1-1

1．试证：若满足Fourier积分定理中的条件，则有

其中

分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.

证明：利用Fourier积分的复数形式，有

由于所以

2．求下列函数的Fourier积分：

1）; 2)

3)

分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.

解：1）函数为连续的偶函数，其Fourier变换为

(偶函数)

f(t)的Fourier积分为

2)所给函数为连续函数，其Fourier变换为

（实部为偶函数，虚数为奇函数）

f (t)的Fourier变换为

这里用到奇偶函数的积分性质.

3）所给函数有间断点-1，0，1且f(-t)= - f(t)是奇函数，其Fourier变换为

（奇函数）

f(t)的Fourier积分为

其中t-1，0，1（在间断点处，右边f(t)应以代替）.

3．求下列函数的Fourier变换，并推证下列积分结果：

1）证明：

2）证明：

3），证明：

证明：1）函数为连续的偶函数，其Fourier变换为

再由Fourier变换得

即

2）函数为连续的偶函数，其Fourier变换为

再由Fourier变换公式得

即

3）给出的函数为奇函数，其Fourier变换为

故

4.求函数的Fourier正弦积分表达式和Fourier余弦积分表达式.

解：根据Fourier正弦积分公式，并用分部积分法，有

根据Fourier余弦积分公式，用分部积分法，有

1-2

1．求矩形脉冲函数的Fourier变换.

解：

2.设是函数的Fourier变换，证明与有相同的奇偶性.

证明：与是一个Fourier变换对，即

，

如果为奇函数，即，则

积分变换课后答案