上海市杨浦区2014年中考三模数学试卷

（满分 150 分，考试时间 100 分钟） 2014.5.8

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共 25 题；

2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一

律无效；

3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或

计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸

的相应位置上】

1．点A是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）

（A）点A表示的数一定是整数； （B）点A表示的数一定是分数；

（C）点A表示的数一定是有理数； （D）点A表示的数可能是无理数．

2．下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）

（A）； （B）；

（C）； （D）．

3．某学校为了了解九年级学生体能情况，随机选取 30 名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了直方图（如图），学生仰卧起坐次数在 25～30 之间的频率为（ ）

（A）0.1； （B）0.4；

（C）0.33； （D）0.17．

4．将抛物线平移到抛物线的位置，以下描述正确的是（ ）

（A）向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位；

（B）向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位；

（C）向左平移 1 个单位，向下平移 1 个单位；

（D）向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位．

5．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）

（A）菱形；（B）梯形；（C）正三角形；（D）正五边形．

6．下列条件一定能推得△ABC 与△DEF 全等的是（ ）

（A）在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠B，∠D=∠E，AB=DE；

（B）在△ABC 和△DEF 中，AB=AC，∠A=∠F， FD=FE；

（C）在△ABC 和△DEF中，，∠B=∠E；

（D）在△ABC 和△DEF中，，∠B=∠E．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．计算： ．

8．方程的解是 ．

9．如果反比例函数的图像在第二、四象限，那么k 的取值范围是 ．

10．函数的大致图像如图所示，则当 x < 0 时，y的取值范围是 ．

11．黄老师在数学课上给出了6道习题，要求每位同学独立完成．

现将答对的题目数与相应的人数列表如下：

则这些同学平均答对 道题．

12．从分别标有 1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是 ．

13．在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边上中，如果，，那么

（用表示）．

14．如果人在一斜坡坡面上前行100米时，恰好在铅垂方向上上升了10米，那么该斜坡的坡度是 ．

15．如图，△ABC中，∠A=80，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，联结DC．如果AD=2，BD=6，那么△ADC的周长为 ．

16．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=10，以A为圆心画圆，如果⊙A与直线 BC相切，那么⊙A的半径长为 ．

17．如果将点（-b，-a）称为点（a，b）的“反称点”，那么点（a，b）也是点（-b，-a）的“反称点”，此时，称点（a，b）和点（-b，-a）是互为“反称点”．容易发现，互为“反称点”的两点有时是重合的，例如（0，0）的“反称点”还是（0，0）．请再写出一个这样的点： ．

18．如图，在菱形 ABCD 中，AB=a，∠ABC=α．将菱形 ABCD 绕点B顺时针旋转（旋转角小于90°），点 A、C、D 分别落在 A’、C’、D’处，当 A’C’⊥BC 时 A’D=

（用含a 和α的代数式表示）．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（本题满分10分）

先化简，再求值：．

20．（本题满分10分）

解不等式组：且写出使不等式组成立的所有整数．

21．（本题满分10分）

甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函

数关系如图所示，根据图像所提供的信息解答问题：

（1）他们在进行 米的长跑训练，在0＜x＜15的时段内，速度较快的人是 ；

（2）求甲距终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式；

（3）当x=15时，两人相距多少米？

（4）在15＜x＜20的时段内，求两人速度之差．

22．（本题满分10分）

如图，已知：⊙O是△ABC的外接圆，半径长为5，点D、E分别是边AB和边AC的中点，AB=AC，BC=6．求∠OED的正切值．

23．（本题满分12分，其中第（1）小题7分，第（2）小题小题5分）

梯形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，CE⊥AB 于点 E，点 F 在边CD上，且．

（1）求证：；

（2）若点E为AB中点，求证： ．

24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）

直线过点 A（1，－4），与x轴交于点 B，与y轴交于点D，以点A为顶点的抛物线经过点B，且交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如果点P在x轴上，且△ACD与△PBC 相似，求点P的坐标；

（3）如果直线l与直线关于直线BC对称，求直线l的表达式．

25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）

已知梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=2，sinB=．过点在∠BCD 的内部作射线交射

线BA于点E，使得∠DCE＝∠B．

（1）如图1，当ABCD为等腰梯形时，求AB的长；

（2）当点E与点A重合时（如图 2），求AB的长；

（3）当△BCE为直角三角形时，求AB的长．

2014 年杨浦区初三模拟测试数学试卷答案与评分标准 2014.5.8

一、选择题

1、D；2、C；3、B；4、C；5、A；6、D；

二、填空题

7、；8、x =2；9、k >1 ；10、y <1；11、4.5；12、；13、；14、； 15、14；16、；17、（3，-3）；18、；

19、解:原式=-------------------------------------（6 分）

=-----------------------------------------------------------（2 分）

当时，原式=-------------------------------------（2 分）

20、解： ---------------------------------------------------------------------（2 分）

-----------------------------------------------------------------------------------（2 分）

得---------------------------------------------------------------------------------（2 分）

∴不等式组的解集是－2＜x≤3．-----------------------------------------------------（2 分）

使不等式组成立的所有整数是-1、0、1、2、3．----------------------------------（2 分）

21、解：（1）5000-------------------------------------------------------------------------------------（1 分）

甲 -------------------------------------------------------------------------------------（1 分）

（2）设所求直线的解析式为：y =kx+5000，-----------------------------------------（1 分）

由图象可知：当 x=20 时，y=0，

∴0=20k+5000，解得 k= -250. --------------------------------------------------（1 分）

即 y = -250x+5000 ------------------------------------------------------------------（1 分）

（3）当 x=15 时，y = -250x+5000= -250×15+5000=5000-3750=1250. ------------（2 分）

两人相距： 2000-1250=750（米）. ----------------------------------------------（1 分）

（4）两人速度之差:750÷(20-15)=150（米/分） ---------------------------------（2 分）

22、解：联结 AO 并延长交 BC 于点 H，联结 OC，

∵AB=AC，∴，

∵O 为圆心，∴AH⊥BC，BH=HC，---------------------------------------------------------------(2 分)

∴HC=3，∵半径 OC=5，∴OH=4，AH=9，------------------------------------------（2 分）

∴在 Rt△AHC 中，tan∠HAC=，即 tan∠OAE=---------------（2 分）

∵D、E分别是边AB和边AC的中点，∴DE//BC，∴AH⊥DE，∴∠OAE+∠AED=90°，

∵E是边AC的中点，O为圆心，∴OE⊥AC，∴∠AED+∠OED=90°，

∴∠OAE=∠OED，--------------------------------------------------------------------------（2 分）

∴tan∠OED= tan∠OAE=----------------------------------------------------------------（2 分）

23、证明：（1）∵CE⊥AB，∴∠B+∠BCE=90°，

∵DC⊥BC，∴∠DCE+∠BCE=90°，∴∠B=∠DCE，-----------（2 分）

∵ ，∴，∴△BCE∽△CEF，------(2 分)

∴∠BCE=∠CEF，------------------------------------------------------------(1 分)

∴EF//BC，----------------------------------------------------------------------(1 分)

∴，即。--------------------------------(1 分)

（2）在梯形中，∵EF//BC，E 为 AB 中点，∴，--------（1 分）

∵△BCE∽△CEF，∴，即，---------------（1 分）

∴，-------------------------------------------------（1 分）

整理得 -----------------------------------------------（2 分）

24、解：（1）∵过点 A（1，－4），∴-4=k-6，∴k=2，∴B（3,0），（1 分）

∵以点 A 为顶点的抛物线经过点 B，∴设解析式为，----（1 分）

且，∴抛物线的表达式。----（1 分）

（2）∵k=2，∴即为，∴D（0，-6），

∵抛物线与 y 轴交于点 C，∴C（0，-3），

∵A（1，－4），∴∠DCA＝45°，且 AC=，CD=3，

∵B（3,0），C（0，-3），∴∠OCB＝45°，∴∠DCA＝∠OCB-------------------（1 分）

∵△ACD 与△PBC 相似，且点 P 在 x 轴上，

∴点 P 在 B 点的左侧，且或，即或，

∴BP=2 或 9， --------------------------------------------------------------------------（1 分，1 分）

∴点 P（1,0）或（-6,0）。--------------------------------------------------------------------（2 分）

（3）过点 D 作 DH⊥BC并延长DH到点M，使HM=HD，联结CM、BM，----------（1 分）

∴直线 BM 即为直线 l，且 CM=CD，∠MCH＝∠DCH，

∵C（0，-3），D（0，-6），∴CM=CD=3，

∵B（3,0），C（0，-3），∴∠OCB＝45°，∴∠DCH＝∠OCB＝45°，

∴∠MCH＝45°，∴∠MCD＝90°，即 MC⊥y 轴，∵MC=CD=3，

∴M（-3，-3），----------------------------------------------------------------------------（1 分）

设直线 l 的解析式为，则， --------------（2 分）

∴直线 l 的解析式为。

25、解：（1）作 AM//DC 交 BC 于点M，

∵AD//BC，∴ AMCD 为平行四边形，------------------------------------------------------（1 分）

∴AM=DC，MC=AD=1，∴BM=BC-MC=2-1=1，

作 AH⊥BC 于点 H，

∵ABCD 为等腰梯形，∴AB=DC，∴AB=AM，∴------------（1 分）

在直角三角形 ABH 中，∵sinB=，∴cosB=，，。-----（2 分）

（2）∵AD//BC，∴∠DAC＝∠ACB，又∵∠DCE＝∠B，∴△ADC∽△CAB，----(1 分)

∴，∴，------------------------------------------------------（2 分）

作 AF⊥BC 于点 F，设 AB=x，∵sinB=，∴AF=，BF=，，

在直角三角形 AFC 中，，，

∴，-----------------------------------------------------------------------------------（2 分）

即当点 A 与点 E 重合时，。

（3）∵△BCE 为直角三角形，∴BE⊥CE 或 BC⊥CE，

情况一，当 BE⊥CE 时，如图 1，

∵∠DCE＝∠B，∠B+∠BCE=90°，∴∠DCE+∠BCE=90°，

作 AK⊥BC，设 AB=x，∴KC=AD=1， BK=

∵BC=2，∴，∴；-------------------------------------------------------（2 分）

情况二，当 BC⊥CE 时，如图 2，

延长 DA 交 CE 的延长线于点 P，设 AE a ，则AP=，EP=

在直角三角形 BCE 中，∵BC=2，sinB=，∴AB=，EC=，

∵AD//BC，BC⊥CE，∴AD⊥EC，又∵∠DCE＝∠B，∴△PDC∽△CEB，

∴，即，∴，∴，

∴-------------------------------------------------（3 分）

∴当△BCE 为直角三角形时， AB=或AB=

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