二项式定理中展开式系数的六种常见类型

求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。

一 、型

例1．的展开式中项的系数是（ ）

（A）840 （B）－840 （C）210 （D）－210

解析：在通项公式中令=4，即得的展开式中项的系数为=840,故选A。

例2．展开式中的系数为 。

解析：通项公式 ，由题意得，则，故所求的系数为。

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定的值。

二 、型

例3．的展开式中整理后的常数项等于 .

解析；的通项公式为,令，则,这时得的展开式中的常数项为=－32, 的通项公式为,令，则,这时得的展开式中的常数项为=70，故的展开式中常数项等于。

例4．在的展开式中，含的项的系数是（ ）

(A) (B) 5 (C) (D) 10

解析：中的系数, 中的系数为,故的展开式中的系数为,故选D 。

评注：求型如的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。

三 、型

例5．的展开式中项的系数是 。

解析：的展开式中、的系数分别为和，故的展开式中项的系数为+=1008。

例6．的展开式中的系数是（ ）

（A ） （B ） （C ） （D）

略解：的展开式中、的系数分别为和,故 展开式中的系数为,故选B。

评注：求型如的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。

四 、型

例7．的展开式中整理后的常数项为 .

解法一：=，通项公式, 的通项公式为,令，则，可得或或。

当时，得展开式中项为；

当时,，得展开式中项为；

当时，得展开式中项为。

综上，的展开式中整理后的常数项为。

解法二：===，对于二项式中，，要得到常数项需，即。所以，常数项为。

解法三：是5个三项式相乘。常数项的产生有三种情况：在5个相乘的三项式中，从其中一个取，从另外4个三项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得；从其中两个取，从另外3个三项式中选两个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得；从5个相乘的三项式中取常数项相乘，可得=。

综上，的展开式中整理后的常数项为。

评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。

五 、 型

例8．在的展开式中，项的系数是　　　　。（用数字作答）

解析：由题意得项的系数为。

例9．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )

(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121

解析：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8=

中的系数为，中的系数为－,－126+5= －121,故选D。

评注：例8的解法是先求出各展开式中项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作首相为(1－x)，公比为(1－x)的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例8和例9的解答方法是求的展开式中某特定项系数的两种常规方法。

六 、求展开式中若干项系数的和或差

例10．若，

则。(用数字作答)

解析：在中，令，则，

令，则

故

=2003+。

例11．，则的值为（ ）

(A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) 2

解析：在中，

令，可得，

令，可得

所以，=

===1,故选A。

评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。

二项式定理中展开式系数的六种常见类型