高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)

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立体几何知识点整理
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一.直线和平面的三种位置关系:1.线面平行
l

α
符号表示:
2.线面相交
l
A
α
符号表示:
3.线在面内
α
l
符号表示:
二.平行关系:1.线线平行:
方法一:用线面平行实现。ll//

l
l//mm

m

方法二:用面面平行实现。
l
//β
γl
l//mα
m
m
方法三:用线面垂直实现。l,m,则l//m方法四:用向量方法:
若向量l和向量m共线且lm不重合,l//m
2.线面平行:
方法一:用线线平行实现。
ll//m
m
m
l//α
l
方法二:用面面平行实现。
β
l
//
l
l//α方法三:用平面法向量实现。
n
l
n为平面的一个法向nll,
α
l//
3.面面平行:
方法一:用线线平行实现。
l
l//l'
βm
m//m'

l,m且相交//
m'
l'
α
l',m'且相交
方法二:用线面平行实现。
l
l//

βm
m//
//l,m且相交
α

三.垂直关系:1.线面垂直:
方法一:用线线垂直实现。
lAC
l
lAB
ACABAl
αA
C
B
AC,AB

1


方法二:用面面垂直实现。步骤2:解三角形求出角。(常用到余弦定理余弦定理:
a
β
l


ml222
cm
lm,l
α

2.面面垂直:
方法一:用线面垂直实现。
β
l
l
l
α

方法二:计算所成二面角为直角。3.线线垂直:
方法一:用线面垂直实现。
ll
m
lmmα

方法二:三垂线定理及其逆定理。
P
PO
lOA
lPAA
O
l
α
l

方法三:用向量方法:
若向量l和向量m的数量积为0,则lm三.夹角问题。(面直线所成的角:(1范围:(0,90](2求法:方法一:定义法。
步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。

cos
abc
θ
2ab

b
(计算结果可能是其补角
方法二:向量法。转化为向量的夹角C
(计算结果可能是其补角
θA
cos
ABACB
ABAC

(线面角
(1定义:直线l上任取一点P(交点除外),作POO,连结AOAO为斜线PA在面的射影,PAO(图中为直线l与面所成的角。
P
A
θ
α
O

(2范围:[0,90]
0时,ll//90时,l(3求法:方法一:定义法。
步骤1:作出线面角,并证明。步骤2:解三角形,求出线面角。
方法二:向量法(n为平面的一个法向量
sincosn,AP
nPAPαA
θ
O

nnAP


2

(面角及其平面角
(1定义:在棱l上取一点P,两个半平面内分别作l的垂线(射线)mn,则射线mn的夹角二面角l的平面角。



mnP
l
四.距离问题。1.点面距。方法一:几何法。
P


步骤1过点PPOO线段PO即为所求。步骤2:计算线段PO的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法
方法二:坐标法。
nαAθ
PO
A
O
(2范围:[0,180](3求法:方法一:定义法。
步骤1作出二面角的平面角(三垂线定理并证明。步骤2:解三角形,求出二面角的平面角。方法二:截面法。
步骤1如图,若平面POA同时垂直于平面则交线(射线APAO的夹角就是二面角。步骤2:解三角形,求出二面角。
β
Pθ
α
O
A

n
dAPcosnAP
nAPn


2.线面距、面面距均可转化为点面距。3.异面直线之间的距离方法一:转化为线面距离。
m

如图,mn为两条异面直线,n

则异面直线mn之间的距离可转化为直m//
线m与平面之间的距离。方法二:直接计算公垂线段的长度。方法三:公式法。
B
a
A
m
方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补
n1θ
n2
uruur
uruurn1n2
步骤一:计算cosn1n2uruur
n1n2

c
b
C
dnD
m'

uruur
步骤二:判断n1n2的关系,可能相等或
者互补。
如图,AD是异面直线mn的公垂线段,
m//m',则异面直线mn之间的距离为:
dc2a2b22abcos
3

五.空间向量(空间向量基本定理
若向量a,b,c为空间中不共面的三个向量,则对空间中任意一个向量p,都存在唯一的有序实数对
角分别为,则cos+cos+cos
222
αβ
γ
βαγ

xyz,使得pxaybzc
(三点共线,四点共面问题1.ABC三点共线
若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为,则cos+cos+cos3.若长方体的长宽高分别为abc,则体对角线长为,表面积为,体积为(棱锥:底面是正多边形且顶点在底面的射影
在底面中心。
(棱柱:底面是正多边形的直棱柱。(多面体:每个面有相同边数的正多边形,且
每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体
(锥的性质:平行于底面的的截面与底面相似,
且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。
(积:V棱柱V棱锥(
1.定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2.设球半径为R小圆的半径为r小圆圆心为O1球心O到小圆的距离为d,则它们三者之间的数量关系是
3.球面距离:经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
4.球的表面积公式:体积公式:
2
2
2
uuuruuuruuur
OAxOByOC,且xy1
1
xy时,A是线段BC
2
ABC三点共线ABAC2.ABCD四点共面
uuuruuuruuuruuur
OAxOByOCzOD,且xyz1
1
xyz时,A是△BCD
3
ABCD四点共面ABxACyAD(空间向量的坐标运算
1.已知空间中AB两点的坐标分别为:
A(x1,y1,z1B(x2,y2,z2则:
uuuruuur
AB;dA,BAB
r
2.若空间中的向量a(x1,y1,z1b(x2,y2,z2
rrrr
ababrrrr
abcosab
六.常见几何体的特征及运算(方体
1.长方体的对角线相等且互相平分。
2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的

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