江苏无锡市大桥实验学校2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析
发布时间:2019-10-17 20:13:03
发布时间:2019-10-17 20:13:03
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求)
1.﹣4的相反数是( )
A. B. ﹣ C. 4 D. ﹣4
2.绵阳科技城是四川省第二大城市,2012年国民生产总值约为14000000万元,用科学记数法表示应为( )万元.
A. 14×107 B. 1.4×107 C. 1.4×106 D. 0.14×107
3.一次数学测试后,随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下:91,78,98,85,98.关于这组数据说法错误的是( )
A. 平均数是91 B. 极差是20 C. 中位数是91 D. 众数是98
4.在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色外,没有任何其他区别,现从这个盒子中随机摸出一个球,摸到黄球的概率为( )
A. B. C. D. 1
5.已知x是实数,且(x﹣2)(x﹣3)=0,则x2+x+1的值为( )
A. 13 B. 7 C. 3 D. 13或7或3
6.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则sinC等于( )
A. B. C. D.
7.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )
A. 点(0,3) B. 点(2,3) C. 点(6,1) D. 点(5,1)
8.将抛物线y=3x2先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是( )
A. y=3(x+2)2+1 B. y=3(x+2)2﹣1 C. y=3(x﹣2)2+1 D. y=3(x﹣2)2﹣1
9.下列各图是在同一直角坐标系内,二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,若⊙O的半径为,AC=2,则sinB的值是( )
A. B. C. D.
11.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4.将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后,得到矩形FGCE(点A、B、D的对应点分别为点F、G、E).动点P从点B开始沿BC﹣CE运动到点E后停止,动点Q从点E开始沿EF﹣FG运动到点G后停止,这两点的运动速度均为每秒1个单位.若点P和点Q同时开始运动,运动时间为x(秒),△APQ的面积为y,则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
12.如图,在△ABC中,AB=AC=5,CB=8,分别以AB、AC为直径作半圆,则图中阴影部分面积是( )
A. B. 25π﹣24 C. 25π﹣12 D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.)
13.函数中自变量x的取值范围是 .
14.分解因式:a3﹣4a2+4a= .
15.已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根,且两圆的圆心距O1O2=t+2,若这两个圆相交,则t的取值范围为 .
16.在平面直角坐标系xOy中,有一只电子青蛙在点A(1,0)处.第一次,它从点A先向右跳跃1个单位,再向上跳跃1个单位到达点A1;第二次,它从点A1先向左跳跃2个单位,再向下跳跃2个单位到达点A2;第三次,它从点A2先向右跳跃3个单位,再向上跳跃3个单位到达点A3;第四次,它从点A3先向左跳跃4个单位,再向下跳跃4个单位到达点A4;…依此规律进行,点A7的坐标为 ;若点An的坐标为(2014,2013),则n= .
17.如图,PA与⊙O相切于点A,PO的延长线与⊙O交于点C,若⊙O的半径为3,PA=4.弦AC的长为 .
18.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB边上一点,∠BCE=15°,且AE=AD,连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论:
①△ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③;④,
其中结论正确的是 .
三、解答题(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1)计算:+(﹣1)0﹣2sin60°+3﹣1.
(2)先化简,后计算:(÷)•,其中a=﹣3.
20.近年来,北京郊区依托丰富的自然和人文资源,大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目,京郊旅游业迅速崛起,农民的收入逐步提高.以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分.
北京市2009﹣2012年农业观光园经营年收入增长率统计表
年份 年增长率(精确到1%)
2009年 12%
2010年
2011年 22%
2012年 24%
请根据以上信息解答下列问题:
(1)北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是 ;(结果精确到1%)
(2)请补全条形统计图并在图中标明相应数据;(结果精确到0.1)
(3)如果从2012年以后,北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长,请你估算,若经营年收入要不低于2008年的4倍,至少要到 年.(填写年份)
21.如图,已知等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,圆心O在△ABC内部,且⊙O经过B、C两点,若BC=8,AO=1,求⊙O的半径.
22.某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2300元,销售单价定为3000元.在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2500元.
(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2500元?
(2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获得的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作FE⊥AB于点E,交AC的延长线于点F.
(1)求证:EF与⊙O相切;
(2)若AE=6,sin∠CFD=,求EB的长.
24.如图,AB为⊙O的直径,AB=4,P为AB上一点,过点P作⊙O的弦CD,设∠BCD=m∠ACD.
(1)已知,求m的值,及∠BCD、∠ACD的度数各是多少?
(2)在(1)的条件下,且,求弦CD的长;
(3)当时,是否存在正实数m,使弦CD最短?如果存在,求出m的值,如果不存在,说明理由.
25.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且与直线l的另一个交点为C(n,).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<n).DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请求出点A1的横坐标.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求)
1.﹣4的相反数是( )
A. B. ﹣ C. 4 D. ﹣4
考点: 相反数.
专题: 常规题型.
分析: 根据相反数的定义作答即可.
解答: 解:﹣4的相反数是4.
故选C.
点评: 本题考查了相反数的知识,注意互为相反数的特点:互为相反数的两个数的和为0.
2.绵阳科技城是四川省第二大城市,2012年国民生产总值约为14000000万元,用科学记数法表示应为( )万元.
A. 14×107 B. 1.4×107 C. 1.4×106 D. 0.14×107
考点: 科学记数法—表示较大的数.
分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答: 解:将14000000万用科学记数法表示为1.4×107万元,
故选B.
点评: 本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.一次数学测试后,随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下:91,78,98,85,98.关于这组数据说法错误的是( )
A. 平均数是91 B. 极差是20 C. 中位数是91 D. 众数是98
考点: 极差;算术平均数;中位数;众数.
分析: 根据平均数、中位数、众数和极差的定义求解.
解答: 解:根据定义可得,极差是20,众数是98,中位数是91,平均数是90.故A错误.
故选A.
点评: 本题重点考查平均数,中位数,众数及极差的概念及求法.
4.在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色外,没有任何其他区别,现从这个盒子中随机摸出一个球,摸到黄球的概率为( )
A. B. C. D. 1
考点: 概率公式.
专题: 计算题.
分析: 根据概率的求法,找准两点:
①全部情况的总数为6;
②符合条件的情况数目为2;二者的比值就是其发生的概率.
解答: 解:∵黄球共有2个,球数共有3+2+1=6个,
∴P(黄球)==,
故选B.
点评: 本题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
5.已知x是实数,且(x﹣2)(x﹣3)=0,则x2+x+1的值为( )
A. 13 B. 7 C. 3 D. 13或7或3
考点: 二次根式有意义的条件.
分析: 根据二次根式的性质求出x≤1,求出x的值,代入求出即可.
解答: 解:∵要使(x﹣2)(x﹣3)有意义,
∴1﹣x≥0,
∴x≤1,
∵x是实数,且(x﹣2)(x﹣3)=0,
∴x﹣2=0,x﹣3=0,=0,
∴x=2或x=3或x=1,
∴x=1,
∴x2+x+1=12+1+1=3,
故选C.
点评: 本题考查了二次根式的性质和求代数式的值的应用,关键是求出x的值.
6.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则sinC等于( )
A. B. C. D.
考点: 三角形中位线定理;勾股定理的逆定理.
分析: 如图,连接BD,由三角形中位线定理得到BD的长度,然后利用勾股定理的逆定理推知△BCD为直角三角形,最后由锐角三角函数的定义进行解答.
解答: 解:连接BD,
∵E、F分别是AB、AD的中点,
∴EF∥BD,EF=BD,
∵EF=2,
∴BD=4,
又∵BC=5,CD=3,
∴BD2+CD2=BC2,
∴△BDC是直角三角形,
∴sinC==,
故选:C.
点评: 此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理,根据已知得出△BDC是直角三角形是解题关键.
7.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )
A. 点(0,3) B. 点(2,3) C. 点(6,1) D. 点(5,1)
考点: 切线的判定;坐标与图形性质.
专题: 数形结合.
分析: 先根据垂径定理的推论得到过格点A,B,C的圆的圆心P点坐标(2,0),连结PB,过点B作PB的垂线,根据切线的判定定理得l为⊙P的切线,然后利用l经过的格点对四个选项进行判断.
解答: 解:作AB和BC的垂直平分线,它们相交于P点,如图,
则过格点A,B,C的圆的圆心P点坐标为(2,0),
连结PB,过点B作PB的垂线,则l为⊙P的切线,
从图形可得点(1,3)和点(5,1)在直线l上,
故选D.
点评: 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了垂径定理和坐标与图形性质.
8.将抛物线y=3x2先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是( )
A. y=3(x+2)2+1 B. y=3(x+2)2﹣1 C. y=3(x﹣2)2+1 D. y=3(x﹣2)2﹣1
考点: 二次函数图象与几何变换.
专题: 探究型.
分析: 根据函数图象平移的法则“左加右减,上加下减”的原则进行解答即可.
解答: 解:由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=3x2先向左平移2个单位可得到抛物线y=3(x+2)2;
由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=3(x+2)2先向下平移1个单位可得到抛物线y=3(x+2)2﹣1.
故选B.
点评: 本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
9.下列各图是在同一直角坐标系内,二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )
A. B. C. D.
考点: 二次函数的图象;一次函数的图象.
专题: 压轴题.
分析: 本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+(a+c)x+c的图象相比较看是否一致,用排除法即可解答.
解答: 解:A、一次函数y=ax+c的图象过一、三象限,a>0,与二次函数开口向下,即a<0相矛盾,错误;
B、一次函数y=ax+c的图象过二、四象限,a<0,与二次函数开口向上,a>0相矛盾,错误;
C、y=ax2+(a+c)x+c=(ax+c)(x+1),故此二次函数与x轴的两个交点为(﹣,0),(﹣1,0),一次函数y=ax+c与x轴的交点为(﹣,0),故两函数在x轴上有交点,错误;
排除A、B、C,
故选D.
点评: 本题考查二次函数与一次函数的图象性质,比较简单.
10.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,若⊙O的半径为,AC=2,则sinB的值是( )
A. B. C. D.
考点: 锐角三角函数的定义;圆周角定理;三角形的外接圆与外心.
分析: 求角的三角函数值,可以转化为求直角三角形边的比,连接DC.根据同弧所对的圆周角相等,就可以转化为:求直角三角形的锐角的三角函数值的问题.
解答: 解:连接DC.
根据直径所对的圆周角是直角,得∠ACD=90°.
根据同弧所对的圆周角相等,得∠B=∠D.
∴sinB=sinD==.
故选A.
点评: 综合运用了圆周角定理及其推论.注意求一个角的锐角三角函数时,能够根据条件把角转化到一个直角三角形中.
11.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4.将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后,得到矩形FGCE(点A、B、D的对应点分别为点F、G、E).动点P从点B开始沿BC﹣CE运动到点E后停止,动点Q从点E开始沿EF﹣FG运动到点G后停止,这两点的运动速度均为每秒1个单位.若点P和点Q同时开始运动,运动时间为x(秒),△APQ的面积为y,则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
考点: 动点问题的函数图象.
分析: 先求出点P在BE上运动是时间为6秒,点Q在EF﹣FG上运动是时间为6秒,然后分:
①当0≤x≤4时,根据△APQ的面积为y=S矩形MBEF﹣S△ABP﹣S△PEQ﹣S梯形FMAQ,列式整理即可得解;
②当4<x≤6时,根据△APQ的面积为△APQ的面积为y=S梯形MBPQ﹣S△BPA﹣S△AMQ,列式整理即可得解,再根据函数解析式确定出函数图象即可.
解答: 解:①如图1,延长AD交EF于H,延长FG与BA的延长线交于点M.
当0≤x≤4时,y=6×4﹣×2•x﹣(6﹣x)•x﹣×(4﹣x+2)×6=x2﹣x+6=(x﹣1)2+,
此时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分,且顶点坐标是(1,).
故C、D选项错误;
②点Q在GF上时,4<x≤6,
BP=x,MQ=6+4﹣x=10﹣x,
△APQ的面积为y=S梯形MBPQ﹣S△BPA﹣S△AMQ,
=(x+10﹣x)×4﹣•2•x﹣(10﹣x)•2,
=10,
综上所述,y=,
故选:A.
点评: 本题考查了动点问题的函数图象,根据点Q运动时间和位置,分点Q在CE﹣EF、GF上两种情况,利用割补法求得△APQ的面积,从而得到函数关系式是解题的关键,也是本题的难点.
12.如图,在△ABC中,AB=AC=5,CB=8,分别以AB、AC为直径作半圆,则图中阴影部分面积是( )
A. B. 25π﹣24 C. 25π﹣12 D.
考点: 扇形面积的计算;等腰三角形的性质.
分析: 设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点,连AD,根据直径所对的圆周角为直角得到AD⊥BC,再根据勾股定理计算出AD,然后利用阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积计算即可.
解答: 解:设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点,连AD,如图,
∴AD⊥BC,
∴BD=DC=BC=4,
∵AB=AC=5,
∴AD=3,
∴阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积
=π×()2﹣×8×3
=π﹣12.
故选:D.
点评: 本题考查了不规则图形面积的计算方法:把不规则的图形面积的计算转化为规则图形的面积和差来计算.也考查了圆周角定理的推论以及勾股定理.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.)
13.函数中自变量x的取值范围是 x≥2 .
考点: 函数自变量的取值范围.
分析: 根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,就可以求解.
解答: 解:依题意,得x﹣2≥0,
解得:x≥2,
故答案为:x≥2.
点评: 本题主要考查函数自变量的取值范围,考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数.
14.分解因式:a3﹣4a2+4a= a(a﹣2)2 .
考点: 提公因式法与公式法的综合运用.
专题: 因式分解.
分析: 观察原式a3﹣4a2+4a,找到公因式a,提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方公式,利用完全平方公式继续分解可得.
解答: 解:a3﹣4a2+4a,
=a(a2﹣4a+4),
=a(a﹣2)2.
故答案为:a(a﹣2)2.
点评: 本题考查了对一个多项式因式分解的能力.一般地,因式分解有两种方法,提公因式法,公式法,能提公因式先提公因式,然后再考虑公式法(完全平方公式).要求灵活运用各种方法进行因式分解.
15.已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根,且两圆的圆心距O1O2=t+2,若这两个圆相交,则t的取值范围为 0<t<6 .
考点: 圆与圆的位置关系;解一元二次方程-因式分解法.
分析: 首先求得方程的两根,然后根据相交两圆的圆心距的取值范围确定t的取值范围即可.
解答: 解:∵⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根,
∴解方程得两圆的半径分别为3和5,
∵相交两圆的圆心距O1O2=t+2,
∴5﹣3<t+2<5+3
解得:0<t<6,
故答案为:0<t<6
点评: 本题考查了两圆半径、圆心距与两圆位置之间的关系,如果设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P:外离P>R+r;外切P=R+r;相交R﹣r<P<R+r;内切P=R﹣r;内含P<R﹣r.
16.在平面直角坐标系xOy中,有一只电子青蛙在点A(1,0)处.第一次,它从点A先向右跳跃1个单位,再向上跳跃1个单位到达点A1;第二次,它从点A1先向左跳跃2个单位,再向下跳跃2个单位到达点A2;第三次,它从点A2先向右跳跃3个单位,再向上跳跃3个单位到达点A3;第四次,它从点A3先向左跳跃4个单位,再向下跳跃4个单位到达点A4;…依此规律进行,点A7的坐标为 (5,4) ;若点An的坐标为(2014,2013),则n= 4025 .
考点: 规律型:点的坐标.
分析: 根据青蛙在点A(1,0)的变化情况,得出其中的规律,奇数次横纵坐标每次加一,偶数则每次减一,从而求出点A7的坐标,再根据点An的坐标为(2014,2013)在第一象限,以第一次的结果为基础,设为m,求出m的值,即可得出答案.
解答: 解:∵青蛙在点A(1,0)处,
∴第一次在点(2,1),
第二次在点(0,﹣1),
第三次在点(3,2),
第四次在点(﹣1,﹣2),
第五次在点(4,3),
第六次在点(﹣2,﹣3),
从上可以看出除去一二两次,奇数次横纵坐标每次加一,偶数则每次减一,
∴A7(5,4),
∵点An的坐标为(2014,2013),在第一象限,若以第一次的结果为基础,设置为m,
An(2+m÷2,1+m÷2),
2+m÷2=2014,
m=4024,
n=m+1=4024+1=4025.
故答案为:(5,4,),4025.
点评: 本题考查了点的坐标,用到的知识点是点的移动问题,解题的关键是通过观察,得出其中的规律奇数次横纵坐标每次加一,偶数则两个每次减一.
17.如图,PA与⊙O相切于点A,PO的延长线与⊙O交于点C,若⊙O的半径为3,PA=4.弦AC的长为 .
考点: 切线的性质.
专题: 压轴题.
分析: 连接OA,过A作AD垂直于C,由PA为圆O的切线,得到PA与AO垂直,在直角三角形AOP中利用勾股定理求出OP的长,利用面积法求出AD的长,在直角三角形APD中,利用勾股定理求出PD的长,由CP﹣PD求出DC的长,在直角三角形ADC中,利用勾股定理即可求出AC的长.
解答: 解:连接OA,过A作AD⊥CP,
∵PA为圆O的切线,
∴PA⊥OA,
在Rt△AOP中,OA=3,PA=4,
根据勾股定理得:OP=5,
∵S△AOP=AP•AO=OP•AD,
∴AD===,
根据勾股定理得:PD==,
∴CD=PC﹣PD=8﹣=,
则根据勾股定理得:AC==.
故答案为:
点评: 此题考查了切线的性质,勾股定理,以及三角形的面积,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.
18.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB边上一点,∠BCE=15°,且AE=AD,连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论:
①△ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③;④,
其中结论正确的是 ①②④ .
考点: 直角梯形;全等三角形的判定;等边三角形的判定.
专题: 压轴题.
分析: △AED与△ABC是等腰直角三角形,根据这个条件就可求得:△ACD≌△ACE的条件,就可进行判断.
解答: 解:①∵∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB=45°,
又∵∠BAD=90°,
∴∠BAC=∠DAC,
又AD=AE,AC=AC,
∴△ACD≌△ACE;故①正确;
②同理∠AED=45°,
∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°,
∴∠DEC=180°﹣45°﹣75°=60°,
∵ACD≌△ACE,
∴CD=CE,
∴△CDE为等边三角形.故②正确.
③∵∠EAC=∠DAC,AD=AE,AH=AH,
∴△AEH≌△ADH,
∴∠CHE=90°,
∵△CHE为直角三角形,且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°,
∴EC≠4EB,
∴=2不成立;
④作EC的中垂线交BC于点F,连接EF,则EF=FC,
∴∠FEC=∠BCE=15°,
∴∠BFE=30°,
设BE=a,
则EF=FC=2a,
在直角△BEF中,BF=a,
∴BC=a+2a=(2+)a,
∴S△BEC=BE•BC=a2;
在直角△BEC中,EC==2a,
∵△CDE为等边三角形,
∴S△ECD==(2+)=(3+2)a2,EH=a,HC=EC=a,
又∵△AED是等腰直角三角形,AH是高,
∴AH=EH=a,
∴S△EHC=a2,
∴====.故④正确;
故答案为:①②④.
点评: 认识到题目中的等腰直角三角形是解决本题的关键.
三、解答题(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1)计算:+(﹣1)0﹣2sin60°+3﹣1.
(2)先化简,后计算:(÷)•,其中a=﹣3.
考点: 分式的化简求值;实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
分析: (1)利用零指数幂,负整数指数幂的法则及特殊角的三角函数值求解即可,
(2)先化简,再把a=﹣3代入求值即可.
解答: 解:(1)计算:+(﹣1)0﹣2sin60°+3﹣1
=2+1﹣2×+,
=+.
(2)(÷)•
=××,
=,
当a=﹣3时,原式==.
点评: 本题主要考查了分式的化简求值,解题的关键是熟记零指数幂,负整数指数幂的法则及特殊角的三角函数值.
20.近年来,北京郊区依托丰富的自然和人文资源,大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目,京郊旅游业迅速崛起,农民的收入逐步提高.以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分.
北京市2009﹣2012年农业观光园经营年收入增长率统计表
年份 年增长率(精确到1%)
2009年 12%
2010年
2011年 22%
2012年 24%
请根据以上信息解答下列问题:
(1)北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是 17% ;(结果精确到1%)
(2)请补全条形统计图并在图中标明相应数据;(结果精确到0.1)
(3)如果从2012年以后,北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长,请你估算,若经营年收入要不低于2008年的4倍,至少要到 2015 年.(填写年份)
考点: 条形统计图;统计表.
分析: (1)先用2010年的年收入减去2009年的年收入,得到2010年比2009年增加的年收入,再除以2009年的年收入即可;
(2)设2011年的年收入为x亿元,根据表格中2011年的年增长率是22%,列出方程,解方程即可;
(3)设从2012年以后,再过y年,能够使经营年收入不低于2008年的4倍,列出不等式26.9(1+30%)y≥13.6×4,解不等式即可.
解答: 解:(1)∵2010年的年收入为17.8亿元,2009年的年收入为15.2亿元,
∴2010年比2009年增加的年收入为:17.8﹣15.2=2.6亿元,
∴2010年农业观光园经营年收入的年增长率是:×100%≈17%.
故答案为17%;
(2)设2011年的年收入为x亿元,
由题意,得=22%,
解得x≈21.7.
补全统计图如下:
(3)设从2012年以后,再过y年,能够使经营年收入不低于2008年的4倍,
由题意,得26.9(1+30%)y≥13.6×4,
解得y≈3,
2012+3=2015.
即若经营年收入要不低于2008年的4倍,至少要到2015年.
故答案为2015.
点评: 本题考查的是条形统计图与统计表的综合运用,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键.
21.如图,已知等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,圆心O在△ABC内部,且⊙O经过B、C两点,若BC=8,AO=1,求⊙O的半径.
考点: 垂径定理;勾股定理.
分析: 连结BO、CO,延长AO交BC于点D,由于△ABC是等腰直角三角形,故∠BAC=90°,AB=AC,再根据OB=OC,可知直线OA是线段BC的垂直平分线,故AD⊥BC,且D是BC的中点,在Rt△ABC中根据AD=BD=BC,可得出BD=AD,再根据AO=1可求出OD的长,再根据勾股定理可得出OB的长.
解答: 解:连结BO、CO,延长AO交BC于D.
∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,
∴AB=AC
∵O是圆心,
∴OB=OC,
∴直线OA是线段BC的垂直平分线,
∴AD⊥BC,且D是BC的中点,
在Rt△ABC中,AD=BD=BC,
∵BC=8,
∴BD=AD=4,
∵AO=1,
∴OD=BD﹣AO=3,
∵AD⊥BC,
∴∠BDO=90°,
∴OB===5.
点评: 本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用勾股定理求解是解答此题的关键.
22.某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2300元,销售单价定为3000元.在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2500元.
(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2500元?
(2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获得的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
考点: 二次函数的应用.
分析: (1)设件数为x,则销售单价为3000﹣10(x﹣10)元,根据销售单价恰好为2500元,列方程求解;
(2)由利润y=(销售单价﹣成本单价)×件数,及销售单价均不低于2600元,按0≤x≤10,10<x≤60,x>60三种情况列出函数关系式.
解答: 解:(1)设商家一次购买该种产品x件时,销售单价恰好为2500元,
依题意得3000﹣10(x﹣10)=2500,
解得x=60.
答:商家一次购买该种产品60件时,销售单价恰好为2500元;
(2)当0≤x≤10时,y=(3000﹣2300)x=700x;
当10<x≤60时,y=x[3000﹣10(x﹣10)﹣2300]=﹣10x2+700x;
当x>60时,y=(2500﹣2300)x=200x;
所以y=.
点评: 本题考查了二次函数的运用.关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式,会表达单件的利润及总利润.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作FE⊥AB于点E,交AC的延长线于点F.
(1)求证:EF与⊙O相切;
(2)若AE=6,sin∠CFD=,求EB的长.
考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.
分析: (1)如图,欲证明EF与⊙O相切,只需证得OD⊥EF.
(2)通过解直角△AEF可以求得AF=10.设⊙O的半径为r,由平行线分线段成比例得到=,即=,则易求AB=AC=2r=,所以EB=AB﹣AE=﹣6=.
解答: (1)证明:如图,连接OD.
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC.
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠B
∴∠ODC=∠B
∴OD∥AB
∴∠ODF=∠AEF
∵EF⊥AB
∴∠ODF=∠AEF=90°
∴OD⊥EF
∵OD是⊙O的半径,
∴EF与⊙O相切;
(2)解:由(1)知,OD∥AB,OD⊥EF.
在Rt△AEF中,sin∠CFD==,AE=6,
则AF=10.
∵OD∥AB,
∴=.
设⊙O的半径为r,
∴=,
解得,r=.
∴AB=AC=2r=,
∴EB=AB﹣AE=﹣6=.
点评: 本题考查了切线的判定与性质.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
24.如图,AB为⊙O的直径,AB=4,P为AB上一点,过点P作⊙O的弦CD,设∠BCD=m∠ACD.
(1)已知,求m的值,及∠BCD、∠ACD的度数各是多少?
(2)在(1)的条件下,且,求弦CD的长;
(3)当时,是否存在正实数m,使弦CD最短?如果存在,求出m的值,如果不存在,说明理由.
考点: 圆的综合题.
分析: (1)首先求出m的值,进而由∠BCD=2∠ACD,∠ACB=∠BCD+∠ACD求出即可;
(2)根据已知得出AD,BD的长,再利用△APC∽△DPB得出AC•DP=AP•DB=×2=①,PC•DP=AP•BP=×=②,同理△CPB∽△APD,得出BC•DP=BP•AD=×2=③,进而得出AC,BC与DP的关系,进而利用勾股定理得出DP的长,即可得出PC,DC的长;
(3)由,AB=4,则,得出,要使CD最短,则CD⊥AB于P于是,
即可得出∠POD的度数,进而得出∠BCD,∠ACD的度数,即可得出m的值.
解答: 解:(1)如图1,
由,
得 m=2,
连结AD、BD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°,∠ADB=90°
又∵∠BCD=2∠ACD,∠ACB=∠BCD+∠ACD
∴∠ACD=30°,∠BCD=60°;
(2)如图1,连结AD、BD,则∠ABD=∠ACD=30°,AB=4
∴AD=2,,
∵,
∴,,
∵∠APC=∠DPB,∠ACD=∠ABD
∴△APC∽△DPB
∴,
∴AC•DP=AP•DB=×2=①,
PC•DP=AP•BP=×=②
同理△CPB∽△APD
∴,
∴BC•DP=BP•AD=×2=③,
由①得,由③得,
,
在△ABC中,AB=4,
∴,
∴
由②,
得
∴;
方法二:由①÷③得,
在△ABC中,AB=4,AC=×=,
BC=×2=
由③,
得
由②,
得
∴;
(3)如图2,连结OD,由,AB=4,
则,
则,
则,
要使CD最短,则CD⊥AB于点P
于是,
∵∠POD=30°
∴∠ACD=15°,∠BCD=75°
∴m=5,故存在这样的m值,且m=5.
点评: 此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和锐角三角函数关系和圆周角定理等知识,熟练利用圆周角定理以及垂径定理得出是解题关键.
25.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且与直线l的另一个交点为C(n,).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<n).DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请求出点A1的横坐标.
考点: 二次函数综合题.
分析: (1)把点B的坐标代入直线解析式求出m的值,再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答;
(2)令y=0求出点A的坐标,从而得到OA、OB的长度,利用勾股定理列式求出AB的长,然后根据两直线平行,内错角相等可得∠ABO=∠DEF,再解直角三角形用DE表示出EF、DF,根据矩形的周长公式表示出p,利用直线和抛物线的解析式表示DE的长,整理即可得到P与t的关系式,再利用二次函数的最值问题解答;
(3)根据逆时针旋转角为90°可得B1O1∥x轴时,A1O1∥y轴时,然后分①点O1、B1在抛物线上时,表示出两点的横坐标,再根据纵坐标相同列出方程求解即可;②点A1、B1在抛物线上时,表示出点B1的横坐标,再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可.
解答: 解:(1)∵直线l:y=x+m经过点B(0,﹣),
∴m=﹣.
∴直线l的解析式为y=x﹣.
∵直线l:y=x﹣经过点c(n,),
∴=n﹣,
解得n=5.
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C(n,)和点B(0,﹣),
∴,
解得.
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣;
(2)∵直线l:y=x﹣与x轴交于点A,
∴点A的坐标为(2,0).
∴OA=2.
在Rt△OAB中,OB=,
∴AB===,
∵DE∥y轴,
∴∠OBA=∠FED.
∵矩形DFEG中,∠DFE=90°,
∴∠DFE=∠AOB=90°.
∴△OAB∽△FDE.
∴==.
∴FD=•DE=DE,
FE=•DE=DE,
∴p=2(FD+FE)=2×(+)DE=DE.
∵D(t,t2﹣3t﹣),E(t,t﹣),且0<t<5,
∴DE=(t﹣)﹣(t2﹣3t﹣)=﹣t2+t.
∴p=×(﹣t2+t)=﹣t2+t.
∵p=﹣(t﹣)2+,且﹣<0,
∴当t=时,p有最大值;
(3)根据题意可得O1B1与x轴平行,O1A1与y轴平行.
1)当O1、B1在抛物线上时,根据条件可设O1(t,y1),B1(t+,y1),
则t2﹣3t﹣=(t+)2﹣3(t+)﹣,解得t=;
2)当A1、B1在抛物线上时,根据条件可设A1(t,y1),B1(t+,y1﹣2),
则t2﹣3t﹣=(t+)2﹣3(t+)﹣+2,解得t=.
综上,点A1的横坐标为或.
点评: 本题是二次函数综合题型,主要考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式,锐角三角函数,长方形的周长公式,以及二次函数的最值问题,本题难点在于(3)根据旋转角是90°判断出B1O1∥x轴时,A1O1∥y轴时,注意要分情况讨论.
中学自主招生数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)下列图案中,不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.(3分)初步核算并经国家统计局核定,2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元,比上年增长7.5%.将90000亿元用科学记数法表示应为( )元.
A.9×1011 B.9×104 C.9×1012 D.9×1010
3.(3分)下列说法正确的是( )
A.2的相反数是2 B.2的绝对值是2
C.2的倒数是2 D.2的平方根是2
4.(3分)下列运算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.(a2)3=a5
C.a3÷a2=a D.(a﹣b)2=a2﹣b2
5.(3分)下列不等式组的解集中,能用如图所示的数轴表示的是( )
A. B. C. D.
6.(3分)如图,已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点,若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交,∠2=115°,则∠1的度数是( )
A.75° B.85° C.60° D.65°
7.(3分)如图,在⊙O中,OC∥AB,∠A=20°,则∠1等于( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
8.(3分)有三张正面分别写有数字﹣1,﹣2,2的卡片,它们背面完全相同,现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张,以其正面数字作为a的值,然后再从剩余的两张卡片随机抽一张,以其正面的数字作为b的值,则点(a,b)在第二象限的概率为( )
A. B. C. D.
9.(3分)点A(t,2)在第二象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=,则t的值为( )
A.﹣ B.﹣2 C.2 D.3
10.(3分)如图,矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,点E在AD上,且AE=1,点P是线段AB上一动点,折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN,过点P作PQ⊥AB,交MN所在的直线于点Q.设x=AP,y=PQ,则y关于x的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)方程x2=x的解是 .
12.(4分)因式分解:3x2+6x+3= .
13.(4分)把抛物线y=2x2﹣1向上平移一个单位长度后,所得的函数解析式为 .
14.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=14cm,BD=8cm,AD=6cm,则△OBC的周长是 .
15.(4分)在△ABC中BC=2,AB=2,AC=b,且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为 .
16.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,…的斜边都在坐标轴上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°.若点A1的坐标为(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4,…则依此规律,的值为 .
三、解答题(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
17.(6分)计算:﹣|﹣3|+﹣4cos30°
18.(6分)先化简,后求值:(x﹣)÷,其中x=2.
19.(6分)已知等腰△ABC的顶角∠A=36°(如图).
(1)请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD,交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)证明:△ABC∽△BDC.
四、解答题(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
20.(7分)在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后,某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度,随机抽取了部分学生进行一次问卷调查,并根据调查结果绘制了如图的统计图,请根据图中所给的信息,解答下列问题:
(1)本次接受问卷调查的学生总人数是 ;
(2)补全折线统计图.
(3)扇形统计图中,“了解”所对应扇形的圆心角的度数为 ,m的值为 ;
(4)若该校共有学生3000名,请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数.
21.(7分)某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?
(2)若甲队每月的施工费为100万元,乙队每月的施工费比甲队多50万元.在保证工程质量的前提下,为了缩短工期,拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程.在完成这项工程中,甲队施工时间是乙队施工时间的2倍,那么,甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元?(甲、乙两队的施工时间按月取整数)
22.(7分)如图,在正方形ABCD中,边长AB=3,点E(与B,C不重合)是BC边上任意一点,把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF,连接CF.
(1)求证:CF是正方形ABCD的外角平分线;
(2)当∠BAE=30°时,求CF的长.
五、解答题(三)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)
23.(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB:y=kx+b(b为常数)与反比例函数y=(x>0)交于点B,与x轴交于点A,与y轴交于点C,且OB=AB.
(1)如图①,若点A的坐标为(6,0)时,求点B的坐标及直线AB的解析式;
(2)如图①,若∠OBA=90°,求点A的坐标;
(3)在(2)的条件下中,如图②,△PA1A是等腰直角三角形,点P在反比例函数y=(x>0)的图象上,斜边A1A都在x轴上,求点A1的坐标.
24.(9分)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E.
(1)求证:BC是⊙D的切线;
(2)设⊙D与BD相交于点H,与边CD相交于点F,连接HF,若AB=2,求图中阴影部分的面积;
(3)假设圆的半径为r,⊙D上一动点M从点F出发,按逆时针方向运动,且∠FDM<90°,连接DM,MF,当S四边形DFHM:S四边形ABCD=3:4时,求动点M经过的弧长.
25.(9分)如图①,已知抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点A坐标为(﹣1,0),点C坐标为(0,),点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,连接CD,过点D作DH⊥x轴于点H,过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E.
(1)求a,c的值;
(2)求线段DE的长度;
(3)如图②,试在线段AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为直线PF上方抛物线上的一点,求当△CPF的周长最小时,△MPF面积的最大值是多少?
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)下列图案中,不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答.
【解答】解:只有选项C连接相应各点后是正三角形,绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合.
故选:C.
【点评】本题考查中心对称图形的定义:绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合,和正奇边形有关的一定不是中心对称图形.
2.(3分)初步核算并经国家统计局核定,2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元,比上年增长7.5%.将90000亿元用科学记数法表示应为( )元.
A.9×1011 B.9×104 C.9×1012 D.9×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:90000亿=9×1012,
故选:C.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.(3分)下列说法正确的是( )
A.2的相反数是2 B.2的绝对值是2
C.2的倒数是2 D.2的平方根是2
【分析】根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答即可.
【解答】解:A、2的相反数是﹣2,错误;
B、2的绝对值是2,正确;
C、2的倒数是,错误;
D、2的平方根是±,错误;
故选:B.
【点评】此题考查了实数的性质,关键是根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答.
4.(3分)下列运算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.(a2)3=a5
C.a3÷a2=a D.(a﹣b)2=a2﹣b2
【分析】各项计算得到结果,即可作出判断.
【解答】解:A、原式不能合并,不符合题意;
B、原式=a6,不符合题意;
C、原式=a,符合题意;
D、原式=a2﹣2ab+b2,不符合题意,
故选:C.
【点评】此题考查了同底数幂的除法,合并同类项,幂的乘方与积的乘方,以及完全平方公式,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
5.(3分)下列不等式组的解集中,能用如图所示的数轴表示的是( )
A. B. C. D.
【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,再根据数轴判断即可.
【解答】解:由数轴可得:﹣2<x≤1,
故选:D.
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集,能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键.
6.(3分)如图,已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点,若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交,∠2=115°,则∠1的度数是( )
A.75° B.85° C.60° D.65°
【分析】先根据平行线的性质,得出∠3的度数,再根据三角形外角性质进行计算即可.
【解答】解:如图所示,∵DE∥BC,
∴∠2=∠3=115°,
又∵∠3是△ABC的外角,
∴∠1=∠3﹣∠A=115°﹣30°=85°,
故选:B.
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用,解题时注意:两直线平行,同位角相等.
7.(3分)如图,在⊙O中,OC∥AB,∠A=20°,则∠1等于( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
【分析】利用平行线的性质即可求得∠C的度数,根据圆周角定理:同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠O的度数,再利用三角形的外角的性质即可求解.
【解答】解:∵OC∥AB,
∴∠C=∠A=20°,
又∵∠O=2∠A=40°,
∴∠1=∠O+∠C=20°+40°=60°.
故选:D.
【点评】本题考查了圆周角定理与平行线的性质定理,正确利用圆周角定理求得∠O的度数是关键.
8.(3分)有三张正面分别写有数字﹣1,﹣2,2的卡片,它们背面完全相同,现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张,以其正面数字作为a的值,然后再从剩余的两张卡片随机抽一张,以其正面的数字作为b的值,则点(a,b)在第二象限的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】画树状图得出所有等可能结果,再从中找到符合条件的结果数,继而利用概率公式可得答案.
【解答】解:画树状图如下:
由树状图知,共有6种等可能结果,其中点(a,b)在第二象限的有2种结果,
所以点(a,b)在第二象限的概率为=,
故选:B.
【点评】本题主要考查列表法与树状图法,列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果,列表法是一种,但当一个事件涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树形图.
9.(3分)点A(t,2)在第二象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=,则t的值为( )
A.﹣ B.﹣2 C.2 D.3
【分析】如图,作AE⊥x轴于E.根据tan∠AOE==,构建方程即可解决问题.
【解答】解:如图,作AE⊥x轴于E.
由题意:tan∠AOE==,
∵A(t,2),
∴AE=2,OE=﹣t,
∴=,
∴t=﹣,
故选:A.
【点评】本题考查解直角三角形的应用,坐标与图形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
10.(3分)如图,矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,点E在AD上,且AE=1,点P是线段AB上一动点,折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN,过点P作PQ⊥AB,交MN所在的直线于点Q.设x=AP,y=PQ,则y关于x的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
【分析】过点E作EF⊥QP,垂足为F,连接EQ.由翻折的性质可知QE=QP,从而可表示出QF、EF、EQ的长度,然后在△EFQ中利用勾股定理可得到函数的关系式.
【解答】解:如图所示,过点E作EF⊥QP,垂足为F,连接EQ.
由翻折的性质可知:EQ=QP=y.
∵∠EAP=∠APF=∠PFE=90°,
∴四边形EAPF是矩形.
∴EF=AP=x,PF=EA=1.
∴QF=QP﹣PF=y﹣1.
在Rt△EFQ中,由勾股定理可知:EQ2=QF2+EF2,即y2=(y﹣1)2+x2.
整理得:y=.
故选:D.
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质和判定、勾股定理的应用,表示出QF、EF、EQ的长度,在△EFQ中利用勾股定理列出函数关系式是解题的关键.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)方程x2=x的解是 x1=0,x2=1 .
【分析】将方程化为一般形式,提取公因式分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解即可得到原方程的解.
【解答】解:x2=x,
移项得:x2﹣x=0,
分解因式得:x(x﹣1)=0,
可得x=0或x﹣1=0,
解得:x1=0,x2=1.
故答案为:x1=0,x2=1
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,利用此方法解方程时,首先将方程右边化为0,左边化为积的形式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
12.(4分)因式分解:3x2+6x+3= 3(x+1)2 .
【分析】原式提取3,再利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:原式=3(x2+2x+1)=3(x+1)2,
故答案为:3(x+1)2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
13.(4分)把抛物线y=2x2﹣1向上平移一个单位长度后,所得的函数解析式为 y=2x2 .
【分析】直接运用平移规律“左加右减,上加下减”,在原式上加1即可得新函数解析式y=2x2.
【解答】解:∵抛物线y=2x2﹣1向上平移一个单位长度,
∴新抛物线为y=2x2.
故答案为y=2x2.
【点评】此题比较容易,主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.
14.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=14cm,BD=8cm,AD=6cm,则△OBC的周长是 17cm .
【分析】根据平行四边形的对边相等以及对角线互相平分进而求出即可.
【解答】解:∵在平行四边形ABCD中,AC=14cm,BD=8cm,AD=6cm,
∴CO=AC=7cm,BO=BD=4cm,BC=AD=6cm,
∴△OBC的周长=BC+BO+CO=6+7+4=17(cm).
故答案为:17cm.
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质,熟练根据平行四边形的性质得出BO,BC,CO的长是解题关键.
15.(4分)在△ABC中BC=2,AB=2,AC=b,且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为 2 .
【分析】由根的判别式求出AC=b=4,由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论.
【解答】解:∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根,
∴△=16﹣4b=0,
∴AC=b=4,
∵BC=2,AB=2,
∴BC2+AB2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,AC是斜边,
∴AC边上的中线长=AC=2;
故答案为:2.
【点评】本题考查了根的判别式,勾股定理的逆定理,直角三角形斜边上的中线性质;证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键.
16.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,…的斜边都在坐标轴上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°.若点A1的坐标为(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4,…则依此规律,的值为 .
【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得OA2====3×;OA3===3×()2;OA4===3×()3,…,于是可得到OA2016=3×()2015,OA2018=3×()2017,代入,化简即可.
【解答】解:∵∠A2OC2=30°,OA1=OC2=3,
∴OA2====3×;
OA3===3×()2;
OA4===3×()3,
…,
∴OA2016=3×()2015,OA2018=3×()2017,
∴==()2=.
故答案为.
【点评】本题考查了规律型,点的坐标,坐标与图形性质,通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素,然后推广到一般情况.也考查了含30度的直角三角形三边的关系及三角函数.
三、解答题(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
17.(6分)计算:﹣|﹣3|+﹣4cos30°
【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案.
【解答】解:原式=4﹣3+2018﹣4×
=4﹣3+2018﹣2
=2015+2.
【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
18.(6分)先化简,后求值:(x﹣)÷,其中x=2.
【分析】先计算括号内减法、同时将除法转化为乘法,再约分即可化简,最后代入求值即可.
【解答】解:原式=×
=×
=,
当x=2+时,
原式=
=
=.
【点评】本题主要考查分式的化简求值能力,熟练掌握分式的混合运算顺序是解题的关键.
19.(6分)已知等腰△ABC的顶角∠A=36°(如图).
(1)请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD,交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)证明:△ABC∽△BDC.
【分析】(1)利用角平分线的作法作出线段BD即可;
(2)先根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=72°,再由角平分线的性质得出∠ABD的度数,故可得出∠A=∠CBD=36°,∠C=∠C,据此可得出结论.
【解答】解:(1)如图,线段BD为所求出;
(2)∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=(180°﹣36°)=72°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°.
∵∠A=∠CBD=36°,∠C=∠C,
∴△ABD∽△BDC.
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知角平分线的作法是解答此题的关键.
四、解答题(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
20.(7分)在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后,某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度,随机抽取了部分学生进行一次问卷调查,并根据调查结果绘制了如图的统计图,请根据图中所给的信息,解答下列问题:
(1)本次接受问卷调查的学生总人数是 120人 ;
(2)补全折线统计图.
(3)扇形统计图中,“了解”所对应扇形的圆心角的度数为 30° ,m的值为 25 ;
(4)若该校共有学生3000名,请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数.
【分析】(1)根据了解很少的人数以及百分比,求出总人数即可.
(2)求出不了解的人数,画出折线图即可.
(3)根据圆心角=360°×百分比计算即可.
(4)利用样本估计总体的思想解决问题即可.
【解答】解:(1)总人数=60÷50%=120(人).
(2)不了解的人数=120﹣60﹣30﹣10=20(人),
折线图如图所示:
(3)了解的圆心角=×360°=30°,基本了解的百分比==25%,
∴m=25.
故答案为:30,25.
(4)3000×=500(人),
答:估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数为500人.
【点评】本题考查折线统计图,样本估计总体,扇形统计图等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
21.(7分)某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?
(2)若甲队每月的施工费为100万元,乙队每月的施工费比甲队多50万元.在保证工程质量的前提下,为了缩短工期,拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程.在完成这项工程中,甲队施工时间是乙队施工时间的2倍,那么,甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元?(甲、乙两队的施工时间按月取整数)
【分析】(1)设甲队单独完成需要x个月,则乙队单独完成需要x﹣5个月,根据题意列出关系式,求出x的值即可;
(2)设甲队施工y个月,则乙队施工y个月,根据工程款不超过1500万元,列出一元一次不等式,解不等式求最大值即可.
【解答】解:(1)设甲队单独完成需要x个月,则乙队单独完成需要(x﹣5)个月,
由题意得,x(x﹣5)=6(x+x﹣5),
解得x1=15,x2=2(不合题意,舍去),
则x﹣5=10.
答:甲队单独完成这项工程需要15个月,则乙队单独完成这项工程需要10个月;
(2)设甲队施工y个月,则乙队施工y个月,
由题意得,100y+(100+50)≤1500,
解不等式得y≤8.57,
∵施工时间按月取整数,
∴y≤8,
答:完成这项工程,甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用,难度一般,解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解.
22.(7分)如图,在正方形ABCD中,边长AB=3,点E(与B,C不重合)是BC边上任意一点,把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF,连接CF.
(1)求证:CF是正方形ABCD的外角平分线;
(2)当∠BAE=30°时,求CF的长.
【分析】(1)过点F作FG⊥BC于点G,易证△ABE≌△EGF,所以可得到AB=EG,BE=FG,由此可得到∠FCG=∠45°,即CF平分∠DCG,所以CF是正方形ABCD外角的平分线;
(2)首先可求出BE的长,即FG的长,再在Rt△CFG中,利用cos45°即可求出CF的长.
【解答】(1)证明:过点F作FG⊥BC于点G.
∵∠AEF=∠B=∠90°,
∴∠1=∠2.
在△ABE和△EGF中,
∴△ABE≌△EGF(AAS).
∴AB=EG,BE=FG.
又∵AB=BC,
∴BE=CG,
∴FG=CG,
∴∠FCG=∠45°,
即CF平分∠DCG,
∴CF是正方形ABCD外角的平分线.
(2)∵AB=3,∠BAE=30°,tan30°=,
BE=AB•tan30°=3×,即CG=.
在Rt△CFG中,cos45°=,
∴CF=.
【点评】主要考查了正方形的性质,以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运用,题目的综合性较强,难度中等.
五、解答题(三)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)
23.(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB:y=kx+b(b为常数)与反比例函数y=(x>0)交于点B,与x轴交于点A,与y轴交于点C,且OB=AB.
(1)如图①,若点A的坐标为(6,0)时,求点B的坐标及直线AB的解析式;
(2)如图①,若∠OBA=90°,求点A的坐标;
(3)在(2)的条件下中,如图②,△PA1A是等腰直角三角形,点P在反比例函数y=(x>0)的图象上,斜边A1A都在x轴上,求点A1的坐标.
【分析】(1)如图①,作辅助线,根据等腰三角形三线合一得:OC=AC=OA,所以OC=AC=3,根据点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,代入解析式可得B的坐标,再利用待定系数法可得直线AB的解析式;
(2)如图①,根据△AOB是等腰直角三角形,得BC=OC=OA,设点B(a,a)(a>0),列方程可得a的值,从而得A的坐标;
(3)如图②,作辅助线,根据△PA1A是等腰直角三角形,得PD=AD,设AD=m(m>0),则点P的坐标为(4+m,m),列方程可得结论.
【解答】解:(1)如图①,过B作BC⊥x轴于C,
∵OB=AB,BC⊥x轴,
∴OC=AC=OA,
∵点A的坐标为(6,0),
∴OA=6,
∴OC=AC=3,
∵点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴y==4,
∴B(3,4),
∵点A(6,0),点B(3,4)在y=kx+b的图象上,
∴,解得:,
∴直线AB的解析式为:y=﹣x+8;
(2)如图①,∵∠OBA=90°,OB=AB,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴BC=OC=OA,
设点B(a,a)(a>0),
∵顶点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴a=,解得:a=(负值舍),
∴OC=2,
∴OA=2OC=4,
∴A(4,0);
(3)如图②,过P作PD⊥x轴于点D,
∵△PA1A是等腰直角三角形,
∴PD=AD,
设AD=m(m>0),则点P的坐标为(4+m,m),
∴m(4+m)=12,
解得:x1=2﹣2,m2=﹣2﹣2(负值舍去),
∴A1A=2m=4﹣4,
∴OA1=OA+AA1=4,
∴点A1的坐标是(4,0).
【点评】此题是反比例函数与一次函数的综合题,难度适中,解题的关键是:(1)求出点B的坐标;(2)根据点B在反比例函数图象上列方程;(3)设AD=m,表示P的坐标并列方程.解决该题型题目时,找出点的坐标,再利用反比例函数解析式列方程是关键.
24.(9分)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E.
(1)求证:BC是⊙D的切线;
(2)设⊙D与BD相交于点H,与边CD相交于点F,连接HF,若AB=2,求图中阴影部分的面积;
(3)假设圆的半径为r,⊙D上一动点M从点F出发,按逆时针方向运动,且∠FDM<90°,连接DM,MF,当S四边形DFHM:S四边形ABCD=3:4时,求动点M经过的弧长.
【分析】(1)过D作DQ⊥BC于Q',连接DE.证明DE=DQ,即BC是⊙D的切线;
(2)过F作FN⊥DH于N.先证明△ABD为等边三角形,所以∠DAB=60°,AD=BD=AB,再证明△DHF为等边三角形,在Rt△DFN中,FN⊥DH,∠BDC=60°,sin∠BDC=sin60°=,FN=,S阴影=S扇形FDH﹣S△FDH;
(3)假设点M运动到某个位置时,符合题意,连接DM、DF,过M作NZ⊥DF于Z,当M运动到离弧最近时,DE=DH=DF=DM=r,证明∠MDC=60°,此时,动点M经过的弧长为πr.
【解答】解:(1)证明:过D作DQ⊥BC于Q',连接DE.
∵⊙D且AB于E,
∴DE⊥AB,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD平分∠ABC,
∴DE=DQ,
∴BC是⊙D的切线;
(2)过F作FN⊥DH于N.
∵四边形ABCD是菱形,AB=2,
∴AD=AB=2,DC∥AB,
∵在Rt△ADE中,DE⊥AB,∠A=60°,
∴sinA=sin60°=,
∴DE=3,DH=DF=DE=3
∵AD=AB=2,∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∴∠DAB=60°,AD=BD=AB,
∵DC∥AB,
∴∠BDC=∠DBA=60°,
∵DH=DF=3,
∴△DHF为等边三角形,
在Rt△DFN中,FN⊥DH,∠BDC=60°,
∴sin∠BDC=sin60°=,
∴FN=,
∴S阴影=S扇形FDH﹣S△FDH==;
(3)假设点M运动到某个位置时,符合题意,连接DM、DF,过M作NZ⊥DF于Z,
当M运动到离弧最近时,
DE=DH=DF=DM=r,
由(2)在Rt△DFN中,sin∠BDC=sin60°=,
∴FN=,
S△HDF==,
在Rt△ADE中,
sinA=sin60°=,
∴AD=r,
AB=AD=r,
∴S菱形ABCD=AB•DE==,
∵当S四边形DFHM:S四边形ABCD=3:4,
∴S四边形DFHM=,
∴S△DFM=S四边形DFHM﹣S△HDF==DF•MZ=rMZ,
∴MZ=,
在Rt△DMF中,MF⊥CD,
sin∠MDC==,
∴∠MDC=60°,
此时,动点M经过的弧长为πr.
【点评】本题考查了圆综合知识,熟练掌握圆的相关知识与菱形的性质以及特殊三角函数值是解题的关键.
25.(9分)如图①,已知抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点A坐标为(﹣1,0),点C坐标为(0,),点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,连接CD,过点D作DH⊥x轴于点H,过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E.
(1)求a,c的值;
(2)求线段DE的长度;
(3)如图②,试在线段AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为直线PF上方抛物线上的一点,求当△CPF的周长最小时,△MPF面积的最大值是多少?
【分析】(1):(1)将A(﹣1,0),C(0,)代入抛物线y=ax2+x+c(a≠0),求出a、c的值;
(2)由(1)得抛物线解析式:y=,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,C(0,),所以D(2, ),DH=,再证明△ACO∽△EAH,于是 =即=,解得:EH=2,则DE=2;
(3)找点C关于DE的对称点N(4, ),找点C关于AE的对称点G(﹣2,﹣ ),连接GN,交AE于点F,交DE于点P,即G、F、P、N四点共线时,△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小,根据S△MFP==,m= 时,△MPF面积有最大值.
【解答】解:(1)将A(﹣1,0),C(0,)代入抛物线y=ax2+x+c(a≠0),
,
∴a=﹣,c=
(2)由(1)得抛物线解析式:y=
∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,C(0,)
∴D(2, ),
∴DH=,
令y=0,即﹣x2+x+=0,
得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵AE⊥AC,EH⊥AH,
∴△ACO∽△EAH,
∴=即=,
解得:EH=2,
则DE=2;
(3)找点C关于DE的对称点N(4, ),找点C关于AE的对称点G(﹣2,﹣ ),
连接GN,交AE于点F,交DE于点P,即G、F、P、N四点共线时,△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小,
∴直线GN的解析式:y=x﹣,
由(2)得E(2,﹣),A(﹣1,0),
∴直线AE的解析式:y=﹣x﹣,
联立
解得
∴F (0,﹣ ),
∵DH⊥x轴,
∴将x=2代入直线AE的解析式:y=﹣x﹣,
∴P(2,)
∴F (0,﹣ )与P(2,)的水平距离为2
过点M作y轴的平行线交FH于点Q,
设点M(m,﹣m2+m+),则Q(m,m﹣ )(<m<);
∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=(﹣m2+m+)﹣(m﹣ ),
S△MFP==
∵对称轴为:直线m=,
∵开口向下,<m,
∴m= 时,△MPF面积有最大值为..
【点评】本题考查了二次函数,熟练运用相似三角形的性质与二次函数图象的性质是解题的关键.
中学自主招生数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)下列图案中,不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.(3分)初步核算并经国家统计局核定,2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元,比上年增长7.5%.将90000亿元用科学记数法表示应为( )元.
A.9×1011 B.9×104 C.9×1012 D.9×1010
3.(3分)下列说法正确的是( )
A.2的相反数是2 B.2的绝对值是2
C.2的倒数是2 D.2的平方根是2
4.(3分)下列运算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.(a2)3=a5
C.a3÷a2=a D.(a﹣b)2=a2﹣b2
5.(3分)下列不等式组的解集中,能用如图所示的数轴表示的是( )
A. B. C. D.
6.(3分)如图,已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点,若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交,∠2=115°,则∠1的度数是( )
A.75° B.85° C.60° D.65°
7.(3分)如图,在⊙O中,OC∥AB,∠A=20°,则∠1等于( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
8.(3分)有三张正面分别写有数字﹣1,﹣2,2的卡片,它们背面完全相同,现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张,以其正面数字作为a的值,然后再从剩余的两张卡片随机抽一张,以其正面的数字作为b的值,则点(a,b)在第二象限的概率为( )
A. B. C. D.
9.(3分)点A(t,2)在第二象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=,则t的值为( )
A.﹣ B.﹣2 C.2 D.3
10.(3分)如图,矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,点E在AD上,且AE=1,点P是线段AB上一动点,折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN,过点P作PQ⊥AB,交MN所在的直线于点Q.设x=AP,y=PQ,则y关于x的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)方程x2=x的解是 .
12.(4分)因式分解:3x2+6x+3= .
13.(4分)把抛物线y=2x2﹣1向上平移一个单位长度后,所得的函数解析式为 .
14.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=14cm,BD=8cm,AD=6cm,则△OBC的周长是 .
15.(4分)在△ABC中BC=2,AB=2,AC=b,且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为 .
16.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,…的斜边都在坐标轴上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°.若点A1的坐标为(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4,…则依此规律,的值为 .
三、解答题(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
17.(6分)计算:﹣|﹣3|+﹣4cos30°
18.(6分)先化简,后求值:(x﹣)÷,其中x=2.
19.(6分)已知等腰△ABC的顶角∠A=36°(如图).
(1)请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD,交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)证明:△ABC∽△BDC.
四、解答题(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
20.(7分)在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后,某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度,随机抽取了部分学生进行一次问卷调查,并根据调查结果绘制了如图的统计图,请根据图中所给的信息,解答下列问题:
(1)本次接受问卷调查的学生总人数是 ;
(2)补全折线统计图.
(3)扇形统计图中,“了解”所对应扇形的圆心角的度数为 ,m的值为 ;
(4)若该校共有学生3000名,请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数.
21.(7分)某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?
(2)若甲队每月的施工费为100万元,乙队每月的施工费比甲队多50万元.在保证工程质量的前提下,为了缩短工期,拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程.在完成这项工程中,甲队施工时间是乙队施工时间的2倍,那么,甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元?(甲、乙两队的施工时间按月取整数)
22.(7分)如图,在正方形ABCD中,边长AB=3,点E(与B,C不重合)是BC边上任意一点,把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF,连接CF.
(1)求证:CF是正方形ABCD的外角平分线;
(2)当∠BAE=30°时,求CF的长.
五、解答题(三)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)
23.(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB:y=kx+b(b为常数)与反比例函数y=(x>0)交于点B,与x轴交于点A,与y轴交于点C,且OB=AB.
(1)如图①,若点A的坐标为(6,0)时,求点B的坐标及直线AB的解析式;
(2)如图①,若∠OBA=90°,求点A的坐标;
(3)在(2)的条件下中,如图②,△PA1A是等腰直角三角形,点P在反比例函数y=(x>0)的图象上,斜边A1A都在x轴上,求点A1的坐标.
24.(9分)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E.
(1)求证:BC是⊙D的切线;
(2)设⊙D与BD相交于点H,与边CD相交于点F,连接HF,若AB=2,求图中阴影部分的面积;
(3)假设圆的半径为r,⊙D上一动点M从点F出发,按逆时针方向运动,且∠FDM<90°,连接DM,MF,当S四边形DFHM:S四边形ABCD=3:4时,求动点M经过的弧长.
25.(9分)如图①,已知抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点A坐标为(﹣1,0),点C坐标为(0,),点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,连接CD,过点D作DH⊥x轴于点H,过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E.
(1)求a,c的值;
(2)求线段DE的长度;
(3)如图②,试在线段AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为直线PF上方抛物线上的一点,求当△CPF的周长最小时,△MPF面积的最大值是多少?
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)下列图案中,不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答.
【解答】解:只有选项C连接相应各点后是正三角形,绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合.
故选:C.
【点评】本题考查中心对称图形的定义:绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合,和正奇边形有关的一定不是中心对称图形.
2.(3分)初步核算并经国家统计局核定,2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元,比上年增长7.5%.将90000亿元用科学记数法表示应为( )元.
A.9×1011 B.9×104 C.9×1012 D.9×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:90000亿=9×1012,
故选:C.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.(3分)下列说法正确的是( )
A.2的相反数是2 B.2的绝对值是2
C.2的倒数是2 D.2的平方根是2
【分析】根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答即可.
【解答】解:A、2的相反数是﹣2,错误;
B、2的绝对值是2,正确;
C、2的倒数是,错误;
D、2的平方根是±,错误;
故选:B.
【点评】此题考查了实数的性质,关键是根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答.
4.(3分)下列运算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.(a2)3=a5
C.a3÷a2=a D.(a﹣b)2=a2﹣b2
【分析】各项计算得到结果,即可作出判断.
【解答】解:A、原式不能合并,不符合题意;
B、原式=a6,不符合题意;
C、原式=a,符合题意;
D、原式=a2﹣2ab+b2,不符合题意,
故选:C.
【点评】此题考查了同底数幂的除法,合并同类项,幂的乘方与积的乘方,以及完全平方公式,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
5.(3分)下列不等式组的解集中,能用如图所示的数轴表示的是( )
A. B. C. D.
【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,再根据数轴判断即可.
【解答】解:由数轴可得:﹣2<x≤1,
故选:D.
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集,能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键.
6.(3分)如图,已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点,若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交,∠2=115°,则∠1的度数是( )
A.75° B.85° C.60° D.65°
【分析】先根据平行线的性质,得出∠3的度数,再根据三角形外角性质进行计算即可.
【解答】解:如图所示,∵DE∥BC,
∴∠2=∠3=115°,
又∵∠3是△ABC的外角,
∴∠1=∠3﹣∠A=115°﹣30°=85°,
故选:B.
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用,解题时注意:两直线平行,同位角相等.
7.(3分)如图,在⊙O中,OC∥AB,∠A=20°,则∠1等于( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
【分析】利用平行线的性质即可求得∠C的度数,根据圆周角定理:同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠O的度数,再利用三角形的外角的性质即可求解.
【解答】解:∵OC∥AB,
∴∠C=∠A=20°,
又∵∠O=2∠A=40°,
∴∠1=∠O+∠C=20°+40°=60°.
故选:D.
【点评】本题考查了圆周角定理与平行线的性质定理,正确利用圆周角定理求得∠O的度数是关键.
8.(3分)有三张正面分别写有数字﹣1,﹣2,2的卡片,它们背面完全相同,现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张,以其正面数字作为a的值,然后再从剩余的两张卡片随机抽一张,以其正面的数字作为b的值,则点(a,b)在第二象限的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】画树状图得出所有等可能结果,再从中找到符合条件的结果数,继而利用概率公式可得答案.
【解答】解:画树状图如下:
由树状图知,共有6种等可能结果,其中点(a,b)在第二象限的有2种结果,
所以点(a,b)在第二象限的概率为=,
故选:B.
【点评】本题主要考查列表法与树状图法,列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果,列表法是一种,但当一个事件涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树形图.
9.(3分)点A(t,2)在第二象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=,则t的值为( )
A.﹣ B.﹣2 C.2 D.3
【分析】如图,作AE⊥x轴于E.根据tan∠AOE==,构建方程即可解决问题.
【解答】解:如图,作AE⊥x轴于E.
由题意:tan∠AOE==,
∵A(t,2),
∴AE=2,OE=﹣t,
∴=,
∴t=﹣,
故选:A.
【点评】本题考查解直角三角形的应用,坐标与图形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
10.(3分)如图,矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,点E在AD上,且AE=1,点P是线段AB上一动点,折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN,过点P作PQ⊥AB,交MN所在的直线于点Q.设x=AP,y=PQ,则y关于x的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
【分析】过点E作EF⊥QP,垂足为F,连接EQ.由翻折的性质可知QE=QP,从而可表示出QF、EF、EQ的长度,然后在△EFQ中利用勾股定理可得到函数的关系式.
【解答】解:如图所示,过点E作EF⊥QP,垂足为F,连接EQ.
由翻折的性质可知:EQ=QP=y.
∵∠EAP=∠APF=∠PFE=90°,
∴四边形EAPF是矩形.
∴EF=AP=x,PF=EA=1.
∴QF=QP﹣PF=y﹣1.
在Rt△EFQ中,由勾股定理可知:EQ2=QF2+EF2,即y2=(y﹣1)2+x2.
整理得:y=.
故选:D.
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质和判定、勾股定理的应用,表示出QF、EF、EQ的长度,在△EFQ中利用勾股定理列出函数关系式是解题的关键.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)方程x2=x的解是 x1=0,x2=1 .
【分析】将方程化为一般形式,提取公因式分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解即可得到原方程的解.
【解答】解:x2=x,
移项得:x2﹣x=0,
分解因式得:x(x﹣1)=0,
可得x=0或x﹣1=0,
解得:x1=0,x2=1.
故答案为:x1=0,x2=1
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,利用此方法解方程时,首先将方程右边化为0,左边化为积的形式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
12.(4分)因式分解:3x2+6x+3= 3(x+1)2 .
【分析】原式提取3,再利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:原式=3(x2+2x+1)=3(x+1)2,
故答案为:3(x+1)2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
13.(4分)把抛物线y=2x2﹣1向上平移一个单位长度后,所得的函数解析式为 y=2x2 .
【分析】直接运用平移规律“左加右减,上加下减”,在原式上加1即可得新函数解析式y=2x2.
【解答】解:∵抛物线y=2x2﹣1向上平移一个单位长度,
∴新抛物线为y=2x2.
故答案为y=2x2.
【点评】此题比较容易,主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.
14.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=14cm,BD=8cm,AD=6cm,则△OBC的周长是 17cm .
【分析】根据平行四边形的对边相等以及对角线互相平分进而求出即可.
【解答】解:∵在平行四边形ABCD中,AC=14cm,BD=8cm,AD=6cm,
∴CO=AC=7cm,BO=BD=4cm,BC=AD=6cm,
∴△OBC的周长=BC+BO+CO=6+7+4=17(cm).
故答案为:17cm.
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质,熟练根据平行四边形的性质得出BO,BC,CO的长是解题关键.
15.(4分)在△ABC中BC=2,AB=2,AC=b,且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为 2 .
【分析】由根的判别式求出AC=b=4,由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论.
【解答】解:∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根,
∴△=16﹣4b=0,
∴AC=b=4,
∵BC=2,AB=2,
∴BC2+AB2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,AC是斜边,
∴AC边上的中线长=AC=2;
故答案为:2.
【点评】本题考查了根的判别式,勾股定理的逆定理,直角三角形斜边上的中线性质;证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键.
16.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,…的斜边都在坐标轴上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°.若点A1的坐标为(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4,…则依此规律,的值为 .
【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得OA2====3×;OA3===3×()2;OA4===3×()3,…,于是可得到OA2016=3×()2015,OA2018=3×()2017,代入,化简即可.
【解答】解:∵∠A2OC2=30°,OA1=OC2=3,
∴OA2====3×;
OA3===3×()2;
OA4===3×()3,
…,
∴OA2016=3×()2015,OA2018=3×()2017,
∴==()2=.
故答案为.
【点评】本题考查了规律型,点的坐标,坐标与图形性质,通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素,然后推广到一般情况.也考查了含30度的直角三角形三边的关系及三角函数.
三、解答题(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
17.(6分)计算:﹣|﹣3|+﹣4cos30°
【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案.
【解答】解:原式=4﹣3+2018﹣4×
=4﹣3+2018﹣2
=2015+2.
【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
18.(6分)先化简,后求值:(x﹣)÷,其中x=2.
【分析】先计算括号内减法、同时将除法转化为乘法,再约分即可化简,最后代入求值即可.
【解答】解:原式=×
=×
=,
当x=2+时,
原式=
=
=.
【点评】本题主要考查分式的化简求值能力,熟练掌握分式的混合运算顺序是解题的关键.
19.(6分)已知等腰△ABC的顶角∠A=36°(如图).
(1)请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD,交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)证明:△ABC∽△BDC.
【分析】(1)利用角平分线的作法作出线段BD即可;
(2)先根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=72°,再由角平分线的性质得出∠ABD的度数,故可得出∠A=∠CBD=36°,∠C=∠C,据此可得出结论.
【解答】解:(1)如图,线段BD为所求出;
(2)∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=(180°﹣36°)=72°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°.
∵∠A=∠CBD=36°,∠C=∠C,
∴△ABD∽△BDC.
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知角平分线的作法是解答此题的关键.
四、解答题(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
20.(7分)在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后,某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度,随机抽取了部分学生进行一次问卷调查,并根据调查结果绘制了如图的统计图,请根据图中所给的信息,解答下列问题:
(1)本次接受问卷调查的学生总人数是 120人 ;
(2)补全折线统计图.
(3)扇形统计图中,“了解”所对应扇形的圆心角的度数为 30° ,m的值为 25 ;
(4)若该校共有学生3000名,请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数.
【分析】(1)根据了解很少的人数以及百分比,求出总人数即可.
(2)求出不了解的人数,画出折线图即可.
(3)根据圆心角=360°×百分比计算即可.
(4)利用样本估计总体的思想解决问题即可.
【解答】解:(1)总人数=60÷50%=120(人).
(2)不了解的人数=120﹣60﹣30﹣10=20(人),
折线图如图所示:
(3)了解的圆心角=×360°=30°,基本了解的百分比==25%,
∴m=25.
故答案为:30,25.
(4)3000×=500(人),
答:估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数为500人.
【点评】本题考查折线统计图,样本估计总体,扇形统计图等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
21.(7分)某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?
(2)若甲队每月的施工费为100万元,乙队每月的施工费比甲队多50万元.在保证工程质量的前提下,为了缩短工期,拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程.在完成这项工程中,甲队施工时间是乙队施工时间的2倍,那么,甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元?(甲、乙两队的施工时间按月取整数)
【分析】(1)设甲队单独完成需要x个月,则乙队单独完成需要x﹣5个月,根据题意列出关系式,求出x的值即可;
(2)设甲队施工y个月,则乙队施工y个月,根据工程款不超过1500万元,列出一元一次不等式,解不等式求最大值即可.
【解答】解:(1)设甲队单独完成需要x个月,则乙队单独完成需要(x﹣5)个月,
由题意得,x(x﹣5)=6(x+x﹣5),
解得x1=15,x2=2(不合题意,舍去),
则x﹣5=10.
答:甲队单独完成这项工程需要15个月,则乙队单独完成这项工程需要10个月;
(2)设甲队施工y个月,则乙队施工y个月,
由题意得,100y+(100+50)≤1500,
解不等式得y≤8.57,
∵施工时间按月取整数,
∴y≤8,
答:完成这项工程,甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用,难度一般,解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解.
22.(7分)如图,在正方形ABCD中,边长AB=3,点E(与B,C不重合)是BC边上任意一点,把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF,连接CF.
(1)求证:CF是正方形ABCD的外角平分线;
(2)当∠BAE=30°时,求CF的长.
【分析】(1)过点F作FG⊥BC于点G,易证△ABE≌△EGF,所以可得到AB=EG,BE=FG,由此可得到∠FCG=∠45°,即CF平分∠DCG,所以CF是正方形ABCD外角的平分线;
(2)首先可求出BE的长,即FG的长,再在Rt△CFG中,利用cos45°即可求出CF的长.
【解答】(1)证明:过点F作FG⊥BC于点G.
∵∠AEF=∠B=∠90°,
∴∠1=∠2.
在△ABE和△EGF中,
∴△ABE≌△EGF(AAS).
∴AB=EG,BE=FG.
又∵AB=BC,
∴BE=CG,
∴FG=CG,
∴∠FCG=∠45°,
即CF平分∠DCG,
∴CF是正方形ABCD外角的平分线.
(2)∵AB=3,∠BAE=30°,tan30°=,
BE=AB•tan30°=3×,即CG=.
在Rt△CFG中,cos45°=,
∴CF=.
【点评】主要考查了正方形的性质,以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运用,题目的综合性较强,难度中等.
五、解答题(三)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)
23.(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB:y=kx+b(b为常数)与反比例函数y=(x>0)交于点B,与x轴交于点A,与y轴交于点C,且OB=AB.
(1)如图①,若点A的坐标为(6,0)时,求点B的坐标及直线AB的解析式;
(2)如图①,若∠OBA=90°,求点A的坐标;
(3)在(2)的条件下中,如图②,△PA1A是等腰直角三角形,点P在反比例函数y=(x>0)的图象上,斜边A1A都在x轴上,求点A1的坐标.
【分析】(1)如图①,作辅助线,根据等腰三角形三线合一得:OC=AC=OA,所以OC=AC=3,根据点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,代入解析式可得B的坐标,再利用待定系数法可得直线AB的解析式;
(2)如图①,根据△AOB是等腰直角三角形,得BC=OC=OA,设点B(a,a)(a>0),列方程可得a的值,从而得A的坐标;
(3)如图②,作辅助线,根据△PA1A是等腰直角三角形,得PD=AD,设AD=m(m>0),则点P的坐标为(4+m,m),列方程可得结论.
【解答】解:(1)如图①,过B作BC⊥x轴于C,
∵OB=AB,BC⊥x轴,
∴OC=AC=OA,
∵点A的坐标为(6,0),
∴OA=6,
∴OC=AC=3,
∵点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴y==4,
∴B(3,4),
∵点A(6,0),点B(3,4)在y=kx+b的图象上,
∴,解得:,
∴直线AB的解析式为:y=﹣x+8;
(2)如图①,∵∠OBA=90°,OB=AB,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴BC=OC=OA,
设点B(a,a)(a>0),
∵顶点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴a=,解得:a=(负值舍),
∴OC=2,
∴OA=2OC=4,
∴A(4,0);
(3)如图②,过P作PD⊥x轴于点D,
∵△PA1A是等腰直角三角形,
∴PD=AD,
设AD=m(m>0),则点P的坐标为(4+m,m),
∴m(4+m)=12,
解得:x1=2﹣2,m2=﹣2﹣2(负值舍去),
∴A1A=2m=4﹣4,
∴OA1=OA+AA1=4,
∴点A1的坐标是(4,0).
【点评】此题是反比例函数与一次函数的综合题,难度适中,解题的关键是:(1)求出点B的坐标;(2)根据点B在反比例函数图象上列方程;(3)设AD=m,表示P的坐标并列方程.解决该题型题目时,找出点的坐标,再利用反比例函数解析式列方程是关键.
24.(9分)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E.
(1)求证:BC是⊙D的切线;
(2)设⊙D与BD相交于点H,与边CD相交于点F,连接HF,若AB=2,求图中阴影部分的面积;
(3)假设圆的半径为r,⊙D上一动点M从点F出发,按逆时针方向运动,且∠FDM<90°,连接DM,MF,当S四边形DFHM:S四边形ABCD=3:4时,求动点M经过的弧长.
【分析】(1)过D作DQ⊥BC于Q',连接DE.证明DE=DQ,即BC是⊙D的切线;
(2)过F作FN⊥DH于N.先证明△ABD为等边三角形,所以∠DAB=60°,AD=BD=AB,再证明△DHF为等边三角形,在Rt△DFN中,FN⊥DH,∠BDC=60°,sin∠BDC=sin60°=,FN=,S阴影=S扇形FDH﹣S△FDH;
(3)假设点M运动到某个位置时,符合题意,连接DM、DF,过M作NZ⊥DF于Z,当M运动到离弧最近时,DE=DH=DF=DM=r,证明∠MDC=60°,此时,动点M经过的弧长为πr.
【解答】解:(1)证明:过D作DQ⊥BC于Q',连接DE.
∵⊙D且AB于E,
∴DE⊥AB,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD平分∠ABC,
∴DE=DQ,
∴BC是⊙D的切线;
(2)过F作FN⊥DH于N.
∵四边形ABCD是菱形,AB=2,
∴AD=AB=2,DC∥AB,
∵在Rt△ADE中,DE⊥AB,∠A=60°,
∴sinA=sin60°=,
∴DE=3,DH=DF=DE=3
∵AD=AB=2,∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∴∠DAB=60°,AD=BD=AB,
∵DC∥AB,
∴∠BDC=∠DBA=60°,
∵DH=DF=3,
∴△DHF为等边三角形,
在Rt△DFN中,FN⊥DH,∠BDC=60°,
∴sin∠BDC=sin60°=,
∴FN=,
∴S阴影=S扇形FDH﹣S△FDH==;
(3)假设点M运动到某个位置时,符合题意,连接DM、DF,过M作NZ⊥DF于Z,
当M运动到离弧最近时,
DE=DH=DF=DM=r,
由(2)在Rt△DFN中,sin∠BDC=sin60°=,
∴FN=,
S△HDF==,
在Rt△ADE中,
sinA=sin60°=,
∴AD=r,
AB=AD=r,
∴S菱形ABCD=AB•DE==,
∵当S四边形DFHM:S四边形ABCD=3:4,
∴S四边形DFHM=,
∴S△DFM=S四边形DFHM﹣S△HDF==DF•MZ=rMZ,
∴MZ=,
在Rt△DMF中,MF⊥CD,
sin∠MDC==,
∴∠MDC=60°,
此时,动点M经过的弧长为πr.
【点评】本题考查了圆综合知识,熟练掌握圆的相关知识与菱形的性质以及特殊三角函数值是解题的关键.
25.(9分)如图①,已知抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点A坐标为(﹣1,0),点C坐标为(0,),点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,连接CD,过点D作DH⊥x轴于点H,过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E.
(1)求a,c的值;
(2)求线段DE的长度;
(3)如图②,试在线段AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为直线PF上方抛物线上的一点,求当△CPF的周长最小时,△MPF面积的最大值是多少?
【分析】(1):(1)将A(﹣1,0),C(0,)代入抛物线y=ax2+x+c(a≠0),求出a、c的值;
(2)由(1)得抛物线解析式:y=,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,C(0,),所以D(2, ),DH=,再证明△ACO∽△EAH,于是 =即=,解得:EH=2,则DE=2;
(3)找点C关于DE的对称点N(4, ),找点C关于AE的对称点G(﹣2,﹣ ),连接GN,交AE于点F,交DE于点P,即G、F、P、N四点共线时,△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小,根据S△MFP==,m= 时,△MPF面积有最大值.
【解答】解:(1)将A(﹣1,0),C(0,)代入抛物线y=ax2+x+c(a≠0),
,
∴a=﹣,c=
(2)由(1)得抛物线解析式:y=
∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,C(0,)
∴D(2, ),
∴DH=,
令y=0,即﹣x2+x+=0,
得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵AE⊥AC,EH⊥AH,
∴△ACO∽△EAH,
∴=即=,
解得:EH=2,
则DE=2;
(3)找点C关于DE的对称点N(4, ),找点C关于AE的对称点G(﹣2,﹣ ),
连接GN,交AE于点F,交DE于点P,即G、F、P、N四点共线时,△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小,
∴直线GN的解析式:y=x﹣,
由(2)得E(2,﹣),A(﹣1,0),
∴直线AE的解析式:y=﹣x﹣,
联立
解得
∴F (0,﹣ ),
∵DH⊥x轴,
∴将x=2代入直线AE的解析式:y=﹣x﹣,
∴P(2,)
∴F (0,﹣ )与P(2,)的水平距离为2
过点M作y轴的平行线交FH于点Q,
设点M(m,﹣m2+m+),则Q(m,m﹣ )(<m<);
∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=(﹣m2+m+)﹣(m﹣ ),
S△MFP==
∵对称轴为:直线m=,
∵开口向下,<m,
∴m= 时,△MPF面积有最大值为..
【点评】本题考查了二次函数,熟练运用相似三角形的性质与二次函数图象的性质是解题的关键.
中学自主招生数学试卷
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(3分)下列各数中,比﹣1大的数是( )
A. B.﹣2 C.﹣3 D.0
2.(3分)中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作,根据规划“一带一路”地区覆盖总人口44亿,这个数用科学记数法表示为( )
A.44×108 B.4.4×109 C.4.4×108 D.4.4×1010
3.(3分)如图所示的几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
4.(3分)下列各运算中,计算正确的是( )
A.2a•3a=6a B.(3a2)3=27a6
C.a4÷a2=2a D.(a+b)2=a2+ab+b2
5.(3分)如图,在菱形ABCD中,AB=4,按以下步骤作图:①分别以点C和点D为圆心,大于CD的长为半径画弧,两弧交于点M,N;②作直线MN,且MN恰好经过点A,与CD交于点E,连接BE,则BE的值为( )
A. B.2 C.3 D.4
6.(3分)在某中学理科竞赛中,张敏同学的数学、物理、化学得分(单位:分)分别为84,88,92,若依次按照4:3:3的比例确定理科成绩,则张敏的成绩是( )
A.84分 B.87.6分 C.88分 D.88.5分
7.(3分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD,若AC=12,BD=16,则对边之间的距离为( )
A. B. C. D.
8.(3分)如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且点C、D在AB的异侧,连接AD、BD、OD、OC,若∠ABD=15°,且AD∥OC,则∠BOC的度数为( )
A.120° B.105° C.100° D.110°
9.(3分)如图,以矩形ABOD的两边OD、OB为坐标轴建立直角坐标系,若E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交OD于F点.若OF=1,FD=2,则G点的坐标为( )
A.(,) B.(,) C.(,) D.(,)
10.(3分)如图①,在矩形ABCD中,AB>AD,对角线AC、BD相交于点O,动点P由点A出发,沿AB→BC→CD向点D运动,设点P的运动路径为x,△AOP的面积为y,图②是y关于x的函数关系图象,则AB边的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(3分)= .
12.(3分)二次函数y=x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3,则a= .
13.(3分)一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片,把它们分别标上数字1、2、3、4.随机抽取一张卡片,然后放回,再随机抽取一张卡片,则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是 .
14.(3分)如图,在正方形ABCD中,AB=4,分别以B、C为圆心,AB长为半径画弧,则图中阴影部分的面积为 .
15.(3分)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E为AD中点,点P为线段AB上一个动点,连接EP,将△APE沿PE折叠得到△FPE,连接CE,CF,当△ECF为直角三角形时,AP的长为 .
三、解答题(75分)
16.(8分)先化简,再求值:,其中x=4|cos30°|+3
17.(9分)“足球运球”是中考体育必考项目之一.兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况,随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,制成了如下不完整的统计图.(说明:A级:8分﹣10分,B级:7分﹣7.9分,C级:6分﹣6.9分,D级:1分﹣5.9分)
根据所给信息,解答以下问题:
(1)在扇形统计图中,C对应的扇形的圆心角是 度;
(2)补全条形统计图;
(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 等级;
(4)该校九年级有300名学生,请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人?
18.(9分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以边上AC上一点O为圆心,OA为半径作⊙O,⊙O恰好经过边BC的中点D,并与边AC相交于另一点F.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若AB=,E是半圆上一动点,连接AE,AD,DE.
填空:
①当的长度是 时,四边形ABDE是菱形;
②当的长度是 时,△ADE是直角三角形.
19.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(n≠0)的图象交于第二、四象限内的A、B两点,与x轴交于点C,点B 坐标为(m,﹣1),AD⊥x轴,且AD=3,tan∠AOD=.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)点E是x轴上一点,且△AOE是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的E点的坐标.
20.(9分)如图①,②分别是某款篮球架的实物图和示意图,已知支架AB的长为2.3m,支架AB与地面的夹角∠BAC=70°,BE的长为1.5m,篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°,BC、DE垂直于地面,求篮板顶端D到地面的距离.(结果保留一位小数,参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,sin46°≈0.72,cos46°≈0.69,tan46°≈1.04)
21.(10分)某公司开发出一款新的节能产品,该产品的成本价为6元件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期30天的试销售,售价为8元/件,工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘成如图所示的图象,图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系,已知线段DE表示的函数关系中,时间每增加1天,日销售量减少5件.
(1)第24天的日销售量是 件,日销售利润是 元.
(2)求线段DE所对应的函数关系式.(不要求写出自变量的取值范围)
(3)通过计算说明试销售期间第几天的日销售量最大?最大日销售量是多少?
22.(10分)(1)阅读理解
利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图1,点P是等边三角形ABC内一点,PA=1,PB=,PC=2.求∠BPC的度数.
为利用已知条件,不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C,连接PP′,则PP′的长为 ;在△PAP′中,易证∠PAP′=90°,且∠PP′A的度数为 ,综上可得∠BPC的度数为 ;
(2)类比迁移
如图2,点P是等腰Rt△ABC内的一点,∠ACB=90°,PA=2,PB=,PC=1,求∠APC的度数;
(3)拓展应用
如图3,在四边形ABCD中,BC=3,CD=5,AB=AC=AD.∠BAC=2∠ADC,请直接写出BD的长.
23.(11分)如图,直线y=与x轴,y轴分别交于点A,C,经过点A,C的抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2,0),点D是抛物线上一点,过点D作DE⊥x轴于点E,连接AD,DC.设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点D在第三象限,设△DAC的面积为S,求S与m的函数关系式,并求出S的最大值及此时点D的坐标;
(3)连接BC,若∠EAD=∠OBC,请直接写出此时点D的坐标.
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.【解答】解:A、﹣<﹣1,故本选项不符合题意;
B、﹣2<﹣1,故本选项不符合题意;
C、﹣3<﹣1,故本选项不符合题意;
D、0>﹣1,故本选项,符合题意;
故选:D.
2.【解答】解:44亿=4.4×109.
故选:B.
3.【解答】解:该几何体的主视图为:
故选:C.
4.【解答】解:A、原式=6a2,不符合题意;
B、原式=27a6,符合题意;
C、原式=a2,不符合题意;
D、原式=a2+2ab+b2;不符合题意;
故选:B.
5.【解答】解:由作法得AE垂直平分CD,
∴∠AED=90°,CE=DE,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=2DE,
∴∠DAE=30°,∠D=60°,
∴∠ABC=60°,
∵AB=2DE,
作EH⊥BC交BC的延长线于H,如图,若AB=4,
在Rt△ECH中,∵∠ECH=60°,
∴CH=CE=1,EH=CH=,
在Rt△BEH中,BE==2,
故选:B.
6.【解答】解:张敏的成绩是:=87.6(分),
故选:B.
7.【解答】解:设AC,BD交点为O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA,
又∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠BAC,
∴∠BCA=∠BAC,
∴AB=BC,
∴平行四边形ABCD是菱形;
∵四边形ABCD是菱形,且AC=12、BD=16,
∴AO=6、BO=8,且∠AOB=90°,
∴AB==10,
∴对边之间的距离==,
故选:C.
8.【解答】解:∵AB是⊙O的直径,∠ABD=15°,
∴∠ADB=90°,
∴∠A=75°,
∵AD∥OC,
∴∠AOC=75°,
∴∠BOC=180°﹣75°=105°,
故选:B.
9.【解答】解:连结EF,作GH⊥x轴于H,如图,
∵四边形ABOD为矩形,
∴AB=OD=OF+FD=1+2=3,
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE,
∴BA=BG=3,EA=EG,∠BGE=∠A=90°,
∵点E为AD的中点,
∴AE=DE,
∴GE=DE,
在Rt△DEF和Rt△GEF中
,
∴Rt△DEF≌Rt△GEF(HL),
∴FD=FG=2,
∴BF=BG+GF=3+2=5,
在Rt△OBF中,OF=1,BF=5,
∴OB==2,
∵GH∥OB,
∴△FGH∽△FBO,
∴==,即==,
∴GH=,FH=,
∴OH=OF﹣HF=1﹣=,
∴G点坐标为(,).
故选:B.
10.【解答】解:当P点在AB上运动时,△AOP面积逐渐增大,当P点到达B点时,△AOP面积最大为3.
∴AB•=3,即AB•BC=12.
当P点在BC上运动时,△AOP面积逐渐减小,当P点到达C点时,△AOP面积为0,此时结合图象可知P点运动路径长为7,
∴AB+BC=7.
则BC=7﹣AB,代入AB•BC=12,得AB2﹣7AB+12=0,解得AB=4或3,
因为AB>BC,所以AB=4.
故选:B.
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.【解答】解:原式=2﹣4+4=2,
故答案为:2.
12.【解答】解:y=x2﹣4x+a=(x﹣2)2+a﹣4,
当x=2时,函数有最小值a﹣4,
∵二次函数y=x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3,
﹣2≤x≤3,y随x的增大而增大,
∴a﹣4=﹣3,
∴a=1,
故答案为1.
13.【解答】解:画树状图为:
共有16种等可能的结果数,其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为8,
所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率为=,
故答案为:.
14.【解答】解:连接BG,CG
∵BG=BC=CG,
∴△BCG是等边三角形.
∴∠CBG=∠BCG=660°,
∵在正方形ABCD中,AB=4,
∴BC=4,∠BCD=90°,
∴∠DCG=30°,
∴图中阴影部分的面积=S扇形CDG﹣S弓形CG=﹣(﹣×4×2)=4﹣,
故答案为:4﹣.
15.【解答】解:如图所示,当∠CFE=90°时,△ECF是直角三角形,
由折叠可得,∠PFE=∠A=90°,AE=FE=DE,
∴∠CFP=180°,即点P,F,C在一条直线上,
在Rt△CDE和Rt△CFE中,
,
∴Rt△CDE≌Rt△CFE(HL),
∴CF=CD=4,
设AP=FP=x,则BP=4﹣x,CP=x+4,
在Rt△BCP中,BP2+BC2=PC2,即(4﹣x)2+62=(x+4)2,
解得x=,即AP=;
如图所示,当∠CEF=90°时,△ECF是直角三角形,
过F作FH⊥AB于H,作FQ⊥AD于Q,则∠FQE=∠D=90°,
又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED,
∴∠FEQ=∠ECD,
∴△FEQ∽△ECD,
∴==,即==,
解得FQ=,QE=,
∴AQ=HF=,AH=,
设AP=FP=x,则HP=﹣x,
∵Rt△PFH中,HP2+HF2=PF2,即(﹣x)2+()2=x2,
解得x=1,即AP=1.
综上所述,AP的长为1或.
三、解答题(75分)
16.【解答】解:原式=÷
=•
=,
当x=4|cos30°|+3=4×+3=2+3时,
原式==.
17.【解答】解:(1)∵总人数为18÷45%=40人,
∴C等级人数为40﹣(4+18+5)=13人,
则C对应的扇形的圆心角是360°×=117°,
故答案为:117;
(2)补全条形图如下:
(3)因为共有40个数据,其中位数是第20、21个数据的平均数,而第20、21个数据均落在B等级,
所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级,
故答案为:B.
(4)估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×=30人.
18.【解答】(1)证明:如图1,连接OD,
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,
∴AB=BC,
∵D是BC的中点,
∴BD=BC,
∴AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODB=∠BAO=90°,
即OD⊥BC,
∴BD是⊙O的切线.
(2)①当DE⊥AC时,四边形ABDE是菱形;
如图2,设DE交AC于点M,连接OE,则DE=2DM,
∵∠C=30°,
∴CD=2DM,∴DE=CD=AB=BC,
∵∠BAC=90°,
∴DE∥AB,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∵AB=BD,
∴四边形ABDE是菱形;
∵AD=BD=AB=CD=BC=,
∴△ABD是等边三角形,OD=CD•tan30°=1,
∴∠ADB=60°,
∵∠CDE=90°﹣∠C=60°,
∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°,
∴∠AOE=2∠ADE=120°,
∴的长度为:=π;
故答案为:;
②若∠ADE=90°,则点E与点F重合,此时的长度为:=π;
若∠DAE=90°,则DE是直径,则∠AOE=2∠ADO=60°,此时的长度为:=π;
∵AD不是直径,
∴∠AED≠90°;
综上可得:当的长度是π或π时,△ADE是直角三角形.
故答案为:π或π.
19.【解答】解:(1)如图,在Rt△OAD中,∠ADO=90°,
∵tan∠AOD=,AD=3,
∴OD=2,
∴A(﹣2,3),
把A(﹣2,3)代入y=,考点:n=3×(﹣2)=﹣6,
所以反比例函数解析式为:y=﹣,
把B(m,﹣1)代入y=﹣,得:m=6,
把A(﹣2,3),B(6,﹣1)分别代入y=kx+b,得:,
解得:,
所以一次函数解析式为:y=﹣x+2;
(2)当y=0时,﹣x+2=0,
解得:x=4,
则C(4,0),
所以;
(3)当OE3=OE2=AO=,即E2(﹣,0),E3(,0);
当OA=AE1=时,得到OE1=2OD=4,即E1(﹣4,0);
当AE4=OE4时,由A(﹣2,3),O(0,0),得到直线AO解析式为y=﹣x,中点坐标为(﹣1,1.5),
令y=0,得到y=﹣,即E4(﹣,0),
综上,当点E(﹣4,0)或(,0)或(﹣,0)或(﹣,0)时,△AOE是等腰三角形.
20.【解答】解:延长AC、DE交于点F,
则四边形BCFE为矩形,
∴BC=EF,
在Rt△ABC中,sin∠BAC=,
∴BC=AB•sin∠BAC=2.3×0.94=2.162,
∴EF=2.162,
在Rt△DBE中,tan∠DBE=,
∴DE=BE•tan∠DBE=1.5×1.04=1.56,
∴DF=DE+EF=2.162+1.56≈3.7(m)
答:篮板顶端D到地面的距离约为3.7m.
21.【解答】解:(1)340﹣(24﹣22)×5=330(件),
330×(8﹣6)=660(元).
故答案为:330;660.
(2)线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=340﹣5(x﹣22)=﹣5x+450;
(3)设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx,
将(17,340)代入y=kx中,
340=17k,解得:k=20,
∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=20x.
联立两线段所表示的函数关系式成方程组,
得,
解得:,
∴交点D的坐标为(18,360),
∵点D的坐标为(18,360),
∴试销售期间第18天的日销售量最大,最大日销售量是360件.
22.【解答】解:(1)把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C,连接PP′(如图1).
由旋转的性质知△CP′P是等边三角形;
∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2,
在△AP′P中,∵AP2+P′A2=12+()2=4=PP′2;
∴△AP′P是直角三角形;
∴∠P′AP=90°.
∵PA=PC,
∴∠AP′P=30°;
∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°.
故答案为:2;30°;90°;
(2)如图2,把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C,连接PP′.
由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形;
∴P′C=PC=1,∠CPP′=45°、P′P=,PB=AP'=,
在△AP′P中,∵AP'2+P′P2=()2+()2=2=AP2;
∴△AP′P是直角三角形;
∴∠AP′P=90°.
∴∠APP'=45°
∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°
(3)如图3,∵AB=AC,
将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG,
∵∠BAD=∠CAG,
∴∠BAC=∠DAG,
∵AB=AC,AD=AG,
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD,
∴△ABC∽△ADG,
∵AD=2AB,
∴DG=2BC=6,
过A作AE⊥BC于E,
∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC,
∴∠ADG+∠ADC=90°,
∴∠GDC=90°,
∴CG===,
∴BD=CG=.
23.【解答】解:(1)在y=﹣x﹣3中,当y=0时,x=﹣6,
即点A的坐标为:(﹣6,0),
将A(﹣6,0),B(2,0)代入y=ax2+bx﹣3得:
,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y=x2+x﹣3;
(2)设点D的坐标为:(m,m2+m﹣3),则点F的坐标为:(m,﹣m﹣3),
∴DF=﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)=﹣m2﹣m,
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC
=DF•AE+•DF•OE
=DF•OA
=×(﹣m2﹣m)×6
=﹣m2﹣m
=﹣(m+3)2+,
∵a=﹣<0,
∴抛物线开口向下,
∴当m=﹣3时,S△ADC存在最大值,
又∵当m=﹣3时,m2+m﹣3=﹣,
∴存在点D(﹣3,﹣),使得△ADC的面积最大,最大值为;
(3)①当点D与点C关于对称轴对称时,D(﹣4,﹣3),根据对称性此时∠EAD=∠ABC.
②作点D(﹣4,﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4,3),
直线AD′的解析式为y=x+9,
由,解得或,
此时直线AD′与抛物线交于D(8,21),满足条件,
综上所述,满足条件的点D坐标为(﹣4,﹣3)或(8,21)
中学自主招生数学试卷
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(3分)下列各数中,比﹣1大的数是( )
A. B.﹣2 C.﹣3 D.0
2.(3分)中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作,根据规划“一带一路”地区覆盖总人口44亿,这个数用科学记数法表示为( )
A.44×108 B.4.4×109 C.4.4×108 D.4.4×1010
3.(3分)如图所示的几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
4.(3分)下列各运算中,计算正确的是( )
A.2a•3a=6a B.(3a2)3=27a6
C.a4÷a2=2a D.(a+b)2=a2+ab+b2
5.(3分)如图,在菱形ABCD中,AB=4,按以下步骤作图:①分别以点C和点D为圆心,大于CD的长为半径画弧,两弧交于点M,N;②作直线MN,且MN恰好经过点A,与CD交于点E,连接BE,则BE的值为( )
A. B.2 C.3 D.4
6.(3分)在某中学理科竞赛中,张敏同学的数学、物理、化学得分(单位:分)分别为84,88,92,若依次按照4:3:3的比例确定理科成绩,则张敏的成绩是( )
A.84分 B.87.6分 C.88分 D.88.5分
7.(3分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD,若AC=12,BD=16,则对边之间的距离为( )
A. B. C. D.
8.(3分)如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且点C、D在AB的异侧,连接AD、BD、OD、OC,若∠ABD=15°,且AD∥OC,则∠BOC的度数为( )
A.120° B.105° C.100° D.110°
9.(3分)如图,以矩形ABOD的两边OD、OB为坐标轴建立直角坐标系,若E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交OD于F点.若OF=1,FD=2,则G点的坐标为( )
A.(,) B.(,) C.(,) D.(,)
10.(3分)如图①,在矩形ABCD中,AB>AD,对角线AC、BD相交于点O,动点P由点A出发,沿AB→BC→CD向点D运动,设点P的运动路径为x,△AOP的面积为y,图②是y关于x的函数关系图象,则AB边的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(3分)= .
12.(3分)二次函数y=x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3,则a= .
13.(3分)一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片,把它们分别标上数字1、2、3、4.随机抽取一张卡片,然后放回,再随机抽取一张卡片,则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是 .
14.(3分)如图,在正方形ABCD中,AB=4,分别以B、C为圆心,AB长为半径画弧,则图中阴影部分的面积为 .
15.(3分)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E为AD中点,点P为线段AB上一个动点,连接EP,将△APE沿PE折叠得到△FPE,连接CE,CF,当△ECF为直角三角形时,AP的长为 .
三、解答题(75分)
16.(8分)先化简,再求值:,其中x=4|cos30°|+3
17.(9分)“足球运球”是中考体育必考项目之一.兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况,随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,制成了如下不完整的统计图.(说明:A级:8分﹣10分,B级:7分﹣7.9分,C级:6分﹣6.9分,D级:1分﹣5.9分)
根据所给信息,解答以下问题:
(1)在扇形统计图中,C对应的扇形的圆心角是 度;
(2)补全条形统计图;
(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 等级;
(4)该校九年级有300名学生,请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人?
18.(9分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以边上AC上一点O为圆心,OA为半径作⊙O,⊙O恰好经过边BC的中点D,并与边AC相交于另一点F.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若AB=,E是半圆上一动点,连接AE,AD,DE.
填空:
①当的长度是 时,四边形ABDE是菱形;
②当的长度是 时,△ADE是直角三角形.
19.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(n≠0)的图象交于第二、四象限内的A、B两点,与x轴交于点C,点B 坐标为(m,﹣1),AD⊥x轴,且AD=3,tan∠AOD=.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)点E是x轴上一点,且△AOE是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的E点的坐标.
20.(9分)如图①,②分别是某款篮球架的实物图和示意图,已知支架AB的长为2.3m,支架AB与地面的夹角∠BAC=70°,BE的长为1.5m,篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°,BC、DE垂直于地面,求篮板顶端D到地面的距离.(结果保留一位小数,参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,sin46°≈0.72,cos46°≈0.69,tan46°≈1.04)
21.(10分)某公司开发出一款新的节能产品,该产品的成本价为6元件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期30天的试销售,售价为8元/件,工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘成如图所示的图象,图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系,已知线段DE表示的函数关系中,时间每增加1天,日销售量减少5件.
(1)第24天的日销售量是 件,日销售利润是 元.
(2)求线段DE所对应的函数关系式.(不要求写出自变量的取值范围)
(3)通过计算说明试销售期间第几天的日销售量最大?最大日销售量是多少?
22.(10分)(1)阅读理解
利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图1,点P是等边三角形ABC内一点,PA=1,PB=,PC=2.求∠BPC的度数.
为利用已知条件,不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C,连接PP′,则PP′的长为 ;在△PAP′中,易证∠PAP′=90°,且∠PP′A的度数为 ,综上可得∠BPC的度数为 ;
(2)类比迁移
如图2,点P是等腰Rt△ABC内的一点,∠ACB=90°,PA=2,PB=,PC=1,求∠APC的度数;
(3)拓展应用
如图3,在四边形ABCD中,BC=3,CD=5,AB=AC=AD.∠BAC=2∠ADC,请直接写出BD的长.
23.(11分)如图,直线y=与x轴,y轴分别交于点A,C,经过点A,C的抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2,0),点D是抛物线上一点,过点D作DE⊥x轴于点E,连接AD,DC.设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点D在第三象限,设△DAC的面积为S,求S与m的函数关系式,并求出S的最大值及此时点D的坐标;
(3)连接BC,若∠EAD=∠OBC,请直接写出此时点D的坐标.
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.【解答】解:A、﹣<﹣1,故本选项不符合题意;
B、﹣2<﹣1,故本选项不符合题意;
C、﹣3<﹣1,故本选项不符合题意;
D、0>﹣1,故本选项,符合题意;
故选:D.
2.【解答】解:44亿=4.4×109.
故选:B.
3.【解答】解:该几何体的主视图为:
故选:C.
4.【解答】解:A、原式=6a2,不符合题意;
B、原式=27a6,符合题意;
C、原式=a2,不符合题意;
D、原式=a2+2ab+b2;不符合题意;
故选:B.
5.【解答】解:由作法得AE垂直平分CD,
∴∠AED=90°,CE=DE,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=2DE,
∴∠DAE=30°,∠D=60°,
∴∠ABC=60°,
∵AB=2DE,
作EH⊥BC交BC的延长线于H,如图,若AB=4,
在Rt△ECH中,∵∠ECH=60°,
∴CH=CE=1,EH=CH=,
在Rt△BEH中,BE==2,
故选:B.
6.【解答】解:张敏的成绩是:=87.6(分),
故选:B.
7.【解答】解:设AC,BD交点为O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA,
又∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠BAC,
∴∠BCA=∠BAC,
∴AB=BC,
∴平行四边形ABCD是菱形;
∵四边形ABCD是菱形,且AC=12、BD=16,
∴AO=6、BO=8,且∠AOB=90°,
∴AB==10,
∴对边之间的距离==,
故选:C.
8.【解答】解:∵AB是⊙O的直径,∠ABD=15°,
∴∠ADB=90°,
∴∠A=75°,
∵AD∥OC,
∴∠AOC=75°,
∴∠BOC=180°﹣75°=105°,
故选:B.
9.【解答】解:连结EF,作GH⊥x轴于H,如图,
∵四边形ABOD为矩形,
∴AB=OD=OF+FD=1+2=3,
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE,
∴BA=BG=3,EA=EG,∠BGE=∠A=90°,
∵点E为AD的中点,
∴AE=DE,
∴GE=DE,
在Rt△DEF和Rt△GEF中
,
∴Rt△DEF≌Rt△GEF(HL),
∴FD=FG=2,
∴BF=BG+GF=3+2=5,
在Rt△OBF中,OF=1,BF=5,
∴OB==2,
∵GH∥OB,
∴△FGH∽△FBO,
∴==,即==,
∴GH=,FH=,
∴OH=OF﹣HF=1﹣=,
∴G点坐标为(,).
故选:B.
10.【解答】解:当P点在AB上运动时,△AOP面积逐渐增大,当P点到达B点时,△AOP面积最大为3.
∴AB•=3,即AB•BC=12.
当P点在BC上运动时,△AOP面积逐渐减小,当P点到达C点时,△AOP面积为0,此时结合图象可知P点运动路径长为7,
∴AB+BC=7.
则BC=7﹣AB,代入AB•BC=12,得AB2﹣7AB+12=0,解得AB=4或3,
因为AB>BC,所以AB=4.
故选:B.
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.【解答】解:原式=2﹣4+4=2,
故答案为:2.
12.【解答】解:y=x2﹣4x+a=(x﹣2)2+a﹣4,
当x=2时,函数有最小值a﹣4,
∵二次函数y=x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3,
﹣2≤x≤3,y随x的增大而增大,
∴a﹣4=﹣3,
∴a=1,
故答案为1.
13.【解答】解:画树状图为:
共有16种等可能的结果数,其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为8,
所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率为=,
故答案为:.
14.【解答】解:连接BG,CG
∵BG=BC=CG,
∴△BCG是等边三角形.
∴∠CBG=∠BCG=660°,
∵在正方形ABCD中,AB=4,
∴BC=4,∠BCD=90°,
∴∠DCG=30°,
∴图中阴影部分的面积=S扇形CDG﹣S弓形CG=﹣(﹣×4×2)=4﹣,
故答案为:4﹣.
15.【解答】解:如图所示,当∠CFE=90°时,△ECF是直角三角形,
由折叠可得,∠PFE=∠A=90°,AE=FE=DE,
∴∠CFP=180°,即点P,F,C在一条直线上,
在Rt△CDE和Rt△CFE中,
,
∴Rt△CDE≌Rt△CFE(HL),
∴CF=CD=4,
设AP=FP=x,则BP=4﹣x,CP=x+4,
在Rt△BCP中,BP2+BC2=PC2,即(4﹣x)2+62=(x+4)2,
解得x=,即AP=;
如图所示,当∠CEF=90°时,△ECF是直角三角形,
过F作FH⊥AB于H,作FQ⊥AD于Q,则∠FQE=∠D=90°,
又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED,
∴∠FEQ=∠ECD,
∴△FEQ∽△ECD,
∴==,即==,
解得FQ=,QE=,
∴AQ=HF=,AH=,
设AP=FP=x,则HP=﹣x,
∵Rt△PFH中,HP2+HF2=PF2,即(﹣x)2+()2=x2,
解得x=1,即AP=1.
综上所述,AP的长为1或.
三、解答题(75分)
16.【解答】解:原式=÷
=•
=,
当x=4|cos30°|+3=4×+3=2+3时,
原式==.
17.【解答】解:(1)∵总人数为18÷45%=40人,
∴C等级人数为40﹣(4+18+5)=13人,
则C对应的扇形的圆心角是360°×=117°,
故答案为:117;
(2)补全条形图如下:
(3)因为共有40个数据,其中位数是第20、21个数据的平均数,而第20、21个数据均落在B等级,
所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级,
故答案为:B.
(4)估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×=30人.
18.【解答】(1)证明:如图1,连接OD,
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,
∴AB=BC,
∵D是BC的中点,
∴BD=BC,
∴AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODB=∠BAO=90°,
即OD⊥BC,
∴BD是⊙O的切线.
(2)①当DE⊥AC时,四边形ABDE是菱形;
如图2,设DE交AC于点M,连接OE,则DE=2DM,
∵∠C=30°,
∴CD=2DM,∴DE=CD=AB=BC,
∵∠BAC=90°,
∴DE∥AB,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∵AB=BD,
∴四边形ABDE是菱形;
∵AD=BD=AB=CD=BC=,
∴△ABD是等边三角形,OD=CD•tan30°=1,
∴∠ADB=60°,
∵∠CDE=90°﹣∠C=60°,
∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°,
∴∠AOE=2∠ADE=120°,
∴的长度为:=π;
故答案为:;
②若∠ADE=90°,则点E与点F重合,此时的长度为:=π;
若∠DAE=90°,则DE是直径,则∠AOE=2∠ADO=60°,此时的长度为:=π;
∵AD不是直径,
∴∠AED≠90°;
综上可得:当的长度是π或π时,△ADE是直角三角形.
故答案为:π或π.
19.【解答】解:(1)如图,在Rt△OAD中,∠ADO=90°,
∵tan∠AOD=,AD=3,
∴OD=2,
∴A(﹣2,3),
把A(﹣2,3)代入y=,考点:n=3×(﹣2)=﹣6,
所以反比例函数解析式为:y=﹣,
把B(m,﹣1)代入y=﹣,得:m=6,
把A(﹣2,3),B(6,﹣1)分别代入y=kx+b,得:,
解得:,
所以一次函数解析式为:y=﹣x+2;
(2)当y=0时,﹣x+2=0,
解得:x=4,
则C(4,0),
所以;
(3)当OE3=OE2=AO=,即E2(﹣,0),E3(,0);
当OA=AE1=时,得到OE1=2OD=4,即E1(﹣4,0);
当AE4=OE4时,由A(﹣2,3),O(0,0),得到直线AO解析式为y=﹣x,中点坐标为(﹣1,1.5),
令y=0,得到y=﹣,即E4(﹣,0),
综上,当点E(﹣4,0)或(,0)或(﹣,0)或(﹣,0)时,△AOE是等腰三角形.
20.【解答】解:延长AC、DE交于点F,
则四边形BCFE为矩形,
∴BC=EF,
在Rt△ABC中,sin∠BAC=,
∴BC=AB•sin∠BAC=2.3×0.94=2.162,
∴EF=2.162,
在Rt△DBE中,tan∠DBE=,
∴DE=BE•tan∠DBE=1.5×1.04=1.56,
∴DF=DE+EF=2.162+1.56≈3.7(m)
答:篮板顶端D到地面的距离约为3.7m.
21.【解答】解:(1)340﹣(24﹣22)×5=330(件),
330×(8﹣6)=660(元).
故答案为:330;660.
(2)线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=340﹣5(x﹣22)=﹣5x+450;
(3)设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx,
将(17,340)代入y=kx中,
340=17k,解得:k=20,
∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=20x.
联立两线段所表示的函数关系式成方程组,
得,
解得:,
∴交点D的坐标为(18,360),
∵点D的坐标为(18,360),
∴试销售期间第18天的日销售量最大,最大日销售量是360件.
22.【解答】解:(1)把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C,连接PP′(如图1).
由旋转的性质知△CP′P是等边三角形;
∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2,
在△AP′P中,∵AP2+P′A2=12+()2=4=PP′2;
∴△AP′P是直角三角形;
∴∠P′AP=90°.
∵PA=PC,
∴∠AP′P=30°;
∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°.
故答案为:2;30°;90°;
(2)如图2,把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C,连接PP′.
由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形;
∴P′C=PC=1,∠CPP′=45°、P′P=,PB=AP'=,
在△AP′P中,∵AP'2+P′P2=()2+()2=2=AP2;
∴△AP′P是直角三角形;
∴∠AP′P=90°.
∴∠APP'=45°
∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°
(3)如图3,∵AB=AC,
将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG,
∵∠BAD=∠CAG,
∴∠BAC=∠DAG,
∵AB=AC,AD=AG,
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD,
∴△ABC∽△ADG,
∵AD=2AB,
∴DG=2BC=6,
过A作AE⊥BC于E,
∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC,
∴∠ADG+∠ADC=90°,
∴∠GDC=90°,
∴CG===,
∴BD=CG=.
23.【解答】解:(1)在y=﹣x﹣3中,当y=0时,x=﹣6,
即点A的坐标为:(﹣6,0),
将A(﹣6,0),B(2,0)代入y=ax2+bx﹣3得:
,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y=x2+x﹣3;
(2)设点D的坐标为:(m,m2+m﹣3),则点F的坐标为:(m,﹣m﹣3),
∴DF=﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)=﹣m2﹣m,
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC
=DF•AE+•DF•OE
=DF•OA
=×(﹣m2﹣m)×6
=﹣m2﹣m
=﹣(m+3)2+,
∵a=﹣<0,
∴抛物线开口向下,
∴当m=﹣3时,S△ADC存在最大值,
又∵当m=﹣3时,m2+m﹣3=﹣,
∴存在点D(﹣3,﹣),使得△ADC的面积最大,最大值为;
(3)①当点D与点C关于对称轴对称时,D(﹣4,﹣3),根据对称性此时∠EAD=∠ABC.
②作点D(﹣4,﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4,3),
直线AD′的解析式为y=x+9,
由,解得或,
此时直线AD′与抛物线交于D(8,21),满足条件,
综上所述,满足条件的点D坐标为(﹣4,﹣3)或(8,21)
中学自主招生数学试卷
一、选择题(本大题共8小题,共24.0分)
1. (-
A.
2. 下列运算结果正确的是( )
A.
3. 国家主席习近平在2018年新年贺词中说道:“安得广厦千万间,大庇天下寒士俱欢颜!2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家.”其中3400000用科学记数法表示为( )
A.
4. 如图几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图,AB是半圆的直径,点D是弧AC的中点,∠ABC=50°,则∠DAB等于( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知x1,x2是x2-4x+1=0的两个根,则x1+x2是( )
A.
7. 若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为( )
A.
C.
8. 如图,△ABC三个顶点分别在反比例函数y=
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题(本大题共8小题,共24.0分)
9. 函数y=
10. 把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是______.
11. 甲、乙两人进行射击比赛,每人10次射击的平均成绩都是8.5环,方差分别是s甲2=3,s乙2=2.5,则射击成绩较稳定的是______.
12. 如图,AB∥CD,FE⊥DB,垂足为点E,∠2=40°,则∠1的度数是______.
13. 已知扇形的圆心角为150°,它所对应的弧长20πcm,则此扇形的半径是______cm.
14. 如图,已知△ABC中,∠A=70°,根据作图痕迹推断∠BOC的度数为______°.
15. 如图,点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上,若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置,则旋转角为______.
16. 如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是AB上一点,连接CD,过点A作AE⊥CD于F交BC于E,G在是CF上一点,过点G作GH⊥BC于H,延长GH到K连接KC,使∠K+2∠BAE=90°,若HG:HK=2:3,AD=10,则线段CF的长度为______.
三、计算题(本大题共2小题,共14.0分)
17. 解不等式组
18. 如图,在▱ABCD中,AC与BD交于点O,AC⊥BC于点C,将△ABC沿AC翻折得到△AEC,连接DE.
(1)求证:四边形ACED是矩形;
(2)若AC=4,BC=3,求sin∠ABD的值.
四、解答题(本大题共9小题,共88.0分)
19. 2cos30°+(π-1)0-
20. 先化简,再求代数式的值:
21. 某学校以随机抽样的方式开展了“中学生喜欢数学的程度”的问卷调查,调查的结果分为A(不喜欢)、B(一般)、C(比较喜欢)、D(非常喜欢)四个等级,图1、图2是根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图.
(1)C等级所占的圆心角为______°;
(2)请直接在图2中补全条形统计图;
(3)若该校有学生1000人,请根据调查结果,估计“比较喜欢”的学生人数为多少人.
22. 如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的△ABC就是格点三角形,建立如图所示的平面直角坐标系,点C的坐标为(0,-1).
(1)在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大,使放大前后的位似比为1:2,画出△A1B1C1(△ABC与△A1B1C1在位似中心O点的两侧,A,B,C的对应点分别是A1,B1,C1).
(2)利用方格纸标出△A1B1C1外接圆的圆心P,P点坐标是______,⊙P的半径=______.(保留根号)
23. 甲、乙、丙三位同学玩抢座位游戏,在老师的指令下围绕A、B两张凳子转圈(每张仅可坐1人),当老师喊停时即可抢座位.
(1)甲抢不到座位的概率是多少?
(2)用树状图或列表法表示出所有抢到座位的结果,并求出恰好甲坐A凳、丙坐B凳的概率.
24. “五一”假期,某校团委组织500团员前往烈士陵园,开展“缅怀革命先烈,立志为国成才”的活动,由甲、乙两家旅行社来承担此次活动的出行事宜.由于接待能力受限,两家旅行社每家最多只能接待300人,甲旅行社的费用是每人4元,乙旅行社的费用是每人6元,如果设甲旅行社安排x人,乙旅行社安排y人,所学费用为w元,则:
(1)试求w与x的函数关系,并求当x为何值时出行费用w最低?
(2)经协商,两家旅行社均同意对写生施行优惠政策,其优惠政策如表:
人数 | 甲旅行社 | 乙旅行社 |
少于250人 | 一律八折优惠 | 七折优惠 |
不少于250人 | 五折优惠 | |
如何安排人数,可使出行费用最低?
25. 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F.
(1)求证:DH是圆O的切线;
(2)若
(3)若EA=EF=1,求圆O的半径.
26. 我们知道,锐角三角函数可以揭示三角形的边与角之间的关系.为了解决有关锐角三角函数的问题,我们往往需要构造直角三角形.例如,已知tanα=
(1)利用图①可得α+β=______°;
(2)若tan2α=
(3)在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,设∠CAB=α(0°<α<45°),请利用图③探究sin2α、cosα和sinα的数量关系.
27. 如图,二次函数y=x2+bx-3的图象与x轴分别相交于A、B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴的交点为C,动点T在射线AB上运动,在抛物线的对称轴l上有一定点D,其纵坐标为2
(1)求二次函数的表达式;
(2)在点T的运动过程中,
①∠DMT的度数是否为定值?若是,请求出该定值:若不是,请说明理由;
②若MT=
(3)当动点T在射线EB上运动时,过点M作MH⊥x轴于点H,设HT=a,当OH≤x≤OT时,求y的最大值与最小值(用含a的式子表示).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解:(-)2=,
故选:A.
根据有理数的乘方的定义解答.
本题考查了有理数的乘方,主要考查学生的计算能力和辨析能力,题目比较好.
2.【答案】D
【解析】
解:∵a6÷a3=a3,
∴选项A不符合题意;
∵(a2)3=a6,
∴选项B不符合题意;
∵(ab)2=a2b2,
∴选项C不符合题意;
∵a2•a3=a5,
∴选项D符合题意.
故选:D.
根据同底数幂的除法的运算方法,同底数幂的乘法的运算方法,以及幂的乘方与积的乘方的运算方法,逐项判断即可.
此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法,同底数幂的乘法的运算方法,以及幂的乘方与积的乘方的运算方法,要熟练掌握.
3.【答案】B
【解析】
解:3400000用科学记数法表示为3.4×106,
故选:B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.【答案】D
【解析】
解:从左边看去,左边是两个正方形,右边是一个正方形.
故选:D.
细心观察图中几何体中正方体摆放的位置,根据左视图是从左面看到的图形判定则可.
本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图,关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力.
5.【答案】B
【解析】
解:连接BD,如图所示.
∵点D是弧AC的中点,
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠ABC=50°,AB是半圆的直径,
∴∠ABD=∠ABC=25°,∠ADB=90°,
∴∠DAB=180°-∠ABD-∠ADB=65°.
故选:B.
连接BD,由点D是弧AC的中点结合∠ABC的度数即可得出∠ABD的度数,根据AB是半圆的直径即可得出∠ADB=90°,再利用三角形内角和定理即可求出∠DAB的度数.
本题考查了圆周角定理以及三角形的内角和定理,根据圆周角定理结合∠ABC的度数找出∠ABD的度数是解题的关键.
6.【答案】D
【解析】
解:x1+x2=4.
故选:D.
直接利用根与系数的关系求解.
本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=-,x1x2=.
7.【答案】D
【解析】
解:∵对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,
∴-=2,
解得:b=-4,
解方程x2-4x=5,
解得x1=-1,x2=5,
故选:D.
根据对称轴方程-=2,得b=-4,解x2-4x=5即可.
本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系,难度不大.
8.【答案】C
【解析】
解:设点C的坐标为(m,),则点A的坐标为(m,),点B的坐标为(km,),
∴AC=-=,BC=km-m=(k-1)m,
∵S△ABC=AC•BC=(k-1)2=8,
∴k=5或k=-3.
∵反比例函数y=在第一象限有图象,
∴k=5.
故选:C.
设点C的坐标为(m,),则点A的坐标为(m,),点B的坐标为(km,),由此即可得出AC、BC的长度,再根据三角形的面积结合S△ABC=8,即可求出k值,取其正值即可.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积,设出点C的坐标,表示出点A、B的坐标是解题的关键.
9.【答案】x≠4
【解析】
解:由题意得,x-4≠0,
解得,x≠4,
故答案为:x≠4.
根据分式分母不为0列出不等式,解不等式即可.
本题考查的是函数自变量的取值范围,掌握分式分母不为0是解题的关键.
10.【答案】a(2x+3y)(2x-3y)
【解析】
解:原式=a(4x2-9y2)=a(2x+3y)(2x-3y),
故答案为:a(2x+3y)(2x-3y)
原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
11.【答案】乙
【解析】
解:∵s甲2=3,s乙2=2.5,
∴s甲2>s乙2,
∴则射击成绩较稳定的是乙,
故答案为:乙.
根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定,比较出甲和乙的方差大小即可.
本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
12.【答案】50°
【解析】
解:∵AB∥CD,∠2=40°,
∴∠EDF=∠2=40°,
∵FE⊥DB,
∴∠FED=90°,
∠1=180°-∠FED-∠EDF=180°-90°-40°=50°,
故答案为:50°.
根据平行线的性质求出∠EDF=∠2=40°,根据垂直求出∠FED=90°,根据三角形内角和定理求出即可.
本题考查了三角形内角和定理,垂直定义,平行线的性质等知识点,能根据平行线的性质求出∠EDF的度数是解此题的关键.
13.【答案】24
【解析】
解:设扇形的半径是r,则=20π
解得:R=24.
故答案为:24.
根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解.
本题主要考查了扇形的面积和弧长,正确理解公式是解题的关键.
14.【答案】125
【解析】
解:由作法得OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-(180°-∠A)
=90°+∠A,
而∠A=70°,
∴∠BOC=90°+×70°=125°.
故答案为125.
利用基本作图得到OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,根据三角形内角和得到∠BOC=90°+∠A,然后把∠A=70°代入计算即可.
本题考查了作图-基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).
15.【答案】90°
【解析】
解:∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置,
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角,
∴旋转的角度为90°.
故答案为:90°.
根据旋转的性质,对应边的夹角∠BOD即为旋转角.
本题考查了旋转的性质,熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键.
16.【答案】9
【解析】
解:过点A作AM⊥BC于点M,交CD于点N,
∴∠AMB=∠AMC=90°,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,AM=BM=CM,∠BAM=∠CAM=45°,
设∠BAE=α,则∠EAM=45°-α,∠AEC=∠B+∠BAE=45°+α,
∵AE⊥CD于点F,
∴∠AFD=∠AFC=∠EFC=90°,
∴∠ACF=90°-∠CAF=∠BAE=α,
∴∠ECF=∠ACB-∠ACF=45°-α=∠EAM,
∵GH⊥BC于H,
∴∠CHG=∠CHK=90°,
∴∠CGH=90°-∠ECF=90°-(45°-α)=45°+α,∠K+∠KCH=90°,
∵∠K+2∠BAE=90°,
∴∠KCH=2∠BAE=2α,
∴∠KCG=∠KCH+∠ECF=2α+(45°-α)=45°+α,
∴∠CGH=∠KCG,
∴KG=KC,
∵HG:HK=2:3,设HG=2a,HK=3a,
∴KC=KG=5a,
∴Rt△CHK中,CH=,
∴Rt△CHG中,tan∠ECF=,
∴Rt△CMN中,tan∠ECF=,
∴MN=CM=AM=AN,
∵∠ECF=∠EAM=45°-α,
∴Rt△ANF中,tan∠EAM=,
设FN=b,则AF=2b,
∴MN=AN=,
∴AM=CM=2AN=b,
∴Rt△CMN中,CN=,
∴CF=FN+CN=6b,
∴Rt△ACF中,tan∠ACF=,
∵∠ACF=∠DAF=α,
∴Rt△ADF中,tan∠DAF=,
∴DF=AF=,
∵AD2=AF2+DF2,AD=10,
∴102=(2a)2+(b)2,
解得:b1=,b2=-(舍去),
∴CF=6×,
故答案为:9.
作高线AM,根据等腰直角三角形和三线合一得:∠BAM=∠CAM=45°,设∠BAE=α,表示各角的度数,证明KG=KC,由HG:HK=2:3,设HG=2a,HK=3a计算KC、KG和CH的长,根据等角三角函数得tan∠EAM=,设FN=b,则AF=2b,由勾股定理列方程得:AD2=AF2+DF2,得102=(2a)2+(b)2,解出b的值可得结论.
本题考查了解直角三角形,勾股定理,直角三角形斜边中线定理,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会利用参数表示角的度数和线段的长,构造方程解决问题.
17.【答案】解:解不等式
解不等式3+4(x-1)>-9,得:x>-2,
将解集表示在数轴上如下:
则不等式组的解集为-2<x≤1.
【解析】
分别求出不等式组中两不等式的解集,表示在数轴上找出解集的公共部分确定出不等式组的解集即可.
此题考查了解一元一次不等式组,以及在数轴上表示不等式的解集,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.【答案】(1)证明:∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC,
∴BC=CE,AC⊥CE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴AD=CE,AD∥CE,
∴四边形ACED是平行四边形,
∵AC⊥CE,
∴四边形ACED是矩形.
(2)解:方法一、如图1所示,过点A作AF⊥BD于点F,
∵BE=2BC=2×3=6,DE=AC=4,
∴在Rt△BDE中,
BD=
∵S△BDA=
∴AF=
∵Rt△ABC中,AB=
∴Rt△ABF中,
sin∠ABF=sin∠ABD=
方法二、如图2所示,过点O作OF⊥AB于点F,
同理可得,OB=
∵S△AOB=
∴OF=
∵在Rt△BOF中,
sin∠FBO=
∴sin∠ABD=
【解析】
(1)根据▱ABCD中,AC⊥BC,而△ABC≌△AEC,不难证明;
(2)依据已知条件,在△ABD或△AOC作垂线AF或OF,求出相应边的长度,即可求出∠ABD的正弦值.
本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质,矩形的判定和性质,平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度,关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin∠ABD.
19.【答案】解:原式=2×
=
=1.
【解析】
直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案.
此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
20.【答案】解:原式=
=
当m=1时,原式=
【解析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把m的值代入进行计算即可.
本题考查的是分式的混合运算,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
21.【答案】126
【解析】
解:(1)C等级所占的圆心角为360°×(1-10%-23%-32%)=126°,
故答案为:126;
(2)∵本次调查的总人数为20÷10%=200(人),
∴C等级的人数为:200-(20+46+64)=70(人),
补全统计图如下:
(3)1000×=350(人),
答:估计“比较喜欢”的学生人数为350人.
(1)用360°乘以C等级百分比可得;
(2)根据A等级人数及其百分比求得总人数,由各等级人数之和等于总人数求得C等级人数即可补全统计图;
(3)用总人数1000乘以样本中C等级所占百分比可得.
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
22.【答案】(3,1)
【解析】
解:(1)如图,△A1B1C1为所作;
(2)点P的坐标为(3,1),
PA1==,即⊙P的半径为,
故答案为:(3,1)、.
(1)延长BO到B1,使B1O=2BO,则点B1为点B的对应点,同样方法作出点A和C的对应点A1、C1,则△A1B1C1满足条件;
(2)利用网格特点,作A1C1和C1B1的垂值平分线得到△A1B1C1外接圆的圆心P,然后写出P点坐标和计算PA1.
本题考查了作图-位似变换:①确定位似中心;②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;③根据位似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;④顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.也考查了三角形的外心.
23.【答案】解:(1)∵甲、乙、丙三位同学抢2张凳子,没有抢到凳子的同学有3种等可能结果,
∴甲抢不到座位的概率是
(2)画树状图如下:
由树状图知共有6种等可能结果,其中甲坐A凳、丙坐B凳的只有1种结果,
∴甲坐A凳、丙坐B凳的概率为
【解析】
(1)由甲、乙、丙三位同学抢2张凳子,没有抢到凳子的同学有3种等可能结果,利用概率公式计算可得;
(2)画树状图得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再利用概率公式计算可得.
本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.
24.【答案】解:(1)由题意可知:x+y=500,
w=4x+6y=4x+6(500-x)=-2x+3000,
∵k=-2<0,
∴y随x的增大而减小,
∵甲旅行社最多只能接待300人,
∴当x=300时,w最小=-2×300+3000=2400(元);
(2)当y<250时,x+y=500,y=500-x<250,得x>250,
w=4×0.8x+6×0.7y=3.2x+4.2(500-x)=-x+2100,
∵k=-1<0,
∴当x越大时,w越小,
∴当x=300时,w最小=-300+2100=1800(元)
当y≥250时,x+y=500,y=500-x≥250,得x≤250,
w=4×0.8x+6×0.5y=3.2x+3(500-x)=0.2x+1500,
∵k=0.2>0,
∴当x越小时,w越小,
因为乙旅行社最多只能接待300人,所以当x=200时,
w最小=0.2×200+1500=1540(元)
∵1800>1540
∴甲旅行社安排200人,乙旅行社安排300人,所需出行费用最低,最低为1540元.
【解析】
(1)根据题意得,w=4x+6y=4x+6(500-x)=-2x+3000,利用一次函数的性质:k=-2<0,y随x的增大而减小,再根据甲旅行社最多只能接待300人,所以当x=300时,w最小=-2×300+3000=2400(元);
(2)当y<250时,x+y=500,y=500-x<250,得x>250,w=4×0.8x+6×0.7y=3.2x+4.2(500-x)=-x+2100;当y≥250时,x+y=500,y=500-x≥250,得x≤250,w=4×0.8x+6×0.5y=3.2x+3(500-x)=0.2x+1500,利用一次函数的性质,即可解答.
本题考查了一次函数的性质,解决本题的关键是根据题意列出函数解析式,在(2)中要注意分类讨论.
25.【答案】证明:(1)连接OD,如图1,
∵OB=OD,
∴△ODB是等腰三角形,
∠OBD=∠ODB①,
在△ABC中,∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB②,
由①②得:∠ODB=∠OBD=∠ACB,
∴OD∥AC,
∵DH⊥AC,
∴DH⊥OD,
∴DH是圆O的切线;
(2)如图1,在⊙O中,∵∠E=∠B,
∴由(1)可知:∠E=∠B=∠C,
∴△EDC是等腰三角形,
∵
∵AE∥OD,
∴△AEF∽△ODF,
∴
设OD=3x,AE=2x,
∵AO=BO,OD∥AC,
∴BD=CD,
∴AC=2OD=6x,
∴EC=AE+AC=2x+6x=8x,
∵ED=DC,DH⊥EC,
∴EH=CH=4x,
∴AH=EH-AE=4x-2x=2x,
∴AE=AH,
∴A是EH的中点;
(3)如图1,设⊙O的半径为r,即OD=OB=r,
∵EF=EA,
∴∠EFA=∠EAF,
∵OD∥EC,
∴∠FOD=∠EAF,
则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD,
∴DF=OD=r,
∴DE=DF+EF=r+1,
∴BD=CD=DE=r+1,
在⊙O中,∵∠BDE=∠EAB,
∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,
∴BF=BD,△BDF是等腰三角形,
∴BF=BD=r+1,
∴AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=r-1,
∵∠BFD=∠EFA,∠B=∠E,
∴△BFD∽△EFA,
∴
∴
解得:r1=
综上所述,⊙O的半径为
【解析】
(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明:∠ODB=∠OBD=∠ACB,则DH⊥OD,DH是圆O的切线;
(2)如图2,先证明∠E=∠B=∠C,得△EDC是等腰三角形,证明△AEF∽△ODF,则==,设OD=3x,AE=2x,可得EC=8x,根据等腰三角形三线合一得:EH=CH=4x,从而得结论;
(3)如图2,设⊙O的半径为r,即OD=OB=r,证明DF=OD=r,则DE=DF+EF=r+1,BD=CD=DE=r+1,证明△BFD∽△EFA,列比例式为:,则列方程可求出r的值.
本题是圆的综合题,考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理,第三问设圆的半径为r,根据等边对等角表示其它边长,利用比例列方程解决问题.
26.【答案】45
【解析】
解:(1)如图①,连接CD,
∵AC2=12+32=10,CD2=12+22=5,AD2=12+22=5,
∴CD2+AD2=AC2,且CD=AD,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴∠CAD=45°,即α+β=45°,
故答案为:45.
(2)构造如图②所示Rt△ABC,AC=3,CB=4,AB=5,
设∠ABC=2α,
在Rt△ABC中,∠C=90°,
tan2α=tan∠ABC=,
延长CN到D,使BD=AB,
∵AB=BD=5,
∴∠BAD=∠D,
∴∠ABC=2∠D,
∴∠D=α,
在Rt△ADC中,∠C=90°,
∴tanα=tan∠D===;
(3)如图③,
过点C作CE⊥BD于E,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO=AC,BO=DO=BD,AC=BD,
∴OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=α,∠COB=2α,
在Rt△OCE中,∠ABC=90°,
则sin2α==,
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,
则sinα=,cosα=,
∵OC=OB,
∴∠CBE=∠ACB,
∵∠CEB=∠ABC=90°,
∴△CEB∽△ABC,
∴=,
∴CE=,
∴==2•,即sin2α=2sinα•cosα.
(1)连接CD,利用勾股定理逆定理证明△ACD是等腰直角三角形即可得;
(2)构造如图②所示Rt△ABC,AC=3,CB=4,AB=5,延长CN到D,使BD=AB,据此可得tan2α=tan∠ABC=,tanα=tan∠D=;
(3)作CE⊥BD于E,利用矩形的性质知∠OAB=∠OBA=α,∠COB=2α,由三角函数定义知sin2α==,sinα=,cosα=,证△CEB∽△ABC得=,即CE=,据此可知==2•,从而得出答案.
本题是四边形的综合问题,解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、三角函数的定义、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点.
27.【答案】解:(1)把点B(3,0)代入y=x2+bx-3,得32+3b-3=0,
解得b=-2,
则该二次函数的解析式为:y=x2-2x-3;
(2)①∠DMT的度数是定值.理由如下:
如图1,连接AD.
∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4.
∴抛物线的对称轴是直线x=1.
又∵点D的纵坐标为2
∴D(1,2
由y=x2-2x-3得到:y=(x-3)(x+1),
∴A(-1,0),B(3,0).
在Rt△AED中,tan∠DAE=
∴∠DAE=60°.
∴∠DMT=2∠DAE=120°.
∴在点T的运动过程中,∠DMT的度数是定值;
②如图2,∵MT=
∴MD=
∵△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上,
∴点M是线段AD的中点时,此时AD为⊙M的直径时,MD=
∵A(-1,0),D(1,2
∴点M的坐标是(0,
(3)如图3,作MH⊥x于点H,则AH=HT=
又HT=a,
∴H(a-1,0),T(2a-1,0).
∵OH≤x≤OT,又动点T在射线EB上运动,
∴0≤a-1≤x≤2a-1.
∴0≤a-1≤2a-1.
∴a≥1,
∴2a-1≥1.
(i)当
当x=a-1时,y最大值=(a-1)2-2(a-1)-3=a2-4a;
当x=1时,y最小值=-4.
(ii)当
当x=2a-1时,y最大值=(2a-1)2-2(2a-1)-3=4a2-8a.
当x=1时,y最小值=-4.
(iii)当a-1>1,即a>2时,
当x=2a-1时,y最大值=(2a-1)2-2(2a-1)-3=4a2-8a.
当x=a-1时,y最小值=(a-1)2-2(a-1)-3=a2-4a.
【解析】
(1)把点B的坐标代入抛物线解析式求得系数b的值即可;
(2)①如图1,连接AD.构造Rt△AED,由锐角三角函数的定义知,tan∠DAE=.即∠DAE=60°,由圆周角定理推知∠DMT=2∠DAE=120°;
②如图2,由已知条件MT=AD,MT=MD,推知MD=AD,根据△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上,得到:点M是线段AD的中点时,此时AD为⊙M的直径时,MD=AD.根据点A、D的坐标求得点M的坐标即可;
(3)如图3,作MH⊥x于点H,则AH=HT=AT.易得H(a-1,0),T(2a-1,0).由限制性条件OH≤x≤OT、动点T在射线EB上运动可以得到:0≤a-1≤x≤2a-1.
需要分类讨论:(i)当,即1,根据抛物线的增减性求得y的极值.
(ii)当,即<a≤2时,根据抛物线的增减性求得y的极值.
(iii)当a-1>1,即a>2时,根据抛物线的增减性求得y的极值.
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关
中学自主招生数学试卷
一、选择题(本大题共8小题,共24.0分)
28. (-
A.
29. 下列运算结果正确的是( )
A.
30. 国家主席习近平在2018年新年贺词中说道:“安得广厦千万间,大庇天下寒士俱欢颜!2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家.”其中3400000用科学记数法表示为( )
A.
31. 如图几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
32. 如图,AB是半圆的直径,点D是弧AC的中点,∠ABC=50°,则∠DAB等于( )
A.
B.
C.
D.
33. 已知x1,x2是x2-4x+1=0的两个根,则x1+x2是( )
A.
34. 若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为( )
A.
C.
35. 如图,△ABC三个顶点分别在反比例函数y=
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题(本大题共8小题,共24.0分)
36. 函数y=
37. 把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是______.
38. 甲、乙两人进行射击比赛,每人10次射击的平均成绩都是8.5环,方差分别是s甲2=3,s乙2=2.5,则射击成绩较稳定的是______.
39. 如图,AB∥CD,FE⊥DB,垂足为点E,∠2=40°,则∠1的度数是______.
40. 已知扇形的圆心角为150°,它所对应的弧长20πcm,则此扇形的半径是______cm.
41. 如图,已知△ABC中,∠A=70°,根据作图痕迹推断∠BOC的度数为______°.
42. 如图,点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上,若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置,则旋转角为______.
43. 如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是AB上一点,连接CD,过点A作AE⊥CD于F交BC于E,G在是CF上一点,过点G作GH⊥BC于H,延长GH到K连接KC,使∠K+2∠BAE=90°,若HG:HK=2:3,AD=10,则线段CF的长度为______.
三、计算题(本大题共2小题,共14.0分)
44. 解不等式组
45. 如图,在▱ABCD中,AC与BD交于点O,AC⊥BC于点C,将△ABC沿AC翻折得到△AEC,连接DE.
(1)求证:四边形ACED是矩形;
(2)若AC=4,BC=3,求sin∠ABD的值.
四、解答题(本大题共9小题,共88.0分)
46. 2cos30°+(π-1)0-
47. 先化简,再求代数式的值:
48. 某学校以随机抽样的方式开展了“中学生喜欢数学的程度”的问卷调查,调查的结果分为A(不喜欢)、B(一般)、C(比较喜欢)、D(非常喜欢)四个等级,图1、图2是根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图.
(1)C等级所占的圆心角为______°;
(2)请直接在图2中补全条形统计图;
(3)若该校有学生1000人,请根据调查结果,估计“比较喜欢”的学生人数为多少人.
49. 如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的△ABC就是格点三角形,建立如图所示的平面直角坐标系,点C的坐标为(0,-1).
(1)在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大,使放大前后的位似比为1:2,画出△A1B1C1(△ABC与△A1B1C1在位似中心O点的两侧,A,B,C的对应点分别是A1,B1,C1).
(2)利用方格纸标出△A1B1C1外接圆的圆心P,P点坐标是______,⊙P的半径=______.(保留根号)
50. 甲、乙、丙三位同学玩抢座位游戏,在老师的指令下围绕A、B两张凳子转圈(每张仅可坐1人),当老师喊停时即可抢座位.
(1)甲抢不到座位的概率是多少?
(2)用树状图或列表法表示出所有抢到座位的结果,并求出恰好甲坐A凳、丙坐B凳的概率.
51. “五一”假期,某校团委组织500团员前往烈士陵园,开展“缅怀革命先烈,立志为国成才”的活动,由甲、乙两家旅行社来承担此次活动的出行事宜.由于接待能力受限,两家旅行社每家最多只能接待300人,甲旅行社的费用是每人4元,乙旅行社的费用是每人6元,如果设甲旅行社安排x人,乙旅行社安排y人,所学费用为w元,则:
(1)试求w与x的函数关系,并求当x为何值时出行费用w最低?
(2)经协商,两家旅行社均同意对写生施行优惠政策,其优惠政策如表:
人数 | 甲旅行社 | 乙旅行社 |
少于250人 | 一律八折优惠 | 七折优惠 |
不少于250人 | 五折优惠 | |
如何安排人数,可使出行费用最低?
52. 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F.
(1)求证:DH是圆O的切线;
(2)若
(3)若EA=EF=1,求圆O的半径.
53. 我们知道,锐角三角函数可以揭示三角形的边与角之间的关系.为了解决有关锐角三角函数的问题,我们往往需要构造直角三角形.例如,已知tanα=
(1)利用图①可得α+β=______°;
(2)若tan2α=
(3)在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,设∠CAB=α(0°<α<45°),请利用图③探究sin2α、cosα和sinα的数量关系.
54. 如图,二次函数y=x2+bx-3的图象与x轴分别相交于A、B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴的交点为C,动点T在射线AB上运动,在抛物线的对称轴l上有一定点D,其纵坐标为2
(1)求二次函数的表达式;
(2)在点T的运动过程中,
①∠DMT的度数是否为定值?若是,请求出该定值:若不是,请说明理由;
②若MT=
(3)当动点T在射线EB上运动时,过点M作MH⊥x轴于点H,设HT=a,当OH≤x≤OT时,求y的最大值与最小值(用含a的式子表示).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解:(-)2=,
故选:A.
根据有理数的乘方的定义解答.
本题考查了有理数的乘方,主要考查学生的计算能力和辨析能力,题目比较好.
2.【答案】D
【解析】
解:∵a6÷a3=a3,
∴选项A不符合题意;
∵(a2)3=a6,
∴选项B不符合题意;
∵(ab)2=a2b2,
∴选项C不符合题意;
∵a2•a3=a5,
∴选项D符合题意.
故选:D.
根据同底数幂的除法的运算方法,同底数幂的乘法的运算方法,以及幂的乘方与积的乘方的运算方法,逐项判断即可.
此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法,同底数幂的乘法的运算方法,以及幂的乘方与积的乘方的运算方法,要熟练掌握.
3.【答案】B
【解析】
解:3400000用科学记数法表示为3.4×106,
故选:B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.【答案】D
【解析】
解:从左边看去,左边是两个正方形,右边是一个正方形.
故选:D.
细心观察图中几何体中正方体摆放的位置,根据左视图是从左面看到的图形判定则可.
本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图,关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力.
5.【答案】B
【解析】
解:连接BD,如图所示.
∵点D是弧AC的中点,
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠ABC=50°,AB是半圆的直径,
∴∠ABD=∠ABC=25°,∠ADB=90°,
∴∠DAB=180°-∠ABD-∠ADB=65°.
故选:B.
连接BD,由点D是弧AC的中点结合∠ABC的度数即可得出∠ABD的度数,根据AB是半圆的直径即可得出∠ADB=90°,再利用三角形内角和定理即可求出∠DAB的度数.
本题考查了圆周角定理以及三角形的内角和定理,根据圆周角定理结合∠ABC的度数找出∠ABD的度数是解题的关键.
6.【答案】D
【解析】
解:x1+x2=4.
故选:D.
直接利用根与系数的关系求解.
本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=-,x1x2=.
7.【答案】D
【解析】
解:∵对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,
∴-=2,
解得:b=-4,
解方程x2-4x=5,
解得x1=-1,x2=5,
故选:D.
根据对称轴方程-=2,得b=-4,解x2-4x=5即可.
本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系,难度不大.
8.【答案】C
【解析】
解:设点C的坐标为(m,),则点A的坐标为(m,),点B的坐标为(km,),
∴AC=-=,BC=km-m=(k-1)m,
∵S△ABC=AC•BC=(k-1)2=8,
∴k=5或k=-3.
∵反比例函数y=在第一象限有图象,
∴k=5.
故选:C.
设点C的坐标为(m,),则点A的坐标为(m,),点B的坐标为(km,),由此即可得出AC、BC的长度,再根据三角形的面积结合S△ABC=8,即可求出k值,取其正值即可.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积,设出点C的坐标,表示出点A、B的坐标是解题的关键.
9.【答案】x≠4
【解析】
解:由题意得,x-4≠0,
解得,x≠4,
故答案为:x≠4.
根据分式分母不为0列出不等式,解不等式即可.
本题考查的是函数自变量的取值范围,掌握分式分母不为0是解题的关键.
10.【答案】a(2x+3y)(2x-3y)
【解析】
解:原式=a(4x2-9y2)=a(2x+3y)(2x-3y),
故答案为:a(2x+3y)(2x-3y)
原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
11.【答案】乙
【解析】
解:∵s甲2=3,s乙2=2.5,
∴s甲2>s乙2,
∴则射击成绩较稳定的是乙,
故答案为:乙.
根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定,比较出甲和乙的方差大小即可.
本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
12.【答案】50°
【解析】
解:∵AB∥CD,∠2=40°,
∴∠EDF=∠2=40°,
∵FE⊥DB,
∴∠FED=90°,
∠1=180°-∠FED-∠EDF=180°-90°-40°=50°,
故答案为:50°.
根据平行线的性质求出∠EDF=∠2=40°,根据垂直求出∠FED=90°,根据三角形内角和定理求出即可.
本题考查了三角形内角和定理,垂直定义,平行线的性质等知识点,能根据平行线的性质求出∠EDF的度数是解此题的关键.
13.【答案】24
【解析】
解:设扇形的半径是r,则=20π
解得:R=24.
故答案为:24.
根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解.
本题主要考查了扇形的面积和弧长,正确理解公式是解题的关键.
14.【答案】125
【解析】
解:由作法得OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-(180°-∠A)
=90°+∠A,
而∠A=70°,
∴∠BOC=90°+×70°=125°.
故答案为125.
利用基本作图得到OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,根据三角形内角和得到∠BOC=90°+∠A,然后把∠A=70°代入计算即可.
本题考查了作图-基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).
15.【答案】90°
【解析】
解:∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置,
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角,
∴旋转的角度为90°.
故答案为:90°.
根据旋转的性质,对应边的夹角∠BOD即为旋转角.
本题考查了旋转的性质,熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键.
16.【答案】9
【解析】
解:过点A作AM⊥BC于点M,交CD于点N,
∴∠AMB=∠AMC=90°,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,AM=BM=CM,∠BAM=∠CAM=45°,
设∠BAE=α,则∠EAM=45°-α,∠AEC=∠B+∠BAE=45°+α,
∵AE⊥CD于点F,
∴∠AFD=∠AFC=∠EFC=90°,
∴∠ACF=90°-∠CAF=∠BAE=α,
∴∠ECF=∠ACB-∠ACF=45°-α=∠EAM,
∵GH⊥BC于H,
∴∠CHG=∠CHK=90°,
∴∠CGH=90°-∠ECF=90°-(45°-α)=45°+α,∠K+∠KCH=90°,
∵∠K+2∠BAE=90°,
∴∠KCH=2∠BAE=2α,
∴∠KCG=∠KCH+∠ECF=2α+(45°-α)=45°+α,
∴∠CGH=∠KCG,
∴KG=KC,
∵HG:HK=2:3,设HG=2a,HK=3a,
∴KC=KG=5a,
∴Rt△CHK中,CH=,
∴Rt△CHG中,tan∠ECF=,
∴Rt△CMN中,tan∠ECF=,
∴MN=CM=AM=AN,
∵∠ECF=∠EAM=45°-α,
∴Rt△ANF中,tan∠EAM=,
设FN=b,则AF=2b,
∴MN=AN=,
∴AM=CM=2AN=b,
∴Rt△CMN中,CN=,
∴CF=FN+CN=6b,
∴Rt△ACF中,tan∠ACF=,
∵∠ACF=∠DAF=α,
∴Rt△ADF中,tan∠DAF=,
∴DF=AF=,
∵AD2=AF2+DF2,AD=10,
∴102=(2a)2+(b)2,
解得:b1=,b2=-(舍去),
∴CF=6×,
故答案为:9.
作高线AM,根据等腰直角三角形和三线合一得:∠BAM=∠CAM=45°,设∠BAE=α,表示各角的度数,证明KG=KC,由HG:HK=2:3,设HG=2a,HK=3a计算KC、KG和CH的长,根据等角三角函数得tan∠EAM=,设FN=b,则AF=2b,由勾股定理列方程得:AD2=AF2+DF2,得102=(2a)2+(b)2,解出b的值可得结论.
本题考查了解直角三角形,勾股定理,直角三角形斜边中线定理,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会利用参数表示角的度数和线段的长,构造方程解决问题.
17.【答案】解:解不等式
解不等式3+4(x-1)>-9,得:x>-2,
将解集表示在数轴上如下:
则不等式组的解集为-2<x≤1.
【解析】
分别求出不等式组中两不等式的解集,表示在数轴上找出解集的公共部分确定出不等式组的解集即可.
此题考查了解一元一次不等式组,以及在数轴上表示不等式的解集,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.【答案】(1)证明:∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC,
∴BC=CE,AC⊥CE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴AD=CE,AD∥CE,
∴四边形ACED是平行四边形,
∵AC⊥CE,
∴四边形ACED是矩形.
(2)解:方法一、如图1所示,过点A作AF⊥BD于点F,
∵BE=2BC=2×3=6,DE=AC=4,
∴在Rt△BDE中,
BD=
∵S△BDA=
∴AF=
∵Rt△ABC中,AB=
∴Rt△ABF中,
sin∠ABF=sin∠ABD=
方法二、如图2所示,过点O作OF⊥AB于点F,
同理可得,OB=
∵S△AOB=
∴OF=
∵在Rt△BOF中,
sin∠FBO=
∴sin∠ABD=
【解析】
(1)根据▱ABCD中,AC⊥BC,而△ABC≌△AEC,不难证明;
(2)依据已知条件,在△ABD或△AOC作垂线AF或OF,求出相应边的长度,即可求出∠ABD的正弦值.
本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质,矩形的判定和性质,平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度,关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin∠ABD.
19.【答案】解:原式=2×
=
=1.
【解析】
直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案.
此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
20.【答案】解:原式=
=
当m=1时,原式=
【解析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把m的值代入进行计算即可.
本题考查的是分式的混合运算,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
21.【答案】126
【解析】
解:(1)C等级所占的圆心角为360°×(1-10%-23%-32%)=126°,
故答案为:126;
(2)∵本次调查的总人数为20÷10%=200(人),
∴C等级的人数为:200-(20+46+64)=70(人),
补全统计图如下:
(3)1000×=350(人),
答:估计“比较喜欢”的学生人数为350人.
(1)用360°乘以C等级百分比可得;
(2)根据A等级人数及其百分比求得总人数,由各等级人数之和等于总人数求得C等级人数即可补全统计图;
(3)用总人数1000乘以样本中C等级所占百分比可得.
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
22.【答案】(3,1)
【解析】
解:(1)如图,△A1B1C1为所作;
(2)点P的坐标为(3,1),
PA1==,即⊙P的半径为,
故答案为:(3,1)、.
(1)延长BO到B1,使B1O=2BO,则点B1为点B的对应点,同样方法作出点A和C的对应点A1、C1,则△A1B1C1满足条件;
(2)利用网格特点,作A1C1和C1B1的垂值平分线得到△A1B1C1外接圆的圆心P,然后写出P点坐标和计算PA1.
本题考查了作图-位似变换:①确定位似中心;②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;③根据位似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;④顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.也考查了三角形的外心.
23.【答案】解:(1)∵甲、乙、丙三位同学抢2张凳子,没有抢到凳子的同学有3种等可能结果,
∴甲抢不到座位的概率是
(2)画树状图如下:
由树状图知共有6种等可能结果,其中甲坐A凳、丙坐B凳的只有1种结果,
∴甲坐A凳、丙坐B凳的概率为
【解析】
(1)由甲、乙、丙三位同学抢2张凳子,没有抢到凳子的同学有3种等可能结果,利用概率公式计算可得;
(2)画树状图得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再利用概率公式计算可得.
本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.
24.【答案】解:(1)由题意可知:x+y=500,
w=4x+6y=4x+6(500-x)=-2x+3000,
∵k=-2<0,
∴y随x的增大而减小,
∵甲旅行社最多只能接待300人,
∴当x=300时,w最小=-2×300+3000=2400(元);
(2)当y<250时,x+y=500,y=500-x<250,得x>250,
w=4×0.8x+6×0.7y=3.2x+4.2(500-x)=-x+2100,
∵k=-1<0,
∴当x越大时,w越小,
∴当x=300时,w最小=-300+2100=1800(元)
当y≥250时,x+y=500,y=500-x≥250,得x≤250,
w=4×0.8x+6×0.5y=3.2x+3(500-x)=0.2x+1500,
∵k=0.2>0,
∴当x越小时,w越小,
因为乙旅行社最多只能接待300人,所以当x=200时,
w最小=0.2×200+1500=1540(元)
∵1800>1540
∴甲旅行社安排200人,乙旅行社安排300人,所需出行费用最低,最低为1540元.
【解析】
(1)根据题意得,w=4x+6y=4x+6(500-x)=-2x+3000,利用一次函数的性质:k=-2<0,y随x的增大而减小,再根据甲旅行社最多只能接待300人,所以当x=300时,w最小=-2×300+3000=2400(元);
(2)当y<250时,x+y=500,y=500-x<250,得x>250,w=4×0.8x+6×0.7y=3.2x+4.2(500-x)=-x+2100;当y≥250时,x+y=500,y=500-x≥250,得x≤250,w=4×0.8x+6×0.5y=3.2x+3(500-x)=0.2x+1500,利用一次函数的性质,即可解答.
本题考查了一次函数的性质,解决本题的关键是根据题意列出函数解析式,在(2)中要注意分类讨论.
25.【答案】证明:(1)连接OD,如图1,
∵OB=OD,
∴△ODB是等腰三角形,
∠OBD=∠ODB①,
在△ABC中,∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB②,
由①②得:∠ODB=∠OBD=∠ACB,
∴OD∥AC,
∵DH⊥AC,
∴DH⊥OD,
∴DH是圆O的切线;
(2)如图1,在⊙O中,∵∠E=∠B,
∴由(1)可知:∠E=∠B=∠C,
∴△EDC是等腰三角形,
∵
∵AE∥OD,
∴△AEF∽△ODF,
∴
设OD=3x,AE=2x,
∵AO=BO,OD∥AC,
∴BD=CD,
∴AC=2OD=6x,
∴EC=AE+AC=2x+6x=8x,
∵ED=DC,DH⊥EC,
∴EH=CH=4x,
∴AH=EH-AE=4x-2x=2x,
∴AE=AH,
∴A是EH的中点;
(3)如图1,设⊙O的半径为r,即OD=OB=r,
∵EF=EA,
∴∠EFA=∠EAF,
∵OD∥EC,
∴∠FOD=∠EAF,
则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD,
∴DF=OD=r,
∴DE=DF+EF=r+1,
∴BD=CD=DE=r+1,
在⊙O中,∵∠BDE=∠EAB,
∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,
∴BF=BD,△BDF是等腰三角形,
∴BF=BD=r+1,
∴AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=r-1,
∵∠BFD=∠EFA,∠B=∠E,
∴△BFD∽△EFA,
∴
∴
解得:r1=
综上所述,⊙O的半径为
【解析】
(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明:∠ODB=∠OBD=∠ACB,则DH⊥OD,DH是圆O的切线;
(2)如图2,先证明∠E=∠B=∠C,得△EDC是等腰三角形,证明△AEF∽△ODF,则==,设OD=3x,AE=2x,可得EC=8x,根据等腰三角形三线合一得:EH=CH=4x,从而得结论;
(3)如图2,设⊙O的半径为r,即OD=OB=r,证明DF=OD=r,则DE=DF+EF=r+1,BD=CD=DE=r+1,证明△BFD∽△EFA,列比例式为:,则列方程可求出r的值.
本题是圆的综合题,考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理,第三问设圆的半径为r,根据等边对等角表示其它边长,利用比例列方程解决问题.
26.【答案】45
【解析】
解:(1)如图①,连接CD,
∵AC2=12+32=10,CD2=12+22=5,AD2=12+22=5,
∴CD2+AD2=AC2,且CD=AD,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴∠CAD=45°,即α+β=45°,
故答案为:45.
(2)构造如图②所示Rt△ABC,AC=3,CB=4,AB=5,
设∠ABC=2α,
在Rt△ABC中,∠C=90°,
tan2α=tan∠ABC=,
延长CN到D,使BD=AB,
∵AB=BD=5,
∴∠BAD=∠D,
∴∠ABC=2∠D,
∴∠D=α,
在Rt△ADC中,∠C=90°,
∴tanα=tan∠D===;
(3)如图③,
过点C作CE⊥BD于E,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO=AC,BO=DO=BD,AC=BD,
∴OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=α,∠COB=2α,
在Rt△OCE中,∠ABC=90°,
则sin2α==,
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,
则sinα=,cosα=,
∵OC=OB,
∴∠CBE=∠ACB,
∵∠CEB=∠ABC=90°,
∴△CEB∽△ABC,
∴=,
∴CE=,
∴==2•,即sin2α=2sinα•cosα.
(1)连接CD,利用勾股定理逆定理证明△ACD是等腰直角三角形即可得;
(2)构造如图②所示Rt△ABC,AC=3,CB=4,AB=5,延长CN到D,使BD=AB,据此可得tan2α=tan∠ABC=,tanα=tan∠D=;
(3)作CE⊥BD于E,利用矩形的性质知∠OAB=∠OBA=α,∠COB=2α,由三角函数定义知sin2α==,sinα=,cosα=,证△CEB∽△ABC得=,即CE=,据此可知==2•,从而得出答案.
本题是四边形的综合问题,解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、三角函数的定义、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点.
27.【答案】解:(1)把点B(3,0)代入y=x2+bx-3,得32+3b-3=0,
解得b=-2,
则该二次函数的解析式为:y=x2-2x-3;
(2)①∠DMT的度数是定值.理由如下:
如图1,连接AD.
∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4.
∴抛物线的对称轴是直线x=1.
又∵点D的纵坐标为2
∴D(1,2
由y=x2-2x-3得到:y=(x-3)(x+1),
∴A(-1,0),B(3,0).
在Rt△AED中,tan∠DAE=
∴∠DAE=60°.
∴∠DMT=2∠DAE=120°.
∴在点T的运动过程中,∠DMT的度数是定值;
②如图2,∵MT=
∴MD=
∵△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上,
∴点M是线段AD的中点时,此时AD为⊙M的直径时,MD=
∵A(-1,0),D(1,2
∴点M的坐标是(0,
(3)如图3,作MH⊥x于点H,则AH=HT=
又HT=a,
∴H(a-1,0),T(2a-1,0).
∵OH≤x≤OT,又动点T在射线EB上运动,
∴0≤a-1≤x≤2a-1.
∴0≤a-1≤2a-1.
∴a≥1,
∴2a-1≥1.
(i)当
当x=a-1时,y最大值=(a-1)2-2(a-1)-3=a2-4a;
当x=1时,y最小值=-4.
(ii)当
当x=2a-1时,y最大值=(2a-1)2-2(2a-1)-3=4a2-8a.
当x=1时,y最小值=-4.
(iii)当a-1>1,即a>2时,
当x=2a-1时,y最大值=(2a-1)2-2(2a-1)-3=4a2-8a.
当x=a-1时,y最小值=(a-1)2-2(a-1)-3=a2-4a.
【解析】
(1)把点B的坐标代入抛物线解析式求得系数b的值即可;
(2)①如图1,连接AD.构造Rt△AED,由锐角三角函数的定义知,tan∠DAE=.即∠DAE=60°,由圆周角定理推知∠DMT=2∠DAE=120°;
②如图2,由已知条件MT=AD,MT=MD,推知MD=AD,根据△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上,得到:点M是线段AD的中点时,此时AD为⊙M的直径时,MD=AD.根据点A、D的坐标求得点M的坐标即可;
(3)如图3,作MH⊥x于点H,则AH=HT=AT.易得H(a-1,0),T(2a-1,0).由限制性条件OH≤x≤OT、动点T在射线EB上运动可以得到:0≤a-1≤x≤2a-1.
需要分类讨论:(i)当,即1,根据抛物线的增减性求得y的极值.
(ii)当,即<a≤2时,根据抛物线的增减性求得y的极值.
(iii)当a-1>1,即a>2时,根据抛物线的增减性求得y的极值.
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关
中学自主招生数学试卷
一、选择题(每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是正确的.)
1.(3分)﹣3的相反数是( )
A.3 B.﹣3 C.±3 D.
2.(3分)下列计算正确的是( )
A.2a+3b=5ab B.=±6
C.a2b÷2ab=a2 D.(2ab2)3=8a3b6
3.(3分)如图,图1是一个底面为正方形的直棱柱;现将图1切割成图2的几何体,则图2的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.(3分)一组数据1,2,3,3,4,5.若添加一个数据3,则下列统计量中,发生变化的是( )
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
5.(3分)如图,AB是⊙O的直径,直线PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点C,连接BC.若∠P=40°,则∠ABC的度数为( )
A.20° B.25° C.40° D.50°
6.(3分)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF分别交l1,l2,l3于点D、E、F,AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则=( )
A. B.2 C. D.
7.(3分)已知实数x、y满足:x﹣y﹣3=0和2y3+y﹣6=0.则﹣y2的值为( )
A.0 B. C.1 D.
8.(3分)如图,直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A(﹣1,0),B(4,0),则函数y=(kx+b)(mx+n)中,当y<0时x的取值范围是( )
A.x>2 B.0<x<4
C.﹣1<x<4 D.x<﹣1 或 x>4
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.)
9.(3分)“五一”小长假期间,扬州市区8家主要封闭式景区共接待游客528600人次,同比增长20.56%.用科学记数法表示528600为 .
10.(3分)若有意义,则x的取值范围是 .
11.(3分)分解因式:mx2﹣4m= .
12.(3分)若方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,则k= .
13.(3分)一个圆锥的母线长为5cm,底面半径为2cm,那么这个圆锥的侧面积为 cm2.
14.(3分)如图,点A是反比例函数y=的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B.点C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为4,则k的值是 .
15.(3分)把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置,如果∠1=30°,则∠2的度数为 .
16.(3分)如图,在4×4正方形网格中,黑色部分的图形构成一个轴对称图形,现在任选取一个白色的小正方形并涂黑,使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 .
17.(3分)如图,曲线AB是顶点为B,与y轴交于点A的抛物线y=﹣x2+4x+2的一部分,曲线BC是双曲线y=的一部分,由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程,形成一组波浪线,点P(2018,m)与Q(2025,n)均在该波浪线上,则mn= .
18.(3分)如图,⊙O的直径AB=8,C为弧AB的中点,P为弧BC上一动点,连接AP、CP,过C作CD⊥CP交AP于点D,连接BD,则BD的最小值是 .
三、解答题(本大题有10小题,共96分.)
19.(8分)(1)计算:|﹣3|﹣tan30°+20180﹣()﹣1;
(2)化简:(1+a)(1﹣a)+a(a﹣2).
20.(8分)央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣,某校为满足学生的阅读需求,欲购进一批学生喜欢的图书,学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类,根据调查结果绘制了统计图(未完成),请根据图中信息,解答下列问题:
(1)此次共调查了 名学生;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)图2中“小说类”所在扇形的圆心角为 度;
(4)若该校共有学生2000人,估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数.
21.(8分)若关于x的分式方程=1的解是正数,求m的取值范围.
22.(8分)小明在上学的路上要经过多个路口,每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯,假设在各路口遇到信号灯是相互独立的.
(1)如果有2个路口,求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
(2)如果有n个路口,则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是 .
23.(10分)如图,在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆,拉线CE和地面所成的角∠CED=60°,在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,求拉线CE的长.(结果保留根号)
24.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且ED⊥DB,FB⊥BD.
(1)求证:△AED≌△CFB;
(2)若∠A=30°,∠DEB=45°,求证:DA=DF.
25.(10分)观察下表:
我们把某一格中所有字母相加得到的多项式称为特征多项式,例如:第1格的“特征多项式”为x+4y.
回答下列问题:
(1)第4格的“特征多项式”为 ,第n格的“特征多项式”为 ;
(2)若第1格的“特征多项式”的值为2,第2格的“特征多项式”的值为﹣6.
①求x,y的值;
②在①的条件下,第n格的“特征多项式的值”随着n的变化而变化,求“特征多项式的值”的最大值及此时n值.
26.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,E为BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径为3,ED=4,延长EO交⊙O于F,连接DF,与OA交于点G,求OG的长.
27.(12分)在平面直角坐标系中,点O为原点,点A的坐标为(﹣8,0).如图1,正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上,点C在第二象限.现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG.
(1)如图2,若α=45°,OE=OA,求直线EF的函数表达式;
(2)如图3,若α为锐角,且tanα=,当EA⊥x轴时,正方形对角线EG与OF相交于点M,求线段AM的长;
(3)当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时,直线AE与直线FG相交于点P,是否存在△OEP的两边之比为:1?若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.
28.如图,已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A,B,C三点,其中C(0,3),∠BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线l与射线AC,AB分别交于点M,N.
(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴;
(2)点P为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD为等腰三角形,求出点P的坐标;
(3)证明:当直线l绕点D旋转时,+均为定值,并求出该定值.
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是正确的.)
1.【分析】根据相反数的概念解答即可.
【解答】解:﹣3的相反数是﹣(﹣3)=3.
故选:A.
2.【分析】直接利用合并同类项法则以及算术平方根、整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案.
【解答】解:A、2a+3b无法计算,故此选项错误;
B、=6,故此选项错误;
C、a2b÷2ab=a,故此选项错误;
D、(2ab2)3=8a3b6,正确.
故选:D.
3.【分析】俯视图是从物体上面看到的图形,应把所看到的所有棱都表示在所得图形中.
【解答】解:从上面看,图2的俯视图是正方形,有一条对角线.
故选:C.
4.【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可.
【解答】解:A、原来数据的平均数是3,添加数字3后平均数仍为3,故A与要求不符;
B、原来数据的众数是3,添加数字3后众数仍为3,故B与要求不符;
C、原来数据的中位数是3,添加数字3后中位数仍为3,故C与要求不符;
D、原来数据的方差==,
添加数字3后的方差==,故方差发生了变化.
故选:D.
5.【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数,然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数.
【解答】解:如图,∵AB是⊙O的直径,直线PA与⊙O相切于点A,
∴∠PAO=90°.
又∵∠P=40°,
∴∠POA=50°,
∴∠ABC=∠POA=25°.
故选:B.
6.【分析】求出AB=3,由平行线分线段成比例定理得出比例式,即可得出结果.
【解答】解:∵AH=2,HB=1,
∴AB=AH+BH=3,
∵l1∥l2∥l3,
∴==.
故选:A.
7.【分析】根据x﹣y﹣3=0和2y3+y﹣6=0,可以得到x与y的关系和y2﹣的值,从而可以求得所求式子的值.
【解答】解:∵x﹣y﹣3=0和2y3+y﹣6=0,
∴x=y+3,y2+﹣=0,
∴y2﹣=﹣
∴﹣y2
=
=1+
=1﹣(﹣)
=1+
=,
故选:D.
8.【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可.
【解答】解:∵y3=(kx+b)(mx+n),y<0,
∴(kx+b)(mx+n)<0,
∵y1=kx+b,y2=mx+n,即y1•y2<0,有以下两种情况:(1)当y1>0,y2<0时,此时,x<﹣1;
(2)当y1<0,y2>0时,此时,x>4,
故选:D.
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.)
9.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:528600=5.286×105,
故答案为:5.286×105
10.【分析】分母为零,分式无意义;分母不为零,分式有意义.
【解答】解:根据题意,得:x﹣2≠0,
解得:x≠2.
故答案是:x≠2.
11.【分析】首先提取公因式m,进而利用平方差公式分解因式即可.
【解答】解:mx2﹣4m=m(x2﹣4)
=m(x+2)(x﹣2).
故答案为:m(x+2)(x﹣2).
12.【分析】根据根判别式△=b2﹣4ac的意义得到△=0,即k2﹣4×1×9=0,然后解方程即可.
【解答】解:∵方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,
∴△=0,即k2﹣4•1•9=0,解得k=±6.
故答案为±6.
13.【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形,先计算出圆锥的底面圆的周长,然后利用扇形的面积公式求解.
【解答】解:∵圆锥的底面半径为5cm,
∴圆锥的底面圆的周长=2π•5=10π,
∴圆锥的侧面积=•10π•2=10π(cm2).
故答案为:10π.
14.【分析】连结OA,如图,利用三角形面积公式得到S△OAB=S△ABC=4,再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=4,然后去绝对值即可得到满足条件的k的值.
【解答】解:连结OA,如图,
∵AB⊥x轴,
∴OC∥AB,
∴S△OAB=S△ABC=4,
而S△OAB=|k|,
∴|k|=4,
∵k<0,
∴k=﹣8.
故答案为:﹣8.
15.【分析】根据平行线的性质可得出∠3=∠4+∠5,结合对顶角相等可得出∠3=∠1+∠2,代入∠1=30°、∠3=45°,即可求出∠2的度数.
【解答】解:给各角标上序号,如图所示.
∵∠3=∠4+∠5,∠1=∠4,∠2=∠5,
∴∠3=∠1+∠2.
又∵∠1=30°,∠3=45°,
∴∠2=15°.
故答案为:15°.
16.【分析】由在4×4正方形网格中,任选取一个白色的小正方形并涂黑,共有13种等可能的结果,使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:如图,
∵根据轴对称图形的概念,轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合,白色的小正方形有13个,而能构成一个轴对称图形的有5个情况,
∴使图中黑色部诶的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是:.
故答案为:.
17.【分析】依据题意可得,A,C之间的水平距离为6,点Q与点P的水平距离为7,A,B之间的水平距离为2,双曲线解析式为y=,依据点P'、点B离x轴的距离相同,都为6,即点P的纵坐标m=6,点Q“、点Q'离x轴的距离相同,都为4,即点Q的纵坐标n=4,即可得到mn的值.
【解答】解:由图可得,A,C之间的水平距离为6,
2018÷6=336…2,
由抛物线y=﹣x2+4x+2可得,顶点B(2,6),即A,B之间的水平距离为2,
∴点P'、点B离x轴的距离相同,都为6,即点P的纵坐标m=6,
由抛物线解析式可得AO=2,即点C的纵坐标为2,
∴C(6,2),
∴k=2×6=12,
∴双曲线解析式为y=,
2025﹣2018=7,故点Q与点P的水平距离为7,
∵点P'、Q“之间的水平距离=(2+7)﹣(2+6)=1,
∴点Q“的横坐标=2+1=3,
∴在y=中,令x=3,则y=4,
∴点Q“、点Q'离x轴的距离相同,都为4,即点Q的纵坐标n=4,
∴mn=6×4=24,
故答案为:24.
18.【分析】以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ,则∠AQC=90°,依据∠ADC=135°,可得点D的运动轨迹为以Q为圆心,AQ为半径的 ,依据△ACQ中,AQ=4,
【解答】解:如图所示,以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ,则∠AQC=90°,连接AC,BC,BQ.
∵⊙O的直径为AB,C为的中点,
∴∠APC=45°,
又∵CD⊥CP,
∴∠DCP=90°,
∴∠PDC=45°,∠ADC=135°,
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心,AQ为半径的,
又∵AB=8,C为的中点,
∴△ACB是等腰直角三角形,
∴AC=4,
∴△ACQ中,AQ=4,
∴BQ==4,
∵BD≥BQ﹣DQ,
∴BD的最小值为4﹣4.
故答案为:4﹣4.
三、解答题(本大题有10小题,共96分.)
19.【分析】(1)根据实数的混合计算解答即可;
(2)根据整式的混合计算解答即可.
【解答】解:(1)原式==﹣1.
(2)原式=1﹣a2+a2﹣2a
=1﹣2a
20.【分析】(1)根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数;
(2)根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数;
(3)根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数;
(4)利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比,从而求出喜欢社科类书籍的学生人数;
【解答】解:(1)∵喜欢文史类的人数为76人,占总人数的38%,
∴此次调查的总人数为:76÷38%=200人,
故答案为:200;
(2)∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%,
∴喜欢生活类书籍的人数为:200×15%=30人,
∴喜欢小说类书籍的人数为:200﹣24﹣76﹣30=70人,
如图所示:
(3)∵喜欢社科类书籍的人数为:24人,
∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为:×100%=12%,
∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为:100%﹣15%﹣38%﹣12%=35%,
∴小说类所在圆心角为:360°×35%=126°;
(4)由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%,
∴该校共有学生2000人,估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数:2000×12%=240人.
21.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,表示出整式方程的解,由分式方程的解为正数确定出m的范围即可.
【解答】解:去分母得:1+m=x﹣2,
解得:x=m+3,
由分式方程的解为正数,得到m+3>0,且m+3≠2,
解得:m>﹣3且m≠﹣1.
22.【分析】(1)画树状图列出所有等可能结果,从中找到到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数,根据概率公式计算可得.
(2)根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为,到第2个路口还没有遇到红灯的概率为=()2可得答案.
【解答】解:(1)画树状图如下:
由树状图知,共有9种等可能结果,其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2,
所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为;
(2)∵在第1个路口没有遇到红灯的概率为,到第2个路口还没有遇到红灯的概率为=()2,
∴到第n个路口都没有遇到红灯的概率为()n,
故答案为:()n.
23.【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H.在Rt△ACH中,可求出CH,进而CD=CH+HD=CH+AB,再在Rt△CED中,求出CE的长.
【解答】解:过点A作AH⊥CD,垂足为H,
由题意可知四边形ABDH为矩形,∠CAH=30°,
∴AB=DH=1.5,BD=AH=6,
在Rt△ACH中,tan∠CAH=,
∴CH=AH•tan∠CAH,
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×=2(米),
∵DH=1.5,
∴CD=2 +1.5,
在Rt△CDE中,
∵∠CED=60°,sin∠CED=,
∴CE==(4+)(米),
答:拉线CE的长约为(4+)米.
24.【分析】(1)由四边形ABCD为平行四边形,利用平行四边形的性质得到对边平行且相等,对角相等,再由垂直的定义得到一对直角相等,利用等式的性质得到一对角相等,利用ASA即可得证;
(2)过D作DH垂直于AB,在直角三角形ADH中,利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH,在直角三角形DEB中,利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB=2DH,易得四边形EBFD为平行四边形,利用平行四边形的对边相等得到EB=DF,等量代换即可得证.
【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,∠A=∠C,AD∥CB,AB∥CD,
∴∠ADB=∠CBD,
∵ED⊥DB,FB⊥BD,
∴∠EDB=∠FBD=90°,
∴∠ADE=∠CBF,
在△AED和△CFB中,
,
∴△AED≌△CFB(ASA);
(2)作DH⊥AB,垂足为H,
在Rt△ADH中,∠A=30°,
∴AD=2DH,
在Rt△DEB中,∠DEB=45°,
∴EB=2DH,
∵ED⊥DB,FB⊥BD.
∴DE∥BF,∵AB∥CD,
∴四边形EBFD为平行四边形,
∴FD=EB,
∴DA=DF.
25.【分析】(1)利用已知表格中x,y个数变化规律得出第2格的“特征多项式”以及第n格的“特征多项式”;
(2)①利用(1)中所求得出关于x,y的等式组成方程组求出答案;
②利用二次函数最值求法得出答案.
【解答】解:(1)由表格中数据可得:第4格的“特征多项式”为:16x+25y,
第n格的“特征多项式”为:n2x+(n+1)2y (n为正整数);
故答案为:16x+25y,n2x+(n+1)2y (n为正整数);
(2)①由题意可得:,
解得:
答:x的值为﹣6,y的值为2.
②设W=n2x+(n+1)2y
当x=﹣6,y=2时:W=﹣6n2+2(n+1)2=,
此函数开口向下,对称轴为,
∴当时,W随n的增大而减小,
又∵n为正整数
∴当n=1时,W有最大值,
W最大=﹣4×(1﹣)2+3=2,
即:第1格的特征多项式的值有最大值,最大值为2.
26.【分析】(1)首先连接OD,由BE=EC,CO=OA,得出OE∥AB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得△COE≌△DOE,即可得∠ODE=∠OCE=90°,则可证得ED为⊙O的切线;
(2)只要证明OE∥AB,推出,由此构建方程即可解决问题;
【解答】解:(1)证明:连接OD,
∵E为BC的中点,AC为直径,
∴BE=EC,CO=OA,
∴OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴∠ODE=∠OCE=90°,
∴ED⊥OD,
∴ED是圆O的切线;
(2)连接CD;
由题意EC、ED是⊙O的切线,
∴EC=ED,∵OC=OD,
∴OE⊥CD,
∵AC是直径,
∴∠CDA=90°,
∴CD⊥AB,
∴OE∥AB,
∴,
在Rt△ECO中,EO==5,
∵∠EOC=∠CAD,
∴cos∠CAD=cos∠EOC=,
∴AD=,设OG=x,
则有,
∴x=,
∴OG=.
27.【分析】(1)求出E、F两点坐标,利用待定系数法即可解决问题;
(2)如图3中,作MH⊥OA于H,MK⊥AE交AE的延长线于K.只要证明四边形AOMK是正方形,证明AE+OA=2AH即可解决问题;
(3)如图2中,设F(0,2a),则E(﹣a,a).构建一次函数利用方程组求出交点P坐标,分三种情形讨论求解即可;
【解答】解:(1)∵OE=OA=8,α=45°,
∴E(﹣4,4),F(0,8),
设直线EF的解析式为y=kx+b,则有,
解得
∴直线EF的解析式为y=x+8.
(2)如图3中,作MH⊥OA于H,MK⊥AE交AE的延长线于K.
在Rt△AEO中,tan∠AOE==,OA=8,
∴AE=4,
∵四边形EOGF是正方形,
∴∠EMO=90°,
∵∠EAO=∠EMO=90°,
∴E、A、O、M四点共圆,
∴∠EAM=∠EOM=45°,
∴∠MAK=∠MAH=45°,∵MK⊥AE,MH⊥OA,
∴MK=MH,四边形KAOM是正方形,
∵EM=OM,
∴△MKE≌△MHO,
∴EK=OH,
∴AK+AH=2AH=AE+EK+OA﹣OH=12,
∴AH=6,
∴AM=AH=6.
(3)如图2中,设F(0,2a),则E(﹣a,a).
∵A(﹣8,0),E(﹣a,a),
∴直线AP的解析式为y=x+,直线FG的解析式为y=﹣x+2a,
由,解得,
∴P(,).
①当PO=OE时,∴PO2=2OE2,
则有:+=4a2,
解得a=4或﹣4(舍弃)或0(舍弃),
此时P(0,8).
②当PO=PE时,则有:+=2[(+a)2+(﹣a)2],
解得:a=4或12,
此时P(0,8)或(﹣24,48),
③当PE=EO时,[(+a)2+(﹣a)2]=4a2,
解得a=8或0(舍弃),
∴P(﹣8,24)
综上所述,满足条件的点P的坐标为(0,8),(﹣8,24),(﹣24,48).
28.【分析】(1)由点C的坐标为(0,3),可知﹣9a=3,故此可求得a的值,然后令y=0得到关于x的方程,解关于x的方程可得到点A和点B的坐标,最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴;
(2)利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°,依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°,然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1,则可得到点D的坐标.设点P的坐标为(,a).依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长,然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可;
(3)设直线MN的解析式为y=kx+1,接下来求得点M和点N的横坐标,于是可得到AN的长,然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长,最后将AM和AN的长代入化简即可.
【解答】解:(1)∵C(0,3).
∴﹣9a=3,解得:a=﹣.
令y=0得:ax2﹣2 ax﹣9a=0,
∵a≠0,
∴x2﹣2 x﹣9=0,解得:x=﹣或x=3.
∴点A的坐标为(﹣,0),B(3,0).
∴抛物线的对称轴为x=.
(2)∵OA=,OC=3,
∴tan∠CAO=,
∴∠CAO=60°.
∵AE为∠BAC的平分线,
∴∠DAO=30°.
∴DO=AO=1.
∴点D的坐标为(0,1)
设点P的坐标为(,a).
依据两点间的距离公式可知:AD2=4,AP2=12+a2,DP2=3+(a﹣1)2.
当AD=PA时,4=12+a2,方程无解.
当AD=DP时,4=3+(a﹣1)2,解得a=0或a=2(舍去),
∴点P的坐标为(,0).
当AP=DP时,12+a2=3+(a﹣1)2,解得a=﹣4.
∴点P的坐标为(,﹣4).
综上所述,点P的坐标为(,0)或(,﹣4).
(3)设直线AC的解析式为y=mx+3,将点A的坐标代入得:﹣m+3=0,解得:m=,
∴直线AC的解析式为y=x+3.
设直线MN的解析式为y=kx+1.
把y=0代入y=kx+1得:kx+1=0,解得:x=﹣,
∴点N的坐标为(﹣,0).
∴AN=﹣+=.
将y=x+3与y=kx+1联立解得:x=.
∴点M的横坐标为.
过点M作MG⊥x轴,垂足为G.则AG=+.
∵∠MAG=60°,∠AGM=90°,
∴AM=2AG=+2=.
∴+=+=+===.
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求)
1.﹣4的相反数是( )
A. B. ﹣ C. 4 D. ﹣4
2.绵阳科技城是四川省第二大城市,2012年国民生产总值约为14000000万元,用科学记数法表示应为( )万元.
A. 14×107 B. 1.4×107 C. 1.4×106 D. 0.14×107
3.一次数学测试后,随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下:91,78,98,85,98.关于这组数据说法错误的是( )
A. 平均数是91 B. 极差是20 C. 中位数是91 D. 众数是98
4.在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色外,没有任何其他区别,现从这个盒子中随机摸出一个球,摸到黄球的概率为( )
A. B. C. D. 1
5.已知x是实数,且(x﹣2)(x﹣3)=0,则x2+x+1的值为( )
A. 13 B. 7 C. 3 D. 13或7或3
6.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则sinC等于( )
A. B. C. D.
7.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )
A. 点(0,3) B. 点(2,3) C. 点(6,1) D. 点(5,1)
8.将抛物线y=3x2先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是( )
A. y=3(x+2)2+1 B. y=3(x+2)2﹣1 C. y=3(x﹣2)2+1 D. y=3(x﹣2)2﹣1
9.下列各图是在同一直角坐标系内,二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,若⊙O的半径为,AC=2,则sinB的值是( )
A. B. C. D.
11.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4.将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后,得到矩形FGCE(点A、B、D的对应点分别为点F、G、E).动点P从点B开始沿BC﹣CE运动到点E后停止,动点Q从点E开始沿EF﹣FG运动到点G后停止,这两点的运动速度均为每秒1个单位.若点P和点Q同时开始运动,运动时间为x(秒),△APQ的面积为y,则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
12.如图,在△ABC中,AB=AC=5,CB=8,分别以AB、AC为直径作半圆,则图中阴影部分面积是( )
A. B. 25π﹣24 C. 25π﹣12 D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.)
13.函数中自变量x的取值范围是 .
14.分解因式:a3﹣4a2+4a= .
15.已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根,且两圆的圆心距O1O2=t+2,若这两个圆相交,则t的取值范围为 .
16.在平面直角坐标系xOy中,有一只电子青蛙在点A(1,0)处.第一次,它从点A先向右跳跃1个单位,再向上跳跃1个单位到达点A1;第二次,它从点A1先向左跳跃2个单位,再向下跳跃2个单位到达点A2;第三次,它从点A2先向右跳跃3个单位,再向上跳跃3个单位到达点A3;第四次,它从点A3先向左跳跃4个单位,再向下跳跃4个单位到达点A4;…依此规律进行,点A7的坐标为 ;若点An的坐标为(2014,2013),则n= .
17.如图,PA与⊙O相切于点A,PO的延长线与⊙O交于点C,若⊙O的半径为3,PA=4.弦AC的长为 .
18.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB边上一点,∠BCE=15°,且AE=AD,连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论:
①△ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③;④,
其中结论正确的是 .
三、解答题(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1)计算:+(﹣1)0﹣2sin60°+3﹣1.
(2)先化简,后计算:(÷)•,其中a=﹣3.
20.近年来,北京郊区依托丰富的自然和人文资源,大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目,京郊旅游业迅速崛起,农民的收入逐步提高.以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分.
北京市2009﹣2012年农业观光园经营年收入增长率统计表
年份 年增长率(精确到1%)
2009年 12%
2010年
2011年 22%
2012年 24%
请根据以上信息解答下列问题:
(1)北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是 ;(结果精确到1%)
(2)请补全条形统计图并在图中标明相应数据;(结果精确到0.1)
(3)如果从2012年以后,北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长,请你估算,若经营年收入要不低于2008年的4倍,至少要到 年.(填写年份)
21.如图,已知等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,圆心O在△ABC内部,且⊙O经过B、C两点,若BC=8,AO=1,求⊙O的半径.
22.某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2300元,销售单价定为3000元.在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2500元.
(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2500元?
(2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获得的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作FE⊥AB于点E,交AC的延长线于点F.
(1)求证:EF与⊙O相切;
(2)若AE=6,sin∠CFD=,求EB的长.
24.如图,AB为⊙O的直径,AB=4,P为AB上一点,过点P作⊙O的弦CD,设∠BCD=m∠ACD.
(1)已知,求m的值,及∠BCD、∠ACD的度数各是多少?
(2)在(1)的条件下,且,求弦CD的长;
(3)当时,是否存在正实数m,使弦CD最短?如果存在,求出m的值,如果不存在,说明理由.
25.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且与直线l的另一个交点为C(n,).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<n).DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请求出点A1的横坐标.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求)
1.﹣4的相反数是( )
A. B. ﹣ C. 4 D. ﹣4
考点: 相反数.
专题: 常规题型.
分析: 根据相反数的定义作答即可.
解答: 解:﹣4的相反数是4.
故选C.
点评: 本题考查了相反数的知识,注意互为相反数的特点:互为相反数的两个数的和为0.
2.绵阳科技城是四川省第二大城市,2012年国民生产总值约为14000000万元,用科学记数法表示应为( )万元.
A. 14×107 B. 1.4×107 C. 1.4×106 D. 0.14×107
考点: 科学记数法—表示较大的数.
分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答: 解:将14000000万用科学记数法表示为1.4×107万元,
故选B.
点评: 本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.一次数学测试后,随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下:91,78,98,85,98.关于这组数据说法错误的是( )
A. 平均数是91 B. 极差是20 C. 中位数是91 D. 众数是98
考点: 极差;算术平均数;中位数;众数.
分析: 根据平均数、中位数、众数和极差的定义求解.
解答: 解:根据定义可得,极差是20,众数是98,中位数是91,平均数是90.故A错误.
故选A.
点评: 本题重点考查平均数,中位数,众数及极差的概念及求法.
4.在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色外,没有任何其他区别,现从这个盒子中随机摸出一个球,摸到黄球的概率为( )
A. B. C. D. 1
考点: 概率公式.
专题: 计算题.
分析: 根据概率的求法,找准两点:
①全部情况的总数为6;
②符合条件的情况数目为2;二者的比值就是其发生的概率.
解答: 解:∵黄球共有2个,球数共有3+2+1=6个,
∴P(黄球)==,
故选B.
点评: 本题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
5.已知x是实数,且(x﹣2)(x﹣3)=0,则x2+x+1的值为( )
A. 13 B. 7 C. 3 D. 13或7或3
考点: 二次根式有意义的条件.
分析: 根据二次根式的性质求出x≤1,求出x的值,代入求出即可.
解答: 解:∵要使(x﹣2)(x﹣3)有意义,
∴1﹣x≥0,
∴x≤1,
∵x是实数,且(x﹣2)(x﹣3)=0,
∴x﹣2=0,x﹣3=0,=0,
∴x=2或x=3或x=1,
∴x=1,
∴x2+x+1=12+1+1=3,
故选C.
点评: 本题考查了二次根式的性质和求代数式的值的应用,关键是求出x的值.
6.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则sinC等于( )
A. B. C. D.
考点: 三角形中位线定理;勾股定理的逆定理.
分析: 如图,连接BD,由三角形中位线定理得到BD的长度,然后利用勾股定理的逆定理推知△BCD为直角三角形,最后由锐角三角函数的定义进行解答.
解答: 解:连接BD,
∵E、F分别是AB、AD的中点,
∴EF∥BD,EF=BD,
∵EF=2,
∴BD=4,
又∵BC=5,CD=3,
∴BD2+CD2=BC2,
∴△BDC是直角三角形,
∴sinC==,
故选:C.
点评: 此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理,根据已知得出△BDC是直角三角形是解题关键.
7.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )
A. 点(0,3) B. 点(2,3) C. 点(6,1) D. 点(5,1)
考点: 切线的判定;坐标与图形性质.
专题: 数形结合.
分析: 先根据垂径定理的推论得到过格点A,B,C的圆的圆心P点坐标(2,0),连结PB,过点B作PB的垂线,根据切线的判定定理得l为⊙P的切线,然后利用l经过的格点对四个选项进行判断.
解答: 解:作AB和BC的垂直平分线,它们相交于P点,如图,
则过格点A,B,C的圆的圆心P点坐标为(2,0),
连结PB,过点B作PB的垂线,则l为⊙P的切线,
从图形可得点(1,3)和点(5,1)在直线l上,
故选D.
点评: 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了垂径定理和坐标与图形性质.
8.将抛物线y=3x2先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是( )
A. y=3(x+2)2+1 B. y=3(x+2)2﹣1 C. y=3(x﹣2)2+1 D. y=3(x﹣2)2﹣1
考点: 二次函数图象与几何变换.
专题: 探究型.
分析: 根据函数图象平移的法则“左加右减,上加下减”的原则进行解答即可.
解答: 解:由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=3x2先向左平移2个单位可得到抛物线y=3(x+2)2;
由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=3(x+2)2先向下平移1个单位可得到抛物线y=3(x+2)2﹣1.
故选B.
点评: 本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
9.下列各图是在同一直角坐标系内,二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )
A. B. C. D.
考点: 二次函数的图象;一次函数的图象.
专题: 压轴题.
分析: 本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+(a+c)x+c的图象相比较看是否一致,用排除法即可解答.
解答: 解:A、一次函数y=ax+c的图象过一、三象限,a>0,与二次函数开口向下,即a<0相矛盾,错误;
B、一次函数y=ax+c的图象过二、四象限,a<0,与二次函数开口向上,a>0相矛盾,错误;
C、y=ax2+(a+c)x+c=(ax+c)(x+1),故此二次函数与x轴的两个交点为(﹣,0),(﹣1,0),一次函数y=ax+c与x轴的交点为(﹣,0),故两函数在x轴上有交点,错误;
排除A、B、C,
故选D.
点评: 本题考查二次函数与一次函数的图象性质,比较简单.
10.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,若⊙O的半径为,AC=2,则sinB的值是( )
A. B. C. D.
考点: 锐角三角函数的定义;圆周角定理;三角形的外接圆与外心.
分析: 求角的三角函数值,可以转化为求直角三角形边的比,连接DC.根据同弧所对的圆周角相等,就可以转化为:求直角三角形的锐角的三角函数值的问题.
解答: 解:连接DC.
根据直径所对的圆周角是直角,得∠ACD=90°.
根据同弧所对的圆周角相等,得∠B=∠D.
∴sinB=sinD==.
故选A.
点评: 综合运用了圆周角定理及其推论.注意求一个角的锐角三角函数时,能够根据条件把角转化到一个直角三角形中.
11.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4.将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后,得到矩形FGCE(点A、B、D的对应点分别为点F、G、E).动点P从点B开始沿BC﹣CE运动到点E后停止,动点Q从点E开始沿EF﹣FG运动到点G后停止,这两点的运动速度均为每秒1个单位.若点P和点Q同时开始运动,运动时间为x(秒),△APQ的面积为y,则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
考点: 动点问题的函数图象.
分析: 先求出点P在BE上运动是时间为6秒,点Q在EF﹣FG上运动是时间为6秒,然后分:
①当0≤x≤4时,根据△APQ的面积为y=S矩形MBEF﹣S△ABP﹣S△PEQ﹣S梯形FMAQ,列式整理即可得解;
②当4<x≤6时,根据△APQ的面积为△APQ的面积为y=S梯形MBPQ﹣S△BPA﹣S△AMQ,列式整理即可得解,再根据函数解析式确定出函数图象即可.
解答: 解:①如图1,延长AD交EF于H,延长FG与BA的延长线交于点M.
当0≤x≤4时,y=6×4﹣×2•x﹣(6﹣x)•x﹣×(4﹣x+2)×6=x2﹣x+6=(x﹣1)2+,
此时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分,且顶点坐标是(1,).
故C、D选项错误;
②点Q在GF上时,4<x≤6,
BP=x,MQ=6+4﹣x=10﹣x,
△APQ的面积为y=S梯形MBPQ﹣S△BPA﹣S△AMQ,
=(x+10﹣x)×4﹣•2•x﹣(10﹣x)•2,
=10,
综上所述,y=,
故选:A.
点评: 本题考查了动点问题的函数图象,根据点Q运动时间和位置,分点Q在CE﹣EF、GF上两种情况,利用割补法求得△APQ的面积,从而得到函数关系式是解题的关键,也是本题的难点.
12.如图,在△ABC中,AB=AC=5,CB=8,分别以AB、AC为直径作半圆,则图中阴影部分面积是( )
A. B. 25π﹣24 C. 25π﹣12 D.
考点: 扇形面积的计算;等腰三角形的性质.
分析: 设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点,连AD,根据直径所对的圆周角为直角得到AD⊥BC,再根据勾股定理计算出AD,然后利用阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积计算即可.
解答: 解:设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点,连AD,如图,
∴AD⊥BC,
∴BD=DC=BC=4,
∵AB=AC=5,
∴AD=3,
∴阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积
=π×()2﹣×8×3
=π﹣12.
故选:D.
点评: 本题考查了不规则图形面积的计算方法:把不规则的图形面积的计算转化为规则图形的面积和差来计算.也考查了圆周角定理的推论以及勾股定理.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.)
13.函数中自变量x的取值范围是 x≥2 .
考点: 函数自变量的取值范围.
分析: 根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,就可以求解.
解答: 解:依题意,得x﹣2≥0,
解得:x≥2,
故答案为:x≥2.
点评: 本题主要考查函数自变量的取值范围,考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数.
14.分解因式:a3﹣4a2+4a= a(a﹣2)2 .
考点: 提公因式法与公式法的综合运用.
专题: 因式分解.
分析: 观察原式a3﹣4a2+4a,找到公因式a,提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方公式,利用完全平方公式继续分解可得.
解答: 解:a3﹣4a2+4a,
=a(a2﹣4a+4),
=a(a﹣2)2.
故答案为:a(a﹣2)2.
点评: 本题考查了对一个多项式因式分解的能力.一般地,因式分解有两种方法,提公因式法,公式法,能提公因式先提公因式,然后再考虑公式法(完全平方公式).要求灵活运用各种方法进行因式分解.
15.已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根,且两圆的圆心距O1O2=t+2,若这两个圆相交,则t的取值范围为 0<t<6 .
考点: 圆与圆的位置关系;解一元二次方程-因式分解法.
分析: 首先求得方程的两根,然后根据相交两圆的圆心距的取值范围确定t的取值范围即可.
解答: 解:∵⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根,
∴解方程得两圆的半径分别为3和5,
∵相交两圆的圆心距O1O2=t+2,
∴5﹣3<t+2<5+3
解得:0<t<6,
故答案为:0<t<6
点评: 本题考查了两圆半径、圆心距与两圆位置之间的关系,如果设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P:外离P>R+r;外切P=R+r;相交R﹣r<P<R+r;内切P=R﹣r;内含P<R﹣r.
16.在平面直角坐标系xOy中,有一只电子青蛙在点A(1,0)处.第一次,它从点A先向右跳跃1个单位,再向上跳跃1个单位到达点A1;第二次,它从点A1先向左跳跃2个单位,再向下跳跃2个单位到达点A2;第三次,它从点A2先向右跳跃3个单位,再向上跳跃3个单位到达点A3;第四次,它从点A3先向左跳跃4个单位,再向下跳跃4个单位到达点A4;…依此规律进行,点A7的坐标为 (5,4) ;若点An的坐标为(2014,2013),则n= 4025 .
考点: 规律型:点的坐标.
分析: 根据青蛙在点A(1,0)的变化情况,得出其中的规律,奇数次横纵坐标每次加一,偶数则每次减一,从而求出点A7的坐标,再根据点An的坐标为(2014,2013)在第一象限,以第一次的结果为基础,设为m,求出m的值,即可得出答案.
解答: 解:∵青蛙在点A(1,0)处,
∴第一次在点(2,1),
第二次在点(0,﹣1),
第三次在点(3,2),
第四次在点(﹣1,﹣2),
第五次在点(4,3),
第六次在点(﹣2,﹣3),
从上可以看出除去一二两次,奇数次横纵坐标每次加一,偶数则每次减一,
∴A7(5,4),
∵点An的坐标为(2014,2013),在第一象限,若以第一次的结果为基础,设置为m,
An(2+m÷2,1+m÷2),
2+m÷2=2014,
m=4024,
n=m+1=4024+1=4025.
故答案为:(5,4,),4025.
点评: 本题考查了点的坐标,用到的知识点是点的移动问题,解题的关键是通过观察,得出其中的规律奇数次横纵坐标每次加一,偶数则两个每次减一.
17.如图,PA与⊙O相切于点A,PO的延长线与⊙O交于点C,若⊙O的半径为3,PA=4.弦AC的长为 .
考点: 切线的性质.
专题: 压轴题.
分析: 连接OA,过A作AD垂直于C,由PA为圆O的切线,得到PA与AO垂直,在直角三角形AOP中利用勾股定理求出OP的长,利用面积法求出AD的长,在直角三角形APD中,利用勾股定理求出PD的长,由CP﹣PD求出DC的长,在直角三角形ADC中,利用勾股定理即可求出AC的长.
解答: 解:连接OA,过A作AD⊥CP,
∵PA为圆O的切线,
∴PA⊥OA,
在Rt△AOP中,OA=3,PA=4,
根据勾股定理得:OP=5,
∵S△AOP=AP•AO=OP•AD,
∴AD===,
根据勾股定理得:PD==,
∴CD=PC﹣PD=8﹣=,
则根据勾股定理得:AC==.
故答案为:
点评: 此题考查了切线的性质,勾股定理,以及三角形的面积,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.
18.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB边上一点,∠BCE=15°,且AE=AD,连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论:
①△ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③;④,
其中结论正确的是 ①②④ .
考点: 直角梯形;全等三角形的判定;等边三角形的判定.
专题: 压轴题.
分析: △AED与△ABC是等腰直角三角形,根据这个条件就可求得:△ACD≌△ACE的条件,就可进行判断.
解答: 解:①∵∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB=45°,
又∵∠BAD=90°,
∴∠BAC=∠DAC,
又AD=AE,AC=AC,
∴△ACD≌△ACE;故①正确;
②同理∠AED=45°,
∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°,
∴∠DEC=180°﹣45°﹣75°=60°,
∵ACD≌△ACE,
∴CD=CE,
∴△CDE为等边三角形.故②正确.
③∵∠EAC=∠DAC,AD=AE,AH=AH,
∴△AEH≌△ADH,
∴∠CHE=90°,
∵△CHE为直角三角形,且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°,
∴EC≠4EB,
∴=2不成立;
④作EC的中垂线交BC于点F,连接EF,则EF=FC,
∴∠FEC=∠BCE=15°,
∴∠BFE=30°,
设BE=a,
则EF=FC=2a,
在直角△BEF中,BF=a,
∴BC=a+2a=(2+)a,
∴S△BEC=BE•BC=a2;
在直角△BEC中,EC==2a,
∵△CDE为等边三角形,
∴S△ECD==(2+)=(3+2)a2,EH=a,HC=EC=a,
又∵△AED是等腰直角三角形,AH是高,
∴AH=EH=a,
∴S△EHC=a2,
∴====.故④正确;
故答案为:①②④.
点评: 认识到题目中的等腰直角三角形是解决本题的关键.
三、解答题(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1)计算:+(﹣1)0﹣2sin60°+3﹣1.
(2)先化简,后计算:(÷)•,其中a=﹣3.
考点: 分式的化简求值;实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
分析: (1)利用零指数幂,负整数指数幂的法则及特殊角的三角函数值求解即可,
(2)先化简,再把a=﹣3代入求值即可.
解答: 解:(1)计算:+(﹣1)0﹣2sin60°+3﹣1
=2+1﹣2×+,
=+.
(2)(÷)•
=××,
=,
当a=﹣3时,原式==.
点评: 本题主要考查了分式的化简求值,解题的关键是熟记零指数幂,负整数指数幂的法则及特殊角的三角函数值.
20.近年来,北京郊区依托丰富的自然和人文资源,大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目,京郊旅游业迅速崛起,农民的收入逐步提高.以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分.
北京市2009﹣2012年农业观光园经营年收入增长率统计表
年份 年增长率(精确到1%)
2009年 12%
2010年
2011年 22%
2012年 24%
请根据以上信息解答下列问题:
(1)北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是 17% ;(结果精确到1%)
(2)请补全条形统计图并在图中标明相应数据;(结果精确到0.1)
(3)如果从2012年以后,北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长,请你估算,若经营年收入要不低于2008年的4倍,至少要到 2015 年.(填写年份)
考点: 条形统计图;统计表.
分析: (1)先用2010年的年收入减去2009年的年收入,得到2010年比2009年增加的年收入,再除以2009年的年收入即可;
(2)设2011年的年收入为x亿元,根据表格中2011年的年增长率是22%,列出方程,解方程即可;
(3)设从2012年以后,再过y年,能够使经营年收入不低于2008年的4倍,列出不等式26.9(1+30%)y≥13.6×4,解不等式即可.
解答: 解:(1)∵2010年的年收入为17.8亿元,2009年的年收入为15.2亿元,
∴2010年比2009年增加的年收入为:17.8﹣15.2=2.6亿元,
∴2010年农业观光园经营年收入的年增长率是:×100%≈17%.
故答案为17%;
(2)设2011年的年收入为x亿元,
由题意,得=22%,
解得x≈21.7.
补全统计图如下:
(3)设从2012年以后,再过y年,能够使经营年收入不低于2008年的4倍,
由题意,得26.9(1+30%)y≥13.6×4,
解得y≈3,
2012+3=2015.
即若经营年收入要不低于2008年的4倍,至少要到2015年.
故答案为2015.
点评: 本题考查的是条形统计图与统计表的综合运用,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键.
21.如图,已知等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,圆心O在△ABC内部,且⊙O经过B、C两点,若BC=8,AO=1,求⊙O的半径.
考点: 垂径定理;勾股定理.
分析: 连结BO、CO,延长AO交BC于点D,由于△ABC是等腰直角三角形,故∠BAC=90°,AB=AC,再根据OB=OC,可知直线OA是线段BC的垂直平分线,故AD⊥BC,且D是BC的中点,在Rt△ABC中根据AD=BD=BC,可得出BD=AD,再根据AO=1可求出OD的长,再根据勾股定理可得出OB的长.
解答: 解:连结BO、CO,延长AO交BC于D.
∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,
∴AB=AC
∵O是圆心,
∴OB=OC,
∴直线OA是线段BC的垂直平分线,
∴AD⊥BC,且D是BC的中点,
在Rt△ABC中,AD=BD=BC,
∵BC=8,
∴BD=AD=4,
∵AO=1,
∴OD=BD﹣AO=3,
∵AD⊥BC,
∴∠BDO=90°,
∴OB===5.
点评: 本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用勾股定理求解是解答此题的关键.
22.某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2300元,销售单价定为3000元.在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2500元.
(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2500元?
(2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获得的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
考点: 二次函数的应用.
分析: (1)设件数为x,则销售单价为3000﹣10(x﹣10)元,根据销售单价恰好为2500元,列方程求解;
(2)由利润y=(销售单价﹣成本单价)×件数,及销售单价均不低于2600元,按0≤x≤10,10<x≤60,x>60三种情况列出函数关系式.
解答: 解:(1)设商家一次购买该种产品x件时,销售单价恰好为2500元,
依题意得3000﹣10(x﹣10)=2500,
解得x=60.
答:商家一次购买该种产品60件时,销售单价恰好为2500元;
(2)当0≤x≤10时,y=(3000﹣2300)x=700x;
当10<x≤60时,y=x[3000﹣10(x﹣10)﹣2300]=﹣10x2+700x;
当x>60时,y=(2500﹣2300)x=200x;
所以y=.
点评: 本题考查了二次函数的运用.关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式,会表达单件的利润及总利润.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作FE⊥AB于点E,交AC的延长线于点F.
(1)求证:EF与⊙O相切;
(2)若AE=6,sin∠CFD=,求EB的长.
考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.
分析: (1)如图,欲证明EF与⊙O相切,只需证得OD⊥EF.
(2)通过解直角△AEF可以求得AF=10.设⊙O的半径为r,由平行线分线段成比例得到=,即=,则易求AB=AC=2r=,所以EB=AB﹣AE=﹣6=.
解答: (1)证明:如图,连接OD.
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC.
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠B
∴∠ODC=∠B
∴OD∥AB
∴∠ODF=∠AEF
∵EF⊥AB
∴∠ODF=∠AEF=90°
∴OD⊥EF
∵OD是⊙O的半径,
∴EF与⊙O相切;
(2)解:由(1)知,OD∥AB,OD⊥EF.
在Rt△AEF中,sin∠CFD==,AE=6,
则AF=10.
∵OD∥AB,
∴=.
设⊙O的半径为r,
∴=,
解得,r=.
∴AB=AC=2r=,
∴EB=AB﹣AE=﹣6=.
点评: 本题考查了切线的判定与性质.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
24.如图,AB为⊙O的直径,AB=4,P为AB上一点,过点P作⊙O的弦CD,设∠BCD=m∠ACD.
(1)已知,求m的值,及∠BCD、∠ACD的度数各是多少?
(2)在(1)的条件下,且,求弦CD的长;
(3)当时,是否存在正实数m,使弦CD最短?如果存在,求出m的值,如果不存在,说明理由.
考点: 圆的综合题.
分析: (1)首先求出m的值,进而由∠BCD=2∠ACD,∠ACB=∠BCD+∠ACD求出即可;
(2)根据已知得出AD,BD的长,再利用△APC∽△DPB得出AC•DP=AP•DB=×2=①,PC•DP=AP•BP=×=②,同理△CPB∽△APD,得出BC•DP=BP•AD=×2=③,进而得出AC,BC与DP的关系,进而利用勾股定理得出DP的长,即可得出PC,DC的长;
(3)由,AB=4,则,得出,要使CD最短,则CD⊥AB于P于是,
即可得出∠POD的度数,进而得出∠BCD,∠ACD的度数,即可得出m的值.
解答: 解:(1)如图1,
由,
得 m=2,
连结AD、BD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°,∠ADB=90°
又∵∠BCD=2∠ACD,∠ACB=∠BCD+∠ACD
∴∠ACD=30°,∠BCD=60°;
(2)如图1,连结AD、BD,则∠ABD=∠ACD=30°,AB=4
∴AD=2,,
∵,
∴,,
∵∠APC=∠DPB,∠ACD=∠ABD
∴△APC∽△DPB
∴,
∴AC•DP=AP•DB=×2=①,
PC•DP=AP•BP=×=②
同理△CPB∽△APD
∴,
∴BC•DP=BP•AD=×2=③,
由①得,由③得,
,
在△ABC中,AB=4,
∴,
∴
由②,
得
∴;
方法二:由①÷③得,
在△ABC中,AB=4,AC=×=,
BC=×2=
由③,
得
由②,
得
∴;
(3)如图2,连结OD,由,AB=4,
则,
则,
则,
要使CD最短,则CD⊥AB于点P
于是,
∵∠POD=30°
∴∠ACD=15°,∠BCD=75°
∴m=5,故存在这样的m值,且m=5.
点评: 此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和锐角三角函数关系和圆周角定理等知识,熟练利用圆周角定理以及垂径定理得出是解题关键.
25.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且与直线l的另一个交点为C(n,).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<n).DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请求出点A1的横坐标.
考点: 二次函数综合题.
分析: (1)把点B的坐标代入直线解析式求出m的值,再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答;
(2)令y=0求出点A的坐标,从而得到OA、OB的长度,利用勾股定理列式求出AB的长,然后根据两直线平行,内错角相等可得∠ABO=∠DEF,再解直角三角形用DE表示出EF、DF,根据矩形的周长公式表示出p,利用直线和抛物线的解析式表示DE的长,整理即可得到P与t的关系式,再利用二次函数的最值问题解答;
(3)根据逆时针旋转角为90°可得B1O1∥x轴时,A1O1∥y轴时,然后分①点O1、B1在抛物线上时,表示出两点的横坐标,再根据纵坐标相同列出方程求解即可;②点A1、B1在抛物线上时,表示出点B1的横坐标,再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可.
解答: 解:(1)∵直线l:y=x+m经过点B(0,﹣),
∴m=﹣.
∴直线l的解析式为y=x﹣.
∵直线l:y=x﹣经过点c(n,),
∴=n﹣,
解得n=5.
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C(n,)和点B(0,﹣),
∴,
解得.
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣;
(2)∵直线l:y=x﹣与x轴交于点A,
∴点A的坐标为(2,0).
∴OA=2.
在Rt△OAB中,OB=,
∴AB===,
∵DE∥y轴,
∴∠OBA=∠FED.
∵矩形DFEG中,∠DFE=90°,
∴∠DFE=∠AOB=90°.
∴△OAB∽△FDE.
∴==.
∴FD=•DE=DE,
FE=•DE=DE,
∴p=2(FD+FE)=2×(+)DE=DE.
∵D(t,t2﹣3t﹣),E(t,t﹣),且0<t<5,
∴DE=(t﹣)﹣(t2﹣3t﹣)=﹣t2+t.
∴p=×(﹣t2+t)=﹣t2+t.
∵p=﹣(t﹣)2+,且﹣<0,
∴当t=时,p有最大值;
(3)根据题意可得O1B1与x轴平行,O1A1与y轴平行.
1)当O1、B1在抛物线上时,根据条件可设O1(t,y1),B1(t+,y1),
则t2﹣3t﹣=(t+)2﹣3(t+)﹣,解得t=;
2)当A1、B1在抛物线上时,根据条件可设A1(t,y1),B1(t+,y1﹣2),
则t2﹣3t﹣=(t+)2﹣3(t+)﹣+2,解得t=.
综上,点A1的横坐标为或.
点评: 本题是二次函数综合题型,主要考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式,锐角三角函数,长方形的周长公式,以及二次函数的最值问题,本题难点在于(3)根据旋转角是90°判断出B1O1∥x轴时,A1O1∥y轴时,注意要分情况讨论.