1985年全国统一高考数学考试(理科)

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1985年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（　　）

2．（3分）的（　　）

3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（　　）

4．（3分）极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）的图象是（　　）

5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（　　）

二、解答题（共13小题，满分90分）

6．（4分）求方程解集．

7．（4分）设|a|≤1，求arccosa+arccos（﹣a）的值．

8．（4分）求曲线y2=﹣16x+64的焦点．

9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．

10．（4分）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x2）的定义域．

11．（7分）解方程log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）．

12．（7分）解不等式

13．（15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．

14．（15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：

（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；

（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．

15．（15分）已知两点P（﹣2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）

16．（14分）设，

（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；

（2）设，用定义证明

17．（12分）设a，b是两个实数，

A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，

B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整数}，

C={（x，y）|x2+y2≤144}，

是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得

（1）A∩B≠φ（φ表示空集），

（2）（a，b）∈C

同时成立．

18．已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．

1985年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（　　）

2．（3分）的（　　）

3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（　　）

4．（3分）极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）的图象是（　　）

5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（　　）

二、解答题（共13小题，满分90分）

6．（4分）求方程解集．

7．（4分）设|a|≤1，求arccosa+arccos（﹣a）的值．

8．（4分）求曲线y2=﹣16x+64的焦点．

9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．

10．（4分）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x2）的定义域．

11．（7分）解方程log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）．

12．（7分）解不等式

13．（15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．

14．（15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：

（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；

（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．

15．（15分）已知两点P（﹣2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）

16．（14分）设，

（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；

（2）设，用定义证明

17．（12分）设a，b是两个实数，

A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，

B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整数}，

C={（x，y）|x2+y2≤144}，

是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得

（1）A∩B≠φ（φ表示空集），

（2）（a，b）∈C

同时成立．

18．已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．

1985年全国统一高考数学考试（理科）