2018-2019学年江苏省苏州市常熟市八年级（上）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列四个实数中无理数是（　　）

A. B. 2π C. D. 0

2. 下列四个图标中，是轴对称图形的是（　　）

A. B. C. D.

3. 25的平方根是（　　）

A. ±5 B. 5 C. -5 D. ±25

4. 小明秤得一个物体的质量为3.016kg，用四舍五入法将3.016精确到0.01的近似值为（　　）

A. 3 B. 3.0 C. 3.01 D. 3.02

5. 平面直角坐标系内的点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A. （3，2） B. （2，-3） C. （2，3） D. （-2，-3）

6. 下列函数中，函数值y随自变量x增大而减小的是（　　）

A. y=4x B. y=x-5 C. y=3x+6 D. y=-1.6x+4

7. 如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（　　）

A. 80°或50° B. 50°或20° C. 80°或20° D. 50°

8. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　）

A. B. 0.8 C. 3- D.

9. 关于x的方程=2的解不小于0，则a的取值范围是（　　）

A. a≤2且a≠1 B. a≥2且a≠3 C. a≤2 D. a≥2

10. 如图，长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AB边上，将纸片沿CE折叠，点B落在点F处，EF，CF分别交AD于点G，H，且EG=GH，则AE的长为（　　）

A. B. 1 C. D. 2

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 比较大小：______2 （填“＜“，“=“或“＞“）．

12. 当x=______时，分式的值为0．

13. 已知点P（2a+1，a-3）在第四象限，则a的取值范围是______．

14. 将函数y=3x的图象沿y轴向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为______．

15. 若一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象经过点（1，3）和点（-1，2），则k2-b2的值为______．

16. 如图，小明把一张三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，折痕分别为DE，FG，此时测得∠EBG=40°，则∠ABC的度数为______°．

17. 已知点A（-2，0），点P是直线y=x上的一个动点，当以A，O，P为顶点的三角形面积是3时，点P的坐标为______．

18. 如图，已知等边△ABC的边长是6，点D在AC上，且CD=4．延长BC到E，使CE=CD，连接DE．点F，G分别是AB，DE的中点，连接FG，则FG的长为______．

三、计算题（本大题共3小题，共16.0分）

19. 计算：．

20. 解方程：=1-．

21. 先化简：，然后在0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．

四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）

22. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．
（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，使点A坐标为（7，6），点C坐标为（2，1）；
（2）在（1）的条件下，①请画出点B关于y轴的对称点D，并写出点D的坐标；
②点E是边AC上的一个动点，连接BD，BE，DE，则△BDE周长的最小值为______．

23. 如图，已知函数y1=x+5的图象与x轴交于点A，一次函数y2=-2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，且与y1=x+5的图象交于点D（m，4）．
（1）求m，b的值；
（2）若y1＞y2，则x的取值范围是______；
（3）求四边形AOCD的面积．

24. 甲、乙两个公司为某国际半程马拉松比赛各制作6400个相同的纪念品．已知甲公司的人数比乙公司人数少20%，乙公司比甲公司人均少做20个，甲、乙两公司各有多少人？

25. 已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AB=15，AC=9，求CF的长．

26. 甲、乙两个工程队共同修建一条公路，两个工程队同时从两端按一定的工作效率开始施工．从开始施工到完成修建这条公路，甲队施工40天；乙队在中途接到紧急任务而停止施工一段时间，然后按原来的工作效率继续施工，直到这条公路修建完成为止．设甲、乙两工程队各自修建公路的长度分别为y1（米），y2（米），甲队施工的时间为x
（天），y1，y2与x之间的函数图象如图所示．
（1）甲队每天修建公路______米，这条公路的总长度是______米；
（2）求乙队停止施工的天数；
（3）求乙队在恢复施工后，y2与x之间的函数表达式；
（4）求甲、乙两队共同修建完3050米长的公路时甲队施工的时间．

27. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是边AC上一点，DE⊥AB，垂足为E．点F是BD的中点，连接CF，EF．
（1）求证：CF=EF；
（2）判断CF与EF的位置关系，并说明理由；
（3）若∠DBE=30°，连接AF，求∠AFE的度数．

28. 如图，正方形OABC的顶点O是坐标原点，边OA和OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，4）．直线l经过点C．
（1）若直线l与边OA交于点M，过点A作直线l的垂线，垂足为D，交y轴于点E．
①如图1，当OE=1时，求直线l对应的函数表达式；
②如图2，连接OD，求证：OD平分∠CDE．
（2）如图3，若直线l与边AB交于点P，且S△BCP=S四边形AOCP，此时，在x轴上是否存在点Q，使△CPQ是以CP为直角边的直角三角形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】B
【解析】

解：A．是有理数；
B．2π是无理数；
C．=2，是有理数；
D．0是有理数；
故选：B．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

2.【答案】C
【解析】

解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】A
【解析】

解：∵（±5）2=25
∴25的平方根±5．
故选：A．
如果一个数x的平方等于a，那么x是a是平方根，根据此定义即可解题．
本题主要考查了平方根定义，关键是注意一个非负数有两个平方根．

4.【答案】D
【解析】

解：用四舍五入法将3.016精确到0.01的近似值为3.02，
故选：D．
把千分位上的数字6进行四舍五入即可．
本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．

5.【答案】B
【解析】

解：根据中心对称的性质，得点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）．
故选：B．
根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）”解答即可．
关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．

6.【答案】D
【解析】

解：当k＜0时，函数值y随自变量x增大而减小，
故选：D．
根据函数值y随自变量x的增大而减小得出k＜0即可．
此题考查一次函数的问题，关键是根据函数值y随自变量x的增大而减小得出k＜0．

7.【答案】A
【解析】

解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，
②当这个角80°是顶角，
设等腰三角形的底角是x°，
则2x+80°=180°，
解可得，x=50°，
即该等腰三角形的底角的度数是50°；
故选：A．
根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．
本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．

8.【答案】C
【解析】

解：如图，连接AD，则AD=AB=3，
由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE==，
又∵CE=3，
∴CD=3-，
故选：C．
连接AD，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
本题考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出DE是解决问题的关键．

9.【答案】A
【解析】

解：+=2，
方程两边同时乘以（x-1）得：
x+a-2a=2（x-1），
解得：x=2-a，
∵方程的解不小于0，
∴2-a≥0，
解得：a≤2，
∵分式方程分母不为0，
∴2-a≠1，
解得：a≠1，
即a的取值范围是：a≤2且a≠1，
故选：A．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到含有a的x的值．
本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正确掌握解分式方程和解一元一次不等式的方法是解题的关键．

10.【答案】B
【解析】

解：∵将△CBE沿CE翻折至△CFE，
∴∠F=∠B=∠A=90°，BE=EF，
在△AGE与△FGH中，

∴△AGE≌△FGH（AAS），
∴FH=AE，GF=AG，
∴AH=BE=EF，
设AE=x，则AH=BE=EF=4-x
∴DH=x+2，CH=6-x，
∵CD2+DH2=CH2，
∴42+（2+x）2=（6-x）2，
∴x=1，
∴AE=1，
故选：B．
根据折叠的性质得到∠F=∠B=∠A=90°，BE=EF，根据全等三角形的性质得到FH=AE，GF=AG，得到AH=BE=EF，设AE=x，则AH=BE=EF=4-x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

11.【答案】＜
【解析】

解：∵2==，
∴＜2，
故答案为：＜．
求出2=，根据＞即可求出答案．
本题考查了实数的大小比较的应用，关键是求出2=，题目比较典型，难度不大．

12.【答案】3
【解析】

解：依题意得：x-3=0且3x+2≠0，
解得x=3．
故答案为：3．
分式的值为0：分子为0，且分母不为0．据此求解可得．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

13.【答案】-＜a＜3
【解析】

解：∵点P（2a+1，a-3）在第四象限，
∴，
解不等式①得a＞-，
解不等式②得a＜3，
所以a的取值范围是-＜a＜3．
故答案为：-＜a＜3．
根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

14.【答案】y=3x-2
【解析】

解：将函数y=3x的图象沿y轴向下平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为：y=3x-2．
故答案为：y=3x-2．
直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．

15.【答案】-6
【解析】

解：根据题意得：
解得：
∴k2-b2=-=-6
故答案为：-6
将点（1，3）和点（-1，2）代入解析式可求k，b的值，即可求k2-b2的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键．

16.【答案】110
【解析】

解：∵把一张三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，
∴∠ABE=∠A，∠CBG=∠C，
∵∠A+∠C=180°-∠ABC，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBG+∠EBG，
∴∠ABC=∠A+∠C+40°=180°-∠ABC+40°，
∴∠ABC=110°，
故答案为：110．
根据折叠的性质得到∠ABE=∠A，∠CBG=∠C，根据三角形的内角和得到∠A+∠C=180°-∠ABC，列方程即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．

17.【答案】（4，3）或（-4，-3）
【解析】

解：∵点P是直线y=x上的一个动点，
∴可设P（x，x），
∵以A，O，P为顶点的三角形面积是3，
∴×AO×|x|=3，
即×2×|x|=3，
解得x=±4，
∴P（4，3）或（-4，-3），
故答案为：（4，3）或（-4，-3）．
依据点P是直线y=x上的一个动点，可设P（x，x），再根据以A，O，P为顶点的三角形面积是3，即可得到x的值，进而得出点P的坐标．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．

18.【答案】
【解析】

解：如图，连接CF，CG，
∵AC=BC，CE=CD，点F，G分别是AB，DE的中点，
∴CF平分∠ACB，CG平分∠DCE，
∴∠FCG=90°，
又∵CD=CE=4，BC=6，
∴Rt△BCF中，BF=3，CF==3，
Rt△CEG中，CG=CE=2，
∴Rt△FCG中，FG===，
故答案为：．
连接CF，CG，依据等腰三角形的性质，即可得到CF平分∠ACB，CG平分∠DCE，进而得出∠FCG=90°，再根据勾股定理即可得到FG的长．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

19.【答案】解：原式=4--3
=1-
=．
【解析】

先计算算术平方根、立方根和乘方，再计算加减可得．
本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则．

20.【答案】解：去分母得：x（x-3）=x2-9-x+1，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
【解析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

21.【答案】解：原式=÷（-）
=÷
=•
=，
∵x≠1且x≠0，x≠-2，
∴x=2，
则原式==．
【解析】

先利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
本题主要考查分式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

22.【答案】12
【解析】

解：（1）如图所示：

（2）①如图所示，点D即为所求，D（-1，6）；
②如图所示，作点B关于AC的对称点F，则F（7，0），
连接DF，交AC于点E，连接BE，则DE+BE的最小值为DF的长，
由勾股定理可得，DF==10，
又∵BD=2，
∴△BDE周长的最小值为10+2=12，
故答案为：12．
（1）依据点A坐标为（7，6），点C坐标为（2，1），即可画出平面直角坐标系；
（2）①依据轴对称的性质，即可画出点B关于y轴的对称点D，进而写出点D的坐标；
②作点B关于AC的对称点F，则F（7，0），连接DF，交AC于点E，连接BE，则DE+BE的最小值为DF的长，依据勾股定理求得DF=10，即可得到△BDE周长的最小值为12．
本题主要考查了利用轴对称变换作图，勾股定理以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

23.【答案】x＞-1
【解析】

解：（1）∵函数y1=x+5的图象与x轴交于点A，
∴A（-5，0）．
∵y=4时，x+5=4，解得x=-1，
∴D（-1，4）．
将D（-1，4）代入y2=-2x+b，
得4=-2×（-1）+b，
解得b=2，
故m=-1，b=2；

（2）由图象可知，若y1＞y2，则x的取值范围是x＞-1．
故答案为x＞-1；

（3）∵一次函数y2=-2x+2的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，
∴B（1，0），C（0，2），
∴S四边形AOCD=S△ABD-S△BOC
=×6×4-×1×2
=12-1
=11．
（1）先由函数y1=x+5，求出点A，点D的坐标，得到m的值；再将D点坐标代入y2=-2x+b，求出b的值；
（2）根据函数图象，求出y1落在y2图象上方的部分对应的x的取值范围即可；
（3）先由y2=-2x+2，求出B，C两点的坐标，再代入S四边形AOCD=S△ABD-S△BOC计算即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合思想．

24.【答案】解：设乙公司有x人，则甲公司有（1-20%）x人，
根据题意得：-=20，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
∴（1-20%）x=64．
答：甲公司有64人，乙公司有80人．
【解析】

设乙公司有x人，则甲公司有（1-20%）x人，根据人均生产数量=纪念品总量÷人数结合乙公司比甲公司人均少做20个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

25.【答案】（1）证明：作DK⊥BC于K．

∵DK垂直平分线段BC，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵∠DAE=∠DAF，AD=AD，
∴△EAD≌△FAD（AAS），
∴DE=DF，AE=AF，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE=CF，

（2）∵AB+AC=AE+BE+AF-CF=2AE=15+9=24，
∴AE=AF=12，
∴CF=AF-AC=12-9=3．
【解析】

（1）作DK⊥BC于K．连接DB，CD．由△EAD≌△FAD（AAS），推出DE=DF，AE=AF，再证明Rt△DEB≌Rt△DFC，可得BE=CF．
（2）想办法求出AE，AF的值即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

26.【答案】60   4150
【解析】

解：（1）甲队速度：2400÷40=60米/天，
乙队速度：500÷10=50米/天；
公路总长度2400+1750=4150米，
故答案为：60，4150；
（2）1750÷50=35天，
40-35=5天，
所以乙队停止施工5天；
（3）设y2=kx+b，把（15，500）、（40，1750）代入得

解得k=50，b=-250，
∴y2=50x-250；
（4）当x=15时，甲乙两队修路15×60+500＜3050，
所以甲、乙两队共同修建完3050米长的公路的时间超过15天，
设甲、乙两队共同修建完3050米长的公路时，甲队施工a天，则
60a+50a-250=3050
解得a=33，
所以甲、乙两队共同修建完3050米长的公路时，甲队施工33天．
（1）根据图象可计算甲乙两队的施工速度.2400+1750即公路总长度；
（2）根据乙修建1750米的实际时间，可解答；
（3）由待定系数法求解；
（4）先确定是否超过15天，再根据两队共修建3050米列方程求解．
本题考查一次函数应用．根据图象获取信息确定函数表达式是解答关键．

27.【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠DCB=90°，DF=FB，
∴EF=DB，CF=BD，
∴EF=CF．

（2）结论：CF⊥EF．
理由：∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵∠DCB=∠DEB=90°，
∴∠CDE=135°，
∵DF=FB，
∴DF=EF=CF，
∴∠FDE=∠FED，∠FCD=∠FDC，
∴∠FED+∠FDE+∠FDC+∠FCD=270°，
∴∠CFE=360°-270°=90°，
∴CF⊥FE．

（3）∵∠DBE=30°，∠DEB=90°，
∴∠FDE=60°，
∵FD=FE，
∴△DEF是等边三角形，
∴EF=DE，
∵∠DAE=45°，∠DEA=90°，
∴∠DAE=∠ADE=45°，
∴AE=DE，
∴AE=EF．
∴∠EAF=∠EFA，
∵FE=FB，
∴∠FEB=∠FBE=30°，
∵∠BEF=∠EAF+∠EFA，
∴∠EFA=15°．
【解析】

（1）根据直角三角形斜边中线的性质证明即可．
（2）利用四边形内角和定理，证明∠CFE=90°即可．
（3）只要证明EA=EF∠FEB=30°即可．
本题考查等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

28.【答案】解：（1）①∵四边形OABC是正方形，点B（4，4）
∴点A（4，0），点C（0，4），
∴AO=CO=AB=BC=4，
∵OE=1
∴点E（0，-1）
设直线AE解析式为：y=kx+b，
∴
解得：k=，b=-1，
∴直线直线AE解析式为y=x-1，
∵AE⊥直线l，
∴设直线l的解析式为y=-4x+m，且过点C（0，4）
∴m=4，
∴直线l的解析式为y=-4x+4
②如图，连接AC，

∵四边形OABC是正方形，
∴∠COA=90°，∠CAO=45°，
∵∠COA=∠CDA=90°，
∴点C，点A，点D，点O四点共圆，
∴∠CAO=∠ODC=45°
∴∠ODC=∠CDE
∴OD平分∠CDE
（2）存在
∵S△BCP=S四边形AOCP，
∴S△BCP=S正方形OABC，
∴×4×BP=×4×4，
∴BP=2，
∴AP=AB-BP=2，
如图，若∠PCQ=90°，

∴∠QCO+∠OCP=90°，
又∵∠BCO=∠BCP+∠OCP=90°，
∴∠QCO=∠BCP，且BC=CO，∠COQ=∠B=90°，
∴△BCP≌△OCQ（ASA）
∴BP=OQ=2
∴点Q（-2，0）
如图，若∠CPQ=90°，

∴∠APQ+∠BPC=90°，
又∵∠BPC+∠BCP=90°，
∴∠BCP=∠APQ，且∠B=∠PAQ=90°，
∴△APQ∽△BCP
∴
∴
∴AQ=1，
∴OQ=AO-AQ=3，
∴点Q（3，0）
综上所述：点Q（3，0）或（-2，0）
【解析】

（1）①由题意可求点A，点C坐标，用待定系数法可求直线AE解析式，由AE⊥直线l，可设直线l的解析式为y=-4x+m，将点C坐标代入，可求直线l的解析式；
②连接AC，由∠AOC=∠ADC=90°，可得点C，点A，点D，点O四点共圆，可得∠CAO=∠ODC=45°，即OD平分∠CDE；
（2）分∠PCQ=90°和∠CPQ=90°两种情况讨论，根据全等三角形的性质和相似三角形的性质可求点Q的坐标．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及圆的有关知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．

2018-2019学年江苏省苏州市常熟市八年级（上）期末数学试卷