平面向量

1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数。（1）向量式：a∥b(b≠0) a=b;（2）坐标式：a∥b(b≠0) x1y2－x2y1=0;

2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), （1）向量式：a⊥b(b≠0) ab=0; （2）坐标式：a⊥bx1x2+y1y2=0;

3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab==x1x2+y1y2;其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；

4.设A（x1,x2）、B(x2,y2)，则S⊿AOB＝；

5.平面向量数量积的坐标表示：

（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;;

（2）若a=(x,y),则a2=aa=x2+y2,;

十、向量法

1、设直线的方向向量分别是，平面的法向量分别是，则：

（1）线线平行：∥∥

（2）线面平行：∥

（3）面面平行：

注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.

2、设直线的方向向量分别是，平面的法向量分别是，则：

（1）线线垂直：

（2）线面垂直： ∥

（3）面面垂直：

3、设直线的方向向量分别是，平面的法向量分别是，则：

（1）直线所成的角，

（2）直线与平面所成的角，

（3）平面与平面所成的二面角的平面角，

教学过程：

二、新课讲授

1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.

3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．

　⑴加法交换律： + = +；

⑵加法结合律：(+) + =+ (+)；

　⑶数乘分配律：λ(+) =λ+λ；

　⑶数乘结合律：λ(u) =(λu) ．

4. 推广：⑴；

⑵；

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使＝λ.称平面向量共线定理，

二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作//．

2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量、（≠0），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.

理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）.

⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为 ||，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量.

3. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式 ．

平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α．

向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．

2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得 p= xa+yb ．

证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．

∵ 向量p与向量a、b共面

∴ 由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得 p= xa+yb．

充分性：如图，∵　xa，yb分别与a、b共线， ∴　xa，yb都在a、b确定的平面内．

又∵　xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，

∴　 p= xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．

说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．

6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得，① 或对于空间任意一定点O，有 ．②

分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数； ⑵由得：， ∴③

1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：＜a，b＞．　当＜a、b＞＝０时，a与b同向；　当＜a、b＞＝π时，a与b反向；

　当＜a、b＞＝时，称a与b垂直，记a⊥b．

⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

　　　　②＜a,b＞(a,b)

2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即　　a·b＝|a||b|cos＜a,b＞.

说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝０；

⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

几何意义：已知向量＝a和轴l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上的射影B′，则叫做向量在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影．可以证明：＝｜｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a·e的几何意义．

3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

　⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；　⑵a⊥ba·b＝０

　⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；　当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.

　　特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝.

　⑷cos＜a,b＞＝;　⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜.

4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：

⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)；　⑵ a·b＝b·a (交换律)；

　⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律)

说明：⑴(a·b)c≠a（b·с）；⑵有如下常用性质：a2＝｜a｜2，(a＋b)2＝a2＋２a·b＋b2

3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使a＝i＋j＋k．

空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？

向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A，B，则＝－＝－＝．

5. 两个向量共线或垂直的判定：设a＝，b＝，则

⑴a//ba＝λb， ；

⑵a⊥ba·b=0．

⒈ 向量的模：设a＝，b＝，求这两个向量的模.

｜a｜＝，｜b｜＝．这两个式子我们称为向量的长度公式．

这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．

2. 夹角公式推导：∵　　a·b＝|a||b|cos＜a,b＞

　　　∴　　＝··cos＜a,b＞

由此可以得出：cos＜a,b＞＝

这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；

当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．

3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点，，则

，其中表示A与B两点间的距离．

5. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．

高中数学-公式-平面向量