3.1.2　两角和与差的正弦

课时目标

1．在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明．

1．两角和与差的正弦公式

S(α＋β)：sin(α＋β)＝_________________________________________________.

S(α－β)：sin(α－β)＝_________________________________________________.

2．两角互余或互补

(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与________互余，＋α与______互余．

(2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与________互补，________与π－α互补．

3．asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)，其中cos θ＝，sin θ＝.

一、填空题

1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于____．

2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是________．

3．若sin x＋cos x＝，则锐角x的值为____．(用弧度表示)

4．若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是________．

5．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos α·sin β的值为________．

6．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为________．

7．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则三角形ABC的形状是__________三角形．

8．已知sin α＋cos＝，则sin的值是________．

9．式子的值是________．

10．函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值是________．

二、解答题

11．证明：－2cos(α＋β)＝.

12．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．

能力提升

13．求值：(tan 10°－).

14．求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值．

1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sincos α－cossin α＝－cos α.

2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.

3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．

4．通过应用公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)[或asin α＋bcos α＝·cos(α－φ)]将形如asin α＋bcos α(a、b不同时为零)收缩为一个三角函数·sin(α＋φ)[或cos(α－φ)]．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数．

3．1.2　两角和与差的正弦

知识梳理

1．sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β

2．(1)　＋α　－α　(2)π　π－α　α＋

作业设计

1.

2.

解析　

∴，

∴＝＝.

3.

解析　∵sin x＋cos x＝(sin x＋cos x)

＝2sin(x＋)＝.

∴sin(x＋)＝.

∵x∈(0，)，∴x＋∈(0，π)，

∴x＋＝，∴x＝.

4.

解析　∵cos α＝，cos(α＋β)＝，

∴sin α＝，sin(α＋β)＝.

∴sin β＝sin[(α＋β)－α]

＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝×－×＝.

5．±1

解析　cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.

∴α＋β＝kπ＋，k∈Z，

∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.

6．2

解析　f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x

＝2(cos x＋sin x)＝2sin(x＋)，

∵0≤x<，

∴≤x＋<.

∴f(x)max＝2.

7．等腰

解析　∵sin C＝sin(A＋B)

＝sin Acos B＋cos Asin B

＝2cos Asin B，

∴sin Acos B－cos Asin B＝0.

即sin(A－B)＝0，∴A＝B.

8．－

解析　sin α＋cos

＝sin α＋cos αcos＋sin αsin

＝sin α＋cos α

＝

＝

＝sin＝.

∴sin＝.

∴sin＝－sin＝－.

9.

解析　原式＝

＝

＝＝tan 60°＝.

10．7

解析　f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)

＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋

5cos(x＋20°)sin 60°

＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)

＝sin(x＋20°＋φ)

＝7sin(x＋20°＋φ)≤7.

11．证明　－2cos(α＋β)

＝

＝

＝

＝

＝.

故原等式成立．

12．解　因为<β<α<，

所以0<α－β<，

π<α＋β<.

又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，

所以sin(α－β)＝＝

＝，

cos(α＋β)＝－＝－

＝－.

所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]

＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)

＝×＋×＝－.

13．解　原式＝(－)

＝·

＝·

＝·

＝－＝－2.

14．解　设sin x＋cos x＝t，

则t＝sin x＋cos x＝

＝sin，

∴t∈[－，]，

∴sin x·cos x＝＝.

∴f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x

即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．

当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1.

此时，由sin＝－，

解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.

当t＝，即sin x＋cos x＝时，f(x)max＝＋.

此时，由sin＝，sin＝1.

解得x＝2kπ＋，k∈Z.

综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取最小值且f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋.

高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦课时训练含解析苏教版必修4