2018-2019学年广东省揭阳市高二下学期期末考试数学试题

1、 单选题

1． 已知集合9b6f677db824aaa3180fc54db9d4b08a.png，027eb58d698a19c6c1dbbdd53cddce6c.png，则425456a449c51f1e58a7e788fe6daf8e.png（ ）

A．d1f4372ca07aff2ab405b5c6b38be364.png B．5790bc0be494b2052811d8b2c82cb85e.png C．39695938bb0d6ad7cf660a0bd1b0ab32.png D．9f1cbb330c7b9471427f62da3b88b3fd.png

【答案】C

【解析】本题考查集合中的交集运算，需要结合二次根式的性质进行求解，属于简单题。

【详解】

由题可知：集合8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png中, 093d06562601ebe4c72a45b3f901de70.png，得到79f3fec2dd11644ccb663bb09c8f43f6.png，即cc69901b141619b3e8a7a398cc830108.png，

c0c0477c07d79d8f94513ac7aa316055.png，则425456a449c51f1e58a7e788fe6daf8e.png5922a40979012d6e9caa5449e67b6121.png

选项C正确

【点睛】

本题考查交集的运算及函数的定义域的求法，属于基础题。

2．已知复数z满足46dd2556715683870ccddf807145130a.png，则z的共轭复数528d97f4b8e5f23c5e0d54ae61dfd90b.png（　　）

A．i B．da3bca3fe9aafbfe2166ccc48cc91ffe.png C．27cc21ed1840a0f9a2007977ceabfdca.png D．c0e088328da42e078c9e6ad9af07e92a.png

【答案】A

【解析】由条件求出z，可得复数z的共轭复数．

【详解】

∵z（1+i）＝1﹣i，

∴z29621521c33449fe92d1ab10daa3abc0.pngi，

∴z的共轭复数为i，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查共轭复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．

3．7a863c7a7c435335bc7f1326ec73ac1c.png（ ）

A．aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png B．a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png C．1 D．93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png

【答案】D

【解析】本题考查的是两角和的余角公式的逆运算，需要对整体表达式进行分析后，将36e3bafe01ea047df3f1977ce1e5e274.png转换成1f8ac94c241a1fdb48aa7fa82a627a3e.png进行计算。

【详解】

7a863c7a7c435335bc7f1326ec73ac1c.png0977ed458a4726e530bf67257aa08fe6.png868ef20021750b9e23708012e165111e.png

=4a3f53229fd8329592844b1730c60fbb.png

选项D正确

【点睛】

熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式特点是解决此类题的关键。

4．已知等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，且6d25e18793313af9efacbbd4374b1d8e.png，则4f517a172bf3161e63466fc9089fb966.png（ ）

A．4 B．5 C．6 D．10

【答案】B

【解析】本题考查的是等差数列的基本性质，巧妙采用等差中项的性质能简化运算，达到事半功倍效果。

【详解】

d4c529844f4539aec4d1fc29b9ea6a13.png，72d581fa36a3206e94b6d0277babf000.png

6b5ff0603c45df4fd939e2baa7f6097b.png=25，1b0279728935e2f0d5fc24aa445686b6.png

选项B正确。

【点睛】

等差数列性质的考查，灵活运用等差中项公式优化解题速度。

5．为了判定两个分类变量02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png和57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png是否有关系，应用a391986844a4d642fc184d299d40ca44.png独立性检验法算得a391986844a4d642fc184d299d40ca44.png的观测值为5，又已知03ef7750e1ccca2a73ddfe934549b13d.png，54757ffe0ccc54d334707130d69f51f0.png，则下列说法正确的是（ ）

A．有052dc876aab54eb67279c4bb23f10aed.png以上的把握认为“02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png和57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png有关系”

B．有99%以上的把握认为“02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png和57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png没有关系”

C．有95%以上的把握认为“02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png和57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png有关系”

D．有95%以上的把握认为“02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png和57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png没有关系”

【答案】C

【解析】本题主要考查统计案例中a391986844a4d642fc184d299d40ca44.png与两个变量相关性的基本关系。

【详解】

因为8b58f7c8d932d2fd6940dd1d70ad5cdf.png，根据临界值表知03ef7750e1ccca2a73ddfe934549b13d.png，54757ffe0ccc54d334707130d69f51f0.png，故有cde2231b7ed96e7c94d4d02b1a0715d5.png以上的把握认为“02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png和57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png有关系”。

故本题正确答案为A。

【点睛】

独立性检验关于a391986844a4d642fc184d299d40ca44.png的判断尤为关键，考生应加强对a391986844a4d642fc184d299d40ca44.png的理解，并学会计算a391986844a4d642fc184d299d40ca44.png的数值。

6．已知17b96dadcdd8cd9aed3fe340a9055da0.png，fa3374872284b00134d3727f0cce055c.png，c8b182bc10c1dfe049d966e3a4b895c0.png，则a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png的大小关系为（ ）

A．c5acba8e3c95ddbd5895acb3bf8e3c04.png B．e5911277e0608384df8c50ddbd5bb7ba.png C．24f28becfa0d33c285b226a2013cd1a0.png D．a4a46d8c6c35bcf2023ea5c822278375.png

【答案】A

【解析】本题考查的是基本初等函数中函数值大小的比较，常依据同底数或同幂转化成同一函数，依据函数的增减性进行比较。

【详解】

先对b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png进行比较，经观察发现b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png既不同底，也不同幂，故应选择一个中间变量来作为桥梁，不妨设2cb19e3424e4fe78c6b4e31def6563be.png，8ac69c728d5089ed01eddc86aab10c49.png作比较，可把8ac69c728d5089ed01eddc86aab10c49.png看作81c79cd69557968b8789a53d72315a32.png的函数,函数为减函数，故d368a5cf5bc2e41b904c1821edf7f2f9.png。再将d146f8d0b4b941d4b4576da713d1c934.png作比较，把d146f8d0b4b941d4b4576da713d1c934.png看作6b3f8c142a0818a2e20305bd80edc4ec.png的函数，根据幂函数幂取值在7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png的特点可知，当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，函数为增函数，故87071bdad6d5255a234edca01a441b4a.png，所以f34d1e2101b7ac1394b7c72320e02510.png，ff60a9a90b197dd5b9ed0fd6d45a3118.png，a35e9449c2a1a46723e52874af727408.png，18e2d61d5db9895ea8a1fd7be1b77c96.png作比较，看作0121238b5c17d1cb9defd551a5729451.png，函数为减函数，所以b20b9c0b9a530b35d5dbdae1f3dcc1a3.png，所以c5acba8e3c95ddbd5895acb3bf8e3c04.png。

选项A正确。

【点睛】

解决既不同底也不同幂的这类题型，寻找中间变量是关键，利用函数图像增减性是解题关键，属于中档题.

7．已知两条不同直线a、b，两个不同平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png、dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png，有如下命题：

①若835c6e3782e7def460a1cb2d3c7f036d.png，6c7e8565891eefe42e28310e6c70372a.png ，则32e9eecebee81949778d8679ab5a0978.png； ②若835c6e3782e7def460a1cb2d3c7f036d.png，59e1aecbb2ee2f27168e797f292c2b7b.png，则32e9eecebee81949778d8679ab5a0978.png；

③若ab0432947c88031e4f9c0fc3bb615f4f.png，442af8ebd9360b54388b5b08e5297b62.png，则0a42630ae082e0994a24e72f9519ff5a.png； ④若ab0432947c88031e4f9c0fc3bb615f4f.png，442af8ebd9360b54388b5b08e5297b62.png，ebec1fdc71f8b200eee8b33cc381ee3a.png，则32e9eecebee81949778d8679ab5a0978.png

以上命题正确的个数为（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【解析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案．

【详解】

①若a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，故①错误；

②若a∥α，b∥α，则a∥b，则a与b平行，相交或异面，故②错误；

③若ab0432947c88031e4f9c0fc3bb615f4f.png，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故③正确；

④若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b无公共点，∴平行或异面，故④错误．

∴正确的个数为1．

故选：C．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，涉及到线面、面面平行的判定与性质定理，是基础题．

8．函数5c5004d2fa035dbb06c23b4d999de432.png的图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，分析函数f（x）的奇偶性以及在区间（0，e829777ab97c93ef78b95b37ec071e96.png）上，有f（x）＞0，据此分析选项，即可得答案．

【详解】

根据题意，f（x）＝ln|x|（ln|x|+1），有f（﹣x）＝ln|﹣x|（ln|﹣x|+1）＝ln|x|（ln|x|+1）＝f（x），

则f（x）为偶函数，排除C、D，

当x＞0时，f（x）＝lnx（lnx+1），

在区间（0，e829777ab97c93ef78b95b37ec071e96.png）上，lnx＜﹣1，则有lnx+1＜0，则f（x）＝lnx（lnx+1）＞0，排除B；

故选：A．

【点睛】

本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，属于基础题．

9．执行如图所示的程序框图，若输出的d7d3c2954f45fd385c0dd6462a7e716f.png，则满足条件的实数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】本题为程序框图中根据输出值判断输入值的基本靠法，需要考生学会分类讨论，利用分段函数知识点进行求解。

【详解】

模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算并输出分段函数c1f894e62a622e082391929741540605.png的值，

若输出的值为d7d3c2954f45fd385c0dd6462a7e716f.png,则:318113cd07c6c21cc26a8d8e5ecbfccf.png①,或e847a095bca157654328d9ea22c65330.png②,或5ceea19b49d35075e6713b3fe0678c25.png③， 

由于①有2解，②有1解，③无解，则满足条件的实数x的个数为3。

所以C选项是正确的。

【点睛】

考生在解决此类题型时需要将程序语言转化成函数语言，应用分段函数求解9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png时，应注意定义域的取值范围。

10．将函数96ec87b3fad21d577dd319f590328990.png的图象向左平移e271e2f125ea956c3b33bd9cf9fb256b.png个单位长度，所得图象对应的函数（ ）

A．在区间f2e4499df782bb36ef93903e8c960f64.png上单调递增 B．在区间e824b7b737110c5da84bd214b238d83f.png上单调递减

C．在区间59513a4bb226c784ce89a92c9e39c07e.png上单调递增 D．在区间d1f8ea2f23f2ca2c41f2277327cc945c.png上单调递减

【答案】A

【解析】由题意利用函数0d24c56d8509a723a3426f7ce60bfe56.png的图象变换规律，可得所得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论

【详解】

将函数85d2661b45271f4c0132eb1aec1bd72e.png的图象向左平移e271e2f125ea956c3b33bd9cf9fb256b.png个单位长度，所得图象对应的函数e55699a08f6d4ec603511f280895214b.png的图象，

在区间116ec206cbea70110958a624e5511ac1.png上，5d3e776a378676c394781f94fb842253.png，a4279fe71054c755c9eeb4d9a1335f0d.png，所得函数e55699a08f6d4ec603511f280895214b.png单调递增，故A正确；

在区间9a6a51a447872e37e9a776ba8b24c4f3.png上，5d3e776a378676c394781f94fb842253.png，3ee696631d3fda7d050d902073eb6cdc.png，所得函数e55699a08f6d4ec603511f280895214b.png单调递增，故B错误；

在区间47f61826eb10a901d70bf03f9cd1b979.png上，ffebb53093c0bdc4cddecdb689700bfb.png，f28fe4a9747e953690b50b4298591dcb.png，所得函数e55699a08f6d4ec603511f280895214b.png单调递减，故C不正确；

在区间8e7ea4d0fed733511d561ec8e42df615.png上，9cebd430bd1bfa2e7b4da36954b93f37.png，5123b457260e78ff40022f6df67b7bde.png，所得函数e55699a08f6d4ec603511f280895214b.png没有单调性，故D不正确，

【点睛】

本题考查了三角函数的图象变换及性质，考查了正弦函数的单调性，属于基础题.

11．双曲线773df238213ba02a12f22d3a375265ea.png的左、右焦点分别为39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png、42536b8c84326258b22cde951c14df15.png在双曲线C上，且1c6fa3b594f76274add3ad597bd39273.png是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C的离心率为（ ）

A．0cce42a3431b1eaa8259a6af2e08470a.png B．e93aef3644f3a0e2ffc48ff352d29ac4.png C．dc1595fcff5ab7cc1ef6c1e23f6d17e6.png D．17cb35f6fb5af1b4b0e732c583f0ac87.png

【答案】C

【解析】由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，进一步求得4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，则双曲线的离心率可求．

【详解】

如图，由d44a0e4a845c737fea3fcf1a3d39f58a.png，得1c6b94287eb6a41034f53e0afde2dca0.png，ea3c1658a2748bba6f4c1667b00821d8.png．

设76e93c5f64234cdc693040f074f6d3f4.png，6d70c920ec5272c5ff8b6d0300c41440.png，

由题意，90337df5ffe8e7d873a43edf7238e8c8.png，

若869e64a647623547369ea0312f91a21a.png，

f132a12b47f8b241ff2c3b0db54250d4.png，

则81da28f831d00a1c1dd21dc713ee5e36.png，解得a4a9043cfe2af5a5b94d295b2f60dace.png；

若ee18815870909a345b81997907a0b010.png，

e93a650badf20d9dfaf91d21e77238a9.png．

则caa1ef851fedf6af685f8c21fd1d47ab.png，解得de7cddf493f7cfceefa2e433cdfcbd50.png．

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.pngfe1225db59780f6835347109f5883c4d.png，fed2de15a2f53608fed3a0087ab12a8f.png．

45eea91014f152316a2158be8f595342.png．

【点睛】

本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．

12．已知定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的奇函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png满足2d759a4ba225fd9560186d32837c85d7.png，当166f58559477700872546b4dd557e4b8.png时，a69cc555b1c9c88ecfd7cb6e6269f0b1.png，且b544dc7ce9ccb6ea950b342e8f39f37c.png，则0584317a85c18539e8c1c68a0b46f3e1.png（ ）

A．c1d2da77698bee7499d4bd00dae127af.png B．f3bd85bd1b4b79cb475223447fd895ef.png C．4 D．12

【答案】B

【解析】根据50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是奇函数，以及2d759a4ba225fd9560186d32837c85d7.png即可得出13c9d7bcdc984097744a3f8113635186.png，即得出50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的周期为8，而根据8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png（2）f78be39ab16a6d82708f2910252d496f.png及9cbaa5d94523ce7afd27b15deaffc46c.png时，a69cc555b1c9c88ecfd7cb6e6269f0b1.png即可求出9c960a6a45f008818f149f32cc58699f.png，从而得出8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png（3）6390d8cecd70a635cf42f6d0290f4c61.png（1）247ce1baded0b11527c1c982c639f7ca.png，8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png（4）6390d8cecd70a635cf42f6d0290f4c61.png（8）4e0eea1bd7d6e46116f2b7fbbe8d4026.png，8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png（5）dab61d36782107389704fa4e053e75e7.png（1），8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png（6）dab61d36782107389704fa4e053e75e7.png（2），8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png（7）dab61d36782107389704fa4e053e75e7.png（3），这样即可求出8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png（1）266ce35fe495f297d8d5f31b0eef9068.png（2）266ce35fe495f297d8d5f31b0eef9068.png（3）266ce35fe495f297d8d5f31b0eef9068.png（4）266ce35fe495f297d8d5f31b0eef9068.png（5）266ce35fe495f297d8d5f31b0eef9068.png（6）266ce35fe495f297d8d5f31b0eef9068.png（7）266ce35fe495f297d8d5f31b0eef9068.png（8）4e0eea1bd7d6e46116f2b7fbbe8d4026.png，而d039f68592012c5a0155fc67a1030728.png，从而得出8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png（1）266ce35fe495f297d8d5f31b0eef9068.png（2）266ce35fe495f297d8d5f31b0eef9068.png（3）12604e889d1075af052e039071242112.png．

【详解】

de5ccae957422252c8b1ce0ddb0bb3fe.png，

即函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是以8为周期的周期函数．由edd597d250ab4b88db0c8d98b839d9a3.png，得5da3b07d3ef8ae4cd400fc8f3db177fb.png，9c960a6a45f008818f149f32cc58699f.png，

故d4b6dc67d330c61b4d825ade2b848ac6.png，bd874140b32449cb206948e8a69da7ee.png，

过程一：c4615bb7e1ba249a4b57e31ace1b47f3.png，68a435a5ed49880e87d69eaaea68b82d.png，ff73da4e5941f59e32aa8eac8dd92ca6.png，3ad234c845e22faa6883ecbf095fb043.png，b69bde41d54448b2439f248e7380262e.png．

或过程二：03b86afd4cd744e36e788e6335b8072d.png，3a2093d54590ab6b4b1e594b00d58cab.png，84cd37f121099463fe6dae622e756788.png，3e88abaac8248c6156b1f578ea4c636d.png，］

故b75ff43405eb37e1a2abbec608c84e99.png48f3950025e7216275a078d11c82aed5.png

4e82afa3de527b077e0d8ba27070fdfc.png.

【点睛】

函数基本性质综合在高考题型中经常出现，此种题型只需记牢基础知识，个别题型可借鉴草图快速求解。考生若能掌握以下考点，可事半功倍。

函数周期性的常用结论：

函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png关于直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png与e89da0c0c73b56b18d920816a6df9829.png对称，那么函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的周期为eb0efbd2c326bb39877cfab13ee3f963.png ；

若函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png关于点a25b3d7ca972696376758a869046a0cd.png对称，又关于点ace492c3b34649482ee59f57cdf73be7.png对称，则函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的周期是eb0efbd2c326bb39877cfab13ee3f963.png；

若函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png关于直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png对称，又关于点ace492c3b34649482ee59f57cdf73be7.png对称，则函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的周期是78ede2e56c44faf673ac2574058d8ce4.png；

若函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是偶函数，其图象关于直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png对称，则其周期为e36314e624d2b2ca257e1f1ecb381f93.png；

若函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是奇函数，其图象关于直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png对称，则其周期为21e1dcd96ade2d871bb13381006a5f67.png.

二、填空题

13．已知向量50b30edc7e0658c83d54b8fdc1495fe2.png，a1681fe087c951438e96551335a2afbf.png，若4bb10bbd1f70958f55e3ab572ef6e4e9.png，则73f54e93c7697bd0266977c4487ac527.png________.

【答案】c69e36b11dfe119dfbf73d3d0e646493.png

【解析】利用向量平行的性质直接求解。

【详解】

f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png向量2f0a4e86298fd8a8cfe370f14374c452.png，777a0ea6371b72966d1d3c10823197f8.png，d78b52ef4326bec380c4af67c4e779bb.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png52a7a7e60bf421814c19cd0727bf5569.png，

解得9a762ffbd8867ec8d36cc6c5da5e5d3a.png．

故答案为：c69e36b11dfe119dfbf73d3d0e646493.png．

【点睛】

向量考法长以三种基本形式出现：定义运算、线性运算、坐标运算。三种形式及有区别又有联系，考生应强化对基础概念的理解。

14．已知椭圆的焦点在415290769594460e2e485922904f345d.png轴上，中心在坐标原点.其在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上的两个顶点与两个焦点恰好是边长为2的正方形的顶点，则该椭圆的标准方程为________.

【答案】594fe772075b1ac7ac035e7bd74c404b.png

【解析】根据题意，利用正方形的正方形边长为2，分析可得b77a249747e1aff14338a43f8f68d220.png，以及dcab1bd9222ddc37ae146ec4558a2576.png，即可得92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的值，由椭圆的标准方程分析可得答案．

【详解】

根据题意，椭圆的焦点在415290769594460e2e485922904f345d.png轴上，设其上下焦点为39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png、162b23614f3de15ba9c77440d9b75780.png，左顶点为7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，

若椭圆在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上的两个顶点与两个焦点恰好是边长为2的正方形的顶点，

则b77a249747e1aff14338a43f8f68d220.png，dcab1bd9222ddc37ae146ec4558a2576.png，66433ff528eff4e71ab437d0f7ff989b.png；

则要求椭圆的方程为594fe772075b1ac7ac035e7bd74c404b.png；

故答案为：594fe772075b1ac7ac035e7bd74c404b.png．

【点睛】

本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，涉及椭圆的简单几何性质。

15．在533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png中，08cb640ff85e3e62a597a8d9ec48b39d.png，babe5885836d3d843cee98722b3b64c9.png，904a360db954e465273351bf1c663017.png，则212e2ebc517da8a214811189c3a82768.png________.

【答案】39b4572b4316b034d8778c77bd53db35.png

【解析】利用半角公式086cf6becbc8c6785ae1dc242adf3b3b.png求出8af051cbb8c3d53969e59e56700914c8.png，然后用余弦定理求出4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png

【详解】

由余弦定理得c5ca98454dbb76cedd8ec53120eb0df6.png，又172a7cfe4cd271e1f2697ebd5b959d15.png．

故ae6634e53b4cdcfe09bb3bf455af70a9.png，所以be2e64a7b20072d88f73cb07dd262178.png．

【点睛】

在分析解三角形题型时，无论是05f3edc4137324e9426189050c04a54f.png等基本形式出现，都是在告诉我们角A，解三角形公式的应用一般遵循先正弦再余弦基本原则，考生应明确正弦与余弦的基本使用条件。

16．已知球的表面积为61a59202d8e723a651ec4e50d6f7a54f.png，则球内接圆柱的侧面积最大值为________．

【答案】7a99fd72d11e1b546e6571d07b8dfe08.png

【解析】由球的表面积求出球的半径e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png，再设底面圆的半径4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png和母线长2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png，计算球内接圆柱的侧面积，求出它的最大值

【详解】

如图所示，

由球的表面积为61a59202d8e723a651ec4e50d6f7a54f.png，所以球半径为65e28b3730e6c4b195187a4d3e65a487.png；

设底面圆的半径为4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png，母线长为2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png，则c3a4fab50cdbe36264b7488f68000098.png，

解得657bd814f7f845d63042b57e40f2ed72.png；

所以球内接圆柱的侧面积为

04627fa7b3ef9ff7c24eb29515402aed.png，

当且仅当5864fb75618d10261a326870ff1af51d.png，

即955066e52114c6649627c794ec4cb54e.png时取等号，

所以球内接圆柱的侧面积的最大值为7a99fd72d11e1b546e6571d07b8dfe08.png．

【点睛】

简单几何体的表面积与体积的计算问题需要考生能够还原立体图形，结合图形解题是关键。

三、解答题

17．设02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是正项等比数列，且4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，9ab0df5562031c5aa44904726c56da4b.png．

（1）求02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式；

（2）求a751e4efd2f41de0df48601d2b728f76.png．

【答案】（1）cd4b55163997c2fc39328db48ed32dc8.png；（2）d53095b77093aef86be73a51c17e31e6.png.

【解析】（1）设等比数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的公比为7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png，由等比数列的性质可得c457170f6ec2153358b0da2db1535478.png，解可得7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的值，结合等比数列的通项公式分析可得答案；

（2）设eccca3a020f17820ea176c2bc5c573d5.png，分析可得2c884ddef539f66e02e55b19fa16b4fb.pngf41947a6d82ac20adc8f699640a9872f.pngb1e0caa68b35c1cba101a7cfbed8580b.png，由错位相减法分析可得答案

【详解】

（1）设数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公比为q，由4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，9ab0df5562031c5aa44904726c56da4b.png得e414e13efd20b1bb9c1ee130cf94f152.png．

解得ed7e87e89723823cc5feb4fe84e41254.png或af3fec8ea3ed4280f941eefeade4c74d.png，

∵02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是正项等比数列，∴af3fec8ea3ed4280f941eefeade4c74d.png不合题意舍去，

∴27d696ff9edd9c97967b6b7c83ce8c21.png；

（2）∵50a36ee1a8ac9429b4fcbeb6ce7bbffe.png，

令5a63de6fa9eb2d27bb57a3f2e8b0911e.png，则

d4b5fb6055d355daaca88b037ae47096.png，……①

①×2得：d6cdb3f432826b4e0c54c8093d9151b0.png……②

①-②得：ae90f6194835a85e5a4d8001879cdf6e.png

314bf6a9d4b2d4da827490cc214839a5.png

∴ce276e6a0e50952139864788d8168e38.png．

【点睛】

本题考查了错位相减法求和的步骤，多余项符号正负尤其要注意。

18．如图，在三棱锥f2267ffc9b3f68f642cde73351eeae52.png中，3066528ce9aaa8852503155bf6e5fcce.png，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png是AC的中点，0a305a5e08b766b4531d9d0c348c3652.png，be468745fbab8251bb02285a13f61dd6.png，44de2a7e8fd675fb2b43ff449a75eb69.png．

（1）证明：平面82b3e52144299637d945120040ed78d4.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png；

（2）若0c906b9808314d82b6de7ef5a3bd29c7.png，130c7f42239aa6823982f8eecbf6991c.png，求点A到平面817a7e6f14396060c4e915adcaefb88e.png的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png.

【解析】(1)证面面垂直只需证线面垂直，可通过求证90d704b63c526ed8a2e0e8d02be586d5.png，370646839ba0fe7c5687070fe70161cf.png证得。

(2) 点A到平面817a7e6f14396060c4e915adcaefb88e.png的距离可通过等体积法4d2197b7a0d115aa8cd21ccebada28a2.png求得。

【详解】

（1）∵3066528ce9aaa8852503155bf6e5fcce.png，O是AC中点，∴90d704b63c526ed8a2e0e8d02be586d5.png，

由已知得f3dcbf447694f2d6e453b34d84fd1a97.png，∴370646839ba0fe7c5687070fe70161cf.png，

又4a3b8534ee3a7497dcb276d5a8173392.png，∴e459af2dc1b587751a9b1a5b657facc2.png平面ABC，

又89596dbb809b3f98189812c3c4610b9f.png平面PAC，∴平面82b3e52144299637d945120040ed78d4.png平面ABC，

（2）设点A到平面PBC的距离为h，

∵0c906b9808314d82b6de7ef5a3bd29c7.png，平面63f5c6b18a3cefa87e016c570b6547d5.png平面4af24f79855d91eeb15f8d535bf91a09.png，

∴6badd10cbda3dbe6a0586c220097d64a.png平面PAC，∴416474b0673d7be78edae9f15b60b831.png，

∵在149763c804a24fd0a38665dc49a27a43.png中，e472adbe02438c6742033068db29f69d.png，

则a6d3a694670322b39a1d8e961d4e9100.png，

∵93679ab2f2c191ae5e087b9eb6424cdc.png

∴0d45d905c764c59b3407e26431430b1a.png．

即点A到平面PBC的距离为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png．

【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理的应用，考查了锥体体积的求解方法：等体积换底法，属于中档题

19．已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眼的时间，数据如下表（单位：小时）

（1）求该单位乙部门的员工人数？

（2）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从该单位任取1人，估计拍到的此人为睡眠充足者的概率；

（3）再从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡眼时间的概率．

【答案】（1）24人；（2）d628eca17fa25b191b3d5ed860a12058.png；（3）6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png.

【解析】（1）运用分层抽样的特点，计算可得所求；

（2）求得从15人中抽一个人可得15种，每天睡眠时间不少于7小时的共有7人，由古典概率的计算公式可得所求；

（3）运用分类讨论思想，由古典概率的计算公式计算可得所求．

【详解】

（1）由题意知，抽取的员工共15人，其中乙部门抽取6个．

故乙部门的员工人数为878b6604fb36cb57ca71fda44e242c36.png（或f96768bfc5d2f3551f227a657e816409.png）；

（2）从该单位中任取1人，此人为睡眠充足者的概率约为从样本中抽取1人，抽到睡眠充足者的频率，故所求的概率约为a5edbeb37a47a5014a795c6bda5147e1.png；

（3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，共有4c1f1378d5c6deae67682a2ee9f2a89a.png种可能情况；

由题意知，若A睡眠时间小时数为6，则B的睡眠时间小时数为5.5，6之一，有2种情况；

若A的睡眠时间小时数为7，则B的睡眠时间小时数为5.5，6，6.5，7之一，有4种情况；

若A的睡眠时间小时数为8．则B的睡眠时间小时数为5.5，6，6.5，7，7.5，8之一，有6种情况；

故所求的概率8f907d497f64dc0e4e5bde74da77606c.png．

【点睛】

分层抽样和古典概率的求法是概率统计常考基础方法，在概率类型求解当中，枚举法等是常用基本方法

20．已知抛物线c398769645fca41e4577af24a9a0dd73.png与圆3c103af2ecbb7aa8f222108207c8a418.png的一个公共点为3ef1cec4dfc54de1f637ece78d569fd4.png．

（1）求圆69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的方程；

（2）已知过点A的直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与抛物线C交于另一点B，若抛物线C在点A处的切线与直线02254216324801a8211731781e7eb52e.png垂直，求直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程．

【答案】（1）eef937724851bdd34d405ad359d50fd0.png；（2）406bd30625ede150b9783c5ef684ce12.png.

【解析】（1）把3ef1cec4dfc54de1f637ece78d569fd4.png代入抛物线、圆的方程求得83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png、4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png即可求得圆的方程．

（2）由△4e0eea1bd7d6e46116f2b7fbbe8d4026.png求得切线斜率，写出02254216324801a8211731781e7eb52e.png的方程，求得9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的坐标，即可求得直线方程．

【详解】

（1）由点39c6a79fe45ebffea0c1a626d317ece5.png在抛物线上可知cff19eeeeb9692cbf8a6b0864c461f5e.png，

把点39c6a79fe45ebffea0c1a626d317ece5.png代入圆方程，得d5e30956da0f6716b55a3f1192c18664.png，

所以圆M的方程为eef937724851bdd34d405ad359d50fd0.png；

（2）法1：若直线l的斜率不存在，则l的方程为566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png时，显然有da859706a04bd0256e614efa5d550e02.png，不合题意．

若直线l的斜率存在，设l的方程为907164e098e48d54fb9657d529182464.png，即299181b63ab6f1cae6e9d74207d9c668.png，

联立a3a0b13d3b6b04fa0ff367a979bc5196.png，得1ff4523db4dde3ef85e4debff9a77c4d.png﹐得ff1323abc8b6ad40def093528423c9b3.png，

设0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png，又54c4a0f5b7988786e32b4729e134a695.png，则1ad7040533bbd65a48cbd8a2e53bd271.png，得a0b355b48cabc3d8474330eeb33a69b3.png，

由0b2bf31038d5ce5ea2e25010042b77aa.png，得02d1c2799d52520f74271c768be1918b.png，

设过点A的抛物线C的切线的斜率为de83b4778b8582d6b501555da17bd8e7.png，则依题意有15f6f06bf5550c7c7c390f342e91552f.png，

解得abde847047c14e9d42edb7d3cd8e90ff.png，

由e6d162beffae52a13dbca298cf0851e7.png，解得38c9abaca4c0e762d42281e967e45959.png，

所以直线l的方程为406bd30625ede150b9783c5ef684ce12.png．

法2：设l的方程为8ffb3f2fd2a8cf753dc5954bf7af7e0c.png，得23b10674068ef11bc2584f130cf99d35.png，

联立a3a0b13d3b6b04fa0ff367a979bc5196.png﹐得．

设0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png，又54c4a0f5b7988786e32b4729e134a695.png，则0b29c222a3b34b3db7115826661b2fb7.png，得f9aa197b23e87a82c6aead1ce17e1ddb.png，

由0b2bf31038d5ce5ea2e25010042b77aa.png，得547aa6ca74c77fec9fcf38015381cc7c.png，

设过点A的抛物线C的切线为5bdbd6b9fd80a9bc4d0a630c3fa3c122.png，则依题意有1a50e3f427c80aae22154f1e583a1a7e.png，

解得928af3ef54a10a12834c8c40b5f76a60.png，得00ee77327090bba56e3f193de1e10825.png，

由e6d162beffae52a13dbca298cf0851e7.png，解得fde488b9c0adec0c51f27da99210f7c0.png．

所以直线l的方程为406bd30625ede150b9783c5ef684ce12.png．

法3：当34b506d4a8cb0a7bc03701bec2c7691c.png时，抛物线C的方程为ea206356ca680136718af290834673c4.png，∵0d87e2b41c604df33482d792f191c206.png，

∴抛物线C在点A处的切线的斜率为：0dfd0d3b4e04209a8009e55e4a27b5ef.png，依题意得直线OB的斜率c2a037bf88910c04833c5255fa57b6b4.png．

∴直线OB的方程为58d5aa099d6e53413019e8aac95b688c.png﹐

由d40dec3bee980a978ce0338b72c3c13f.png可得cdc73234b608a54c070267cb0ff80eba.png，

∴78d0e424ee57b0565af3ef20219cc97e.png，

∴所求直线l的方程为406bd30625ede150b9783c5ef684ce12.png.

【点睛】

本题考查了抛物线方程的求法，考查了直线与抛物线位置关系的应用，涉及韦达定理及导数法求解切线方程，属于中档题

21．已知函数606c01c7fa29b6b3e130d39f04bdee43.png．

（1）当83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png时，求函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的单调性；

（2）当cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png时，若函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的极值为e，求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值；

（3）当1ce88787488039b29b9efc821f945afd.png时，若3d97eb56e02c2889dd20a89529548180.png，求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围．

【答案】（1）50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在a14ccc272c310c8c65e39f2d65118b5a.png上单调递减，在322002a19c6c110e4a2600bb050b09a6.png上单调递增；（2）768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png；（3）cab7bacaf33ff75c145e2ab0ba7a0780.png.

【解析】（1）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出，

（2）根据导数和函数的极值的关系即可求出，

（3）根据函数的单调性和端点值以及最值，分类讨论即可求出．

【详解】

（1）当83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png，25f99795c25f35ce18fbba9e9df0e63e.png，

5f0543478ef260f4268244607f27eff4.png，

由8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png得55e4b373d02cf8cd74259285b5935196.png，解得7c89e0b529557f079c8d81ced04179fc.png，

由99300cb144197ff8dc44e17568431c8f.png得df3213333d3cfdf1e75700886623e286.png，解得5fcd8e580d888edc2fdb7944c6595b96.png，

所以50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在a14ccc272c310c8c65e39f2d65118b5a.png上单调递减，在322002a19c6c110e4a2600bb050b09a6.png上单调递增；

（2）ea1086920a8f0c1c20f3b591e7d80820.png，

因cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png，所以由8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png得daf17020f2ca0cba454c034fb48c14e2.png，解得3addf6f53f3679766653557c3cec63ec.png，

所以50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在f3a53e2ee82e1091b690f6bfdc2d75d1.png上单调递增，可知50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在c05aac9604e7abf1b200a37e327f79d4.png上单调递减；

所以函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png有极大值，无极小值，得极人值d8e1552db44f678961f7351b6be19070.png，

即f70086bf90994663e4882839aa9f002f.png，而222c238338bf37e6c9e723cfbd498d45.png显然为增函数．

又ba1c5b564d35f5582b9ec76defb5b84f.png，所以a5feb3deb32f8dd2c153210f76302aa7.png，得ba77036f543f07a168320c280152a8ad.png．

（3）法一：0a3000dcb5a6330fa56ca9816609e4c7.png（），

①当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，

过程一：由（）式得a82349674fd03b7a6714fccad01e8578.png，得5c404877ed97d2a7701c6bb802230ae1.png．

而a1431aa80ea56c7a6760947e5c26af05.png在c11125c2a1656234e461c79b9b3842ff.png上单调递减，61e4dda38eb7cca15503d757f18e0e8c.png，上式不可能恒成立；

过程二：de35e204a71cbc56a34f9cc8b83ac03b.png，f21e879a284912732f9d25150f0251d4.png，

可知（）式不成立；

②当cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png时，由（）式得87b0d645860d4edebfe78d2ba36e6e71.png，得0d3354f877f0a41fd7ec9f26ae1b8b34.png．

而8052fb8cfac3dec4f82aeef448766159.png，由上式恒成立得f94ee3db8e9262705f005581ecda890f.png；

综上知b535d57acc8e3e87ed8fc17677c6e1aa.png．

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为d1de2a0c0007ad7778040b4c0ace857e.png（ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点e9811071af815d4cd4a3766fa4f6f9e8.png在直线l：9c8df94e8618737fb3f5369f55d366a7.png上．

（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C的相交于点A、B，求e05132203552e5dc01fefe44401e1ff1.png的值．

【答案】(1) C：528071ea84616bf6cab9abb29ffc71e3.png；l：a4c3f8773e4a342a94102b96bfd4e60a.png；(2) ad42970c823577b56451b8bd48f9e85a.png

【解析】（1）直接把曲线C的参数方程中的参数消去，即可得到曲线C的普通方程，把P的极坐标代入直线方程求得m，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的直角坐标方程；

（2）写出直线l的参数方程，把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用此时t的几何意义及根与系数的关系求解．

【详解】

（1）由f8f34f4804d10f14ed042223ccee7ccc.png为参数），消去参数α，可得曲线C的普通方程为528071ea84616bf6cab9abb29ffc71e3.png；

由e9811071af815d4cd4a3766fa4f6f9e8.png在直线l：ρcosθ﹣ρsinθ+m＝0上，得2e886822cb3fb95793369b131cba43b8.png，得m61671f547220a5041cd33636cadbb791.png．

由86133ae5cd71a054fc78a23671c4e7e1.png，31b7146b874d03ca3ae858cf4795ece2.png，

∴直线l：ρcosθ﹣ρsinθ+m＝0的直角坐标方程为x﹣y873bf7a4e05b0025fe585869bcb6e1e5.png0；

（2）由（1）知直线l的倾斜角为cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png，171599c7db643f4207d9029d5227c44f.png，

直线l的参数方程为547ab6a3892679f2fad2de9cd4e2d966.png（t为参数），

代入528071ea84616bf6cab9abb29ffc71e3.png，

得：13t2﹣20t﹣20＝0．

∴|PA|•|PB|c534fa2040db5d1fbdd158fc8a97de9c.png．

【点睛】

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此时t的几何意义的应用，是中档题．

23．已知函数9110c2ba79834310b9c4cdba69ce0946.png．

（1）若f27835a0c0f7f6c30c828e071bcacbcf.png，求a的取值范围；

（2）974f0910d0c1838048b4826213cfaa4e.png，6ebfc81952a12af926eb4e45fcb5461b.png ，求a的取值范围．

【答案】(1) deff3be8ab03145c1015b210a8471c17.png．(2) c4131d3d6880ebc5fcefd31163abe7ee.png．

【解析】（1）f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1|bc927913b8b962a611790060cc8428d7.png，根据f（1）＞2分别解不等式即可'

（2）根据绝对值三角不等式求出f（x）的值域，然后由条件可得f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，解出a的范围．

【详解】

（1）∵f（x）＝|x+2a|﹣|x﹣a|，

∴f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1|bc927913b8b962a611790060cc8428d7.png，

∵f（1）＞2，∴4eea934c068bdcf3a96a40b39b0944af.png，或32d42602e4da8880c55edf97fe28e16e.png，或238a45eca0a1345564e74aae135cfe86.png，

∴a＞1，或ff6d901009f717eaf187790bcfea1ff1.pnga≤1，或a＜﹣4，

∴a的取值范围为53abc77ee35f3856ca4ced009580ec0d.png；

（2）∵||x+2a|﹣|x﹣a||≤|（x+2a）﹣（x﹣a）|＝3|a|，

∴f（x）∈[﹣3|a|，3|a|]，

∵∀x、y∈R，f（x）＞f（y）﹣6，

∴只需f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，

∴6|a|＜6，∴﹣1＜a＜1，

∴a的取值范围为[﹣1，1]．

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值三角不等式求函数的范围，考查了分类讨论和转化思想，属中档题．

2018-2019学年广东省揭阳市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）