，根据题意列出不等式组，讨论m，n取值不同时，得到的对应的ξ的值，结果ξ的可能取值是5，7，9

（2）ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，由第一问知ξ的所有可能取值为：5，7，9。根据独立重复试验的概率公式得到变量对应的概率，算出ξ的数学期望。

解：（1）解法一：设硬币正面朝上的次数为m，反面朝上的次数为n，

①掷硬币的次数少于9次，某人已赢得所有卡片，游戏终止

则由题意得

∴当m＝5，n＝0或m＝0，n＝5时ξ＝5，

当m＝6，n＝1或m＝1，n＝6时ξ＝7，

②掷硬币的次数达9次，游戏终止，ξ＝9

∴ξ的可能取值为5，7，9，

解法二：由题意有

又两位同学都持有奇数张（5张）卡片，

∴ξ不能为偶数

∴ξ＝5，7，9

（2）注意到这里“ξ＝k”包括的三种情形：

，

，

∴

点评：本题考查离散型随机变量的期望，独立重复试验的概率公式，分类讨论思想，利用概率知识解决实际问题的能力。这种题是近几年高考题中经常出现的题型。

综合运用类

例3 某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励。已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png，被乙小组攻克的概率为9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png。

（1）设为攻关期满时获奖的攻关小组数，求的分布列及；

（2）设6f2f7304141c15bf565f34aa10b8e335.png为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数82770c2414423e71c473968794858604.png在定义域内单调递减”为事件C，求事件C的概率。

一点通：（1）ξ为攻关期满时获奖的攻关小组数，则ξ的所有可能取值为0，1，2。根据变量结合的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率，写出分布列。

（2）根据获奖攻关小组数的可能取值为0，1，2，得到相对应没有获奖的攻关小组的取值为2，1，0，得到η的可能取值为0，4。写出函数式，根据函数的单调性得到结果。

解：（1）记“甲攻关小组获奖”为事件A，则b52bedf89876a98215151707f1819b2e.png，记“乙攻关小组获奖”为事件B，则2a30de93e2e023bc5303e0e36b2a61ef.png。

由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2。

，

∴ξ的分布列为：

∴3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.pngξ16c9a324ad755ece27790cd8161f5e49.png

（2）∵获奖攻关小组数的可能取值为0，1，2，相对应没有获奖的攻关小组的取值为2，1，0。

∴η的可能取值为0，4。

当η＝0时，85bfbebd522941afd03c575609fc0e19.png在定义域内是增函数。

当η＝4时，0f1a82ad1e7e153ffba5f694723a6e5c.png在定义域内是减函数。

∴。

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，相互独立事件同时发生的概率，函数的单调性，考指数函数的单调性，是一道综合题。

例4 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。

（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；

（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示。该工厂有工人40名，可用资金60万元。设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（2）的条件下，x、y为何值时，z＝xEξ＋yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）

一点通：（1）根据两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，故生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙就是求甲、乙两种产品的两道工序的加工结果都为A级的概率。（2）我们要根据题目已知，分别求出随机变量ξ、η的取值，并分析每种取值的概率，即可得到随机变量ξ、η的分布列，进而求出各自的数学期望。（3）由（2）的结论，我们不难得到x，y满足的不等关系，即约束条件和目标函数，用线性规划的方法解决问题。

解：（1）由已知得 P甲＝0.8×0.85＝0.68，P乙＝0.75×0.8＝0.60

（2）随机变量ξ的分布列为：

随机变量η的分布列为：

∴，

（3）由题设得

目标函数为

即

作出可行域（如图）

作直线 ，

将 向右上方平移至l的位置，

即直线经过可行域上的点M时，

z＝4.2x＋2.1y取最大值，

解方程组 得M（4，4）

∴当x＝y＝4时，z＝xEξ＋yEη取得最大值25.2

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数。然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解。

思维拓展类

例5 某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班。若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如：A0616fbe77335f9ce9120471a4e77eb61.pngC0616fbe77335f9ce9120471a4e77eb61.pngD算两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为1b7fcaa2e80f3cc459ba13babb1338cb.png，路段CD发生堵车事件的概率为56e7f66d849d2a6c1a430d38565c2e35.png）

（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；

（2）若记4af45028e63a9ec8bb2bb8ec036ac118.png中遇到堵车的次数为随机变量8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png，求c88c45fc2083944b8ae621e3c3131527.png。

一点通：（1）因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1可以算出，路线A→C→F→B中遇到堵车的概率，路线A→E→F→B中遇到堵车的概率，再将上述路线的堵车概率进行比较可得结果。

（2）由题意知路线A→C→F→B中遇到的堵车次数X可取值为0，1，2，3。结合变量对应的事件，写出变量的分布列和期望。

解：（1）因为各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线ee6d0bf73f5f64c33f9239a6213ced14.png中遇到堵车的概率47ddd0a8d1607438330cf19c0c1ac45e.png为

82a749cefa15ec2f4ac097d06a7c7857.png

20b848771ca795f47d03658836edff22.png；

同理：路线4af45028e63a9ec8bb2bb8ec036ac118.png中遇到堵车的概率2d145e3684093dda8dbfe869afa543f9.png为90ff278c09242acf1ad3e1123bd534e1.png

路线33334ed7141a71476c41b9f2f28e6d16.png中遇到堵车的概率e796bf8ab080239efc771161ea64089d.png为dfe6bac0a0983fb838336db59e9ce9aa.png

显然要使得由A到B的路线途中发生堵车的事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择。因此选择路线4af45028e63a9ec8bb2bb8ec036ac118.png。

（2）路线4af45028e63a9ec8bb2bb8ec036ac118.png中遇到堵车的次数8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png可取值为0、1、2、3

fb066153096738e5b714683ec12abbd1.png

436df69bf8c535eb33bab77f9f053f16.png

968cc7fe5b73601caadbf40eec343979.png

c45e25e5c31aecb7e58641b80576c651.png

dfef3d3c4cf005039cafed01003486b8.png

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望问题，相互独立事件同时发生的概率。求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题。

例6 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中两次排序的偏离程度的高低为其评分。

现设aa415f33717e0cf5151a7712cb4f2f59.png，分别以b0c12a06bdeabff1b5132aa8307d7b05.png表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令81cb926478c6f706d50a8a4b8b6a013b.png，则02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是对两次排序的偏离程度的一种描述。

（1）写出02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的可能取值集合；

（2）假设b0c12a06bdeabff1b5132aa8307d7b05.png等可能地为1，2，3，4的各种排列，求02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列；

（3）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有16d948d6294918aecfc35ec0be28d86f.png，

①试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；

②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。

一点通：（1）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}，在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，得到|1－a1|＋|3－a3|与|2－a2|＋|4－a4|的奇偶性相同，可得结论。

（2）可列表或用树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下X的值，算出概率，写出分布列。

（3）算出三轮测试都有X≤2的概率，记做P，算出概率的值和已知量进行比较，得到结论。

解：（1）∵在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，

∴a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，

∴|1－a1|＋|3－a3|与|2－a2|＋|4－a4|的奇偶性相同，

∴X＝（|1－a1|＋|3－a3|）＋（|2－a2|＋|4－a4|）必为偶数，

X的值非负，且易知其值不大于8，

∴X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}

（2）可列表或用树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，

计算每种排列下X的值，

在等可能的假定下，

得到P（X＝0）＝81366272f331b85cff0eba0f402d6918.png

P（X＝2）＝4ea8fef3f501f4033b2e96421427249c.png

P（X＝4）＝74be9009964746fd6030af234932cd9d.png

P（X＝6）＝8f865298ac8c1873eaeead57bb5381bf.png

P（X＝8）＝586751d8c646b9cd7baa2d18105ed6a4.png

（3）①首先P（X≤2）＝P（X＝0）＋P（X＝2）＝6ad161d981c54dc674d4973781ee31dd.png

将三轮测试都有X≤2的概率记做P，由上述结果和独立性假设得

P＝1bf59aeb7de9da2a5ebac66f9315c79b.png

②由于P＝cbfd39b29263d33c5806fac2f599571a.png，是一个很小的概率，

这表明，如果仅凭随机猜测，则得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，

∴我们认为该品酒师确实有良好的酒味鉴别功能，而不是靠随机猜测。

点评：本题主要考查分布列和期望的简单应用，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，应注意解题格式。

应用概率与统计知识解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体。

袋中装有2个红球和4个黑球，从袋中取出3个球，设取出的黑球个数为8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png，求8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png的分布列。

错解：8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png服从超几何分布

（答题时间：45分钟）

一、选择题：

1. 在抽查某产品尺寸的过程中，将其中的尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，该组上的直方图的高为2510c39011c5be704182423e3a695e91.png，则|a－b|等于（ ）

A. hm B. b9398a1596955642f5b97bf4bd71efc8.png C. ec168fc066f561116621e6fb1c413697.png D. 与m，n无关

2. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量7ca81fc81f5639b94caa9de75043063e.png＝（a，b），84c652fac8da91ba3d460e2de398cfc5.png＝（1，－2），则向量7ca81fc81f5639b94caa9de75043063e.png与向量84c652fac8da91ba3d460e2de398cfc5.png垂直的概率是（ ）

A. fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png B. 343a241c63d219b63bb365dc3fad756c.png C. 29a2472c9a0a4d196b4bcf2e7e2fc48d.png D. 0ef9ad36a0ee7ea42bae52fe3a069e9e.png

3. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9。已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的期望为2，则83193941acf55d12e6ec038fc5590e39.png＋ff50f48b614247d9bc8f381c570b7958.png的最小值为（ ）

A. 22704791c2afbe764f0ddcbad1452f68.png B. b09054bec382700415ca56f041e865eb.png C. f3c34817f6a4dce98860b07982c12c0d.png D. 3235a618ff9c26464735f8c023458a61.png

二、填空题：

1. 已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，则数据3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，…，3xn＋2的平均数是_____。

2. 在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列{an}，已知8a6925a4e6cd71b399da4dcafbbe3160.png，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为________。

3. 某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人。若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是 。

4. 某次知识竞赛的规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是57eeec0a6974ecb4e9fcf68fab052f7b.png，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。

三、解答题：

1. 投到某杂志社的稿件，先由两位初审专家进行评审。若能通过两位初审专家的评审，

则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评

审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录

用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3，

各专家独立评审。

（I）求投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率；

（II）记02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png表示投到该杂志社的4篇稿件中被录用的篇数，求02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列及期望。

2. 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

一、选择题

1. C

解析：频率分布的直方图中，952d44d6d3c03256103f147858606cb0.png＝高度，∴|a－b|＝ec168fc066f561116621e6fb1c413697.png。

2. B

解析：掷骰子是独立事件，∵7ca81fc81f5639b94caa9de75043063e.png·84c652fac8da91ba3d460e2de398cfc5.png＝a－2b＝0，所以a＝2b，a＝2，4，6，b＝1，2，3，所求概率为343a241c63d219b63bb365dc3fad756c.png。

3. D

解析：由题意可得：5561e250174759f95633d94272471b0e.png，解这个方程组需要用一些技巧，因为不需直接求出x、y，只需求出｜x－y｜，设x＝10＋t，y＝10－t，｜x－y｜＝2|t|＝4。

4. D

解析：由题意得3a＋2b＝2，其中0＜a＜6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png，0＜b＜1，所以83193941acf55d12e6ec038fc5590e39.png＋ff50f48b614247d9bc8f381c570b7958.png＝f269820821c87716bae56a1eff95ebf7.png（83193941acf55d12e6ec038fc5590e39.png＋ff50f48b614247d9bc8f381c570b7958.png）＝3＋7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＋d9301aed7441e5be7b4308d64ff85655.png＋dc10dbd7a43de063a6f21d8a368151d1.png≥1b12ceb0cd2318dd71eb705ee4f5dd05.png＋2＝3235a618ff9c26464735f8c023458a61.png（当且仅当a＝2b＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png时取等号）。

二、填空题

1. 3a＋2

2. 160

解析：直方图中，所有矩形面积之和为1，等差数列的公差为a1，等差数列各项之和为10a1＝1，所以a1＝0.1，最大的矩形为0.4，频数为400×0.4＝160

3. 80

解析：由题意可知抽取的比例为4cf86b196fc198bea1192b74cf61dff7.png，故中年人中应抽取的人数为5d7fb64af295bb49ba37dc5f6f6678b4.png。

4. 0.128

解析：恰好回答四道题，且连续答对两道停止答题，则尽可能是第一道答对，第二道答错，三、四道答对或者是前两道答错，后两道答对的情况，所以有：

f23b446923451c2ffcabce4a0528de33.png，因此所求概率为0.128

三、解答题

1. 解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；

B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；

C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；

D表示事件：稿件被录用。

则 D＝A＋B·C，

b18b6016439fe30f87a05b6dbb483456.png

c7e12fdb263351a49cd892ebd771d035.png

＝e38d618fdba8ffb0cad0f23e1cc0d86f.png

＝a85ffc19a5dc6a11450561222dffd6e2.png

＝0.25＋0.5×0.3

＝0.40

（Ⅱ）3bf37e68dd1b13070dc8d639b36e43b0.png，其分布列为：

6ffb41ce7858861d27e4b253c3220a58.png

5657b6d2093dfa088cf8c5bc2bba05aa.png

8770f1c6d767f5c28563ae8fbde9a7e8.png

6372633259724e4e21bfef07773a77e7.png

61050f6f9db3ffcccd8f7e253e6e2133.png

期望9a695b3bd2eda6d71db736f25fbe2f56.png

2. 解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，－3，且

P（X＝10）＝0.8×0.9＝0.72， P（X＝5）＝0.2×0.9＝0.18，

P（X＝2）＝0.8×0.1＝0.08， P（X＝－3）＝0.2×0.1＝0.02。

由此得X的分布列为：

（2）设生产的4件甲产品中一等品有7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png件，则二等品有90d84fbf66b1a391cbd1722e15fb0719.png件。

由题设知9c4be5916f04e96bcecc03647ffaf96c.png，解得4c50abe137b1e7acbbb530743d827159.png，

又7034cf2cdfa4db53a368006b058bd494.png，得f4b339682e05755eb7408448ef87e1ca.png或aa415f33717e0cf5151a7712cb4f2f59.png。

所求概率为48f455900cbb674ba7ae58b31242883d.png

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

高考数学专题复习难点突破：概率与统计综合问题