第1讲　等差数列与等比数列

等差、等比数列的基本运算

1.(2015新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10等于(　B　)

(A) (B) (C)10 (D)12

解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.

由题设知d=1,S8=4S4,

所以8a1+28=4(4a1+6),

解得a1=,

所以a10=+9=,选B.

2.(2015辽宁省锦州市质量检测(一))已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于(　D　)

(A)1 (B)2 (C)4 (D)8

解析:因为a4-2+3a8=0,

所以a1+3d-2+3(a1+7d)=0,

所以4(a1+6d)-2=0,

即4a7-2=0,

又a7≠0,

所以a7=2,所以b7=2,

所以b2b8b11=b1q·b1q7·b1q10=(b1q6)3==8.

故选D.

3.(2015河南郑州第二次质量预测)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3-a6=0,则=　　　　. 

解析:设等比数列公比为q(q≠1),

因为27a3-a6=0,

所以27a3-a3q3=0,

所以q3=27,q=3,

所以====28.

答案:28

等差、等比数列的性质及应用

4.(2015河南省六市第二次联考)已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为(　C　)

(A)10 (B)20 (C)100 (D)200

解析:a7(a1+2a3)+a3a9

=a1a7+2a3a7+a3a9

=+2a4a6+

=(a4+a6)2=102=100.

故选C.

5.设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于(　A　)

(A) (B)- (C) (D)

解析:因为a7+a8+a9=S9-S6,在等比数列中S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以有8(S9-S6)=1,即S9-S6=.故选A.

6.(2015新课标全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于(　C　)

(A)2 (B)1 (C) (D)

解析:法一　根据等比数列的性质,结合已知条件求出a4,q后求解.

因为a3a5=,a3a5=4(a4-1),

所以=4(a4-1),

所以-4a4+4=0,

所以a4=2.

又因为q3===8,

所以q=2,

所以a2=a1q=×2=.

故选C.

法二　直接利用等比数列的通项公式,结合已知条件求出q后求解.

因为a3a5=4(a4-1),

所以a1q2·a1q4=4(a1q3-1),

将a1=代入上式并整理,

得q6-16q3+64=0,

解得q=2,

所以a2=a1q=.

故选C.

7.(2015哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学第一次联合模拟)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当Sn最大时,n等于(　B　)

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

解析:依题意得S9-S5=a6+a7+a8+a9=0,

所以2(a7+a8)=0,

所以a7+a8=0,

又a1>0,

所以该等差数列的前7项为正数,从第8项开始为负数.

所以当Sn最大时,n=7.

故选B.

8.(2015东北三校第一次联合模拟)若等差数列{an}中,满足a4+a6+a2010+a2012=8,则S2015=　　　　. 

解析:因为a4+a6+a2010+a2012=8,

所以2(a4+a2012)=8,

所以a4+a2012=4.

所以S2015==

=4030.

答案:4030

等差、等比数列的综合问题

9.(2015甘肃二诊)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S17>0,S18<0,则,,…,中最大的项为(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为S17==17a9>0,

S18==9(a10+a9)<0,

所以a9>0,a10+a9<0,

所以a10<0.

所以等差数列为递减数列,

则a1,a2,…,a9为正,a10,a11,…为负,S1,S2,…,S17为正,S18,S19,…为负,

所以>0,>0,…,>0,<0,<0,…,<0,

又S12<…9,a1>a2>…>a9,

所以,,…,中最大的项为.

故选C.

10.(2015河北沧州4月质检)等差数列{an}中,a1=10,公差d=-2,记Ⅱn=a1×a2×…×an(即Ⅱn表示数列{an}的前n项之积),则数列{Ⅱn}中的最大项是(　A　)

(A)Ⅱ5 (B)Ⅱ6 (C)Ⅱ5或Ⅱ6 (D)Ⅱ4

解析:在等差数列{an}中,a2=8,a3=6,a4=4,a5=2,a6=0,…,故数列{Ⅱn}中的最大项是Ⅱ5.故选A.

11.(2015兰州高三诊断)在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的前n项和Sn.

解:(1)因为{an}为等比数列,所以=q3=8;

所以q=2.

所以an=2·2n-1=2n.

(2)b3=a3=23=8,b5=a5=25=32,

又因为{bn}为等差数列,所以b5-b3=24=2d,

所以d=12,b1=a3-2d=-16,

所以Sn=-16n+×12=6n2-22n.

一、选择题

1.(2015云南第二次检测)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1∶a2=1∶2,则S1∶S3等于(　D　)

(A)1∶3 (B)1∶4 (C)1∶5 (D)1∶6

解析:S1∶S3=a1∶(a1+a2+a3)=a1∶3a2,

又a1∶a2=1∶2,

所以S1∶S3=1∶6.

故选D.

2.(2015银川九中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于(　B　)

(A)2n-1 (B)（）n-1 (C)()n-1 (D)

解析:由Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),

所以Sn+1=Sn.

所以{Sn}是以S1=a1=1为首项,为公比的等比数列.

所以Sn=()n-1.

故选B.

3.(2015河北石家庄二模)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5等于(　A　)

(A) (B)- (C)2 (D)-2

解析:设公比为q,

因为S3=a2+5a1,

所以a1+a2+a3=a2+5a1,

所以a3=4a1,

所以q2==4,

又a7=2,

所以a5===.

故选A.

4.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10等于(　D　)

(A)7 (B)5 (C)-5 (D)-7

解析:法一　利用等比数列的通项公式求解.

由题意得

所以或

所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.

法二　利用等比数列的性质求解.

由

解得或

所以或

所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.

故选D.

5.(2015兰州高三诊断)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于(　D　)

(A)18 (B)36 (C)54 (D)72

解析:因为a4=18-a5,

所以a4+a5=18,

所以S8====72.

故选D.

6.(2014郑州市第二次质量预测)在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数),前n项和为Sn=3n+k,则实数k为(　A　)

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

解析:由an+1=can,

可知{an}是等比数列,设公比为q,

由Sn=得Sn=-qn+,

由Sn=3n+k,

知k=-1.

故选A.

7.设{an}是公差不为零的等差数列,满足+=+,则该数列的前10项和等于(　C　)

(A)-10 (B)-5 (C)0 (D)5

解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d(d≠0),

由+=+得,

(a1+3d)2+(a1+4d)2=(a1+5d)2+(a1+6d)2,

整理得2a1+9d=0,

即a1+a10=0,

所以S10==0.

故选C.

8.(2015北京卷)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是(　C　)

(A)若a1+a2>0,则a2+a3>0

(B)若a1+a3<0,则a1+a2<0

(C)若012,则a2>

(D)若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0

解析:因为{an}为等差数列,

所以2a2=a1+a3.

当a2>a1>0时,得公差d>0,

所以a3>0,

所以a1+a3>2,

所以2a2>2,

即a2>,故选C.

9.(2015大连市二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=4,S10=110,则的最小值为(　C　)

(A)7 (B) (C) (D)8

解析:设等差数列{an}的公差为d,

则

解得

所以an=2+2(n-1)=2n,

Sn=2n+×2=n2+n,

所以=

=++

≥2+

=.

当且仅当=,

即n=8时取等号.

故选C.

10.设数列{an},则有(　C　)

(A)若=4n,n∈N*,则{an}为等比数列

(B)若an·an+2=,n∈N*,则{an}为等比数列

(C)若am·an=2m+n,n∈N*,则{an}为等比数列

(D)若an·an+3=an+1·an+2,n∈N*,则{an}为等比数列

解析:A.若a1=-2,a2=4,a3=8,满足=4n,n∈N*,但{an}不是等比数列,故A错;

B.若an=0,满足an·an+2=,n∈N*,但{an}不是等比数列,故B错;

C.若am·an=2m+n,m,n∈N*,则有===2.

所以{an}是等比数列,故C正确;

D.若an=0,满足an·an+3=an+1·an+2,n∈N*,但{an}不是等比数列,故D错.

二、填空题

11.(2015黑龙江高三模拟)等差数列{an}中,a4+a8+a12=6,则a9-a11=　　　　. 

解析:设等差数列{an}公差为d,

因为a4+a8+a12=6,

所以3a8=6,

即a8=a1+7d=2,

所以a9-a11=a1+8d-(a1+10d)

=a1+d

=(a1+7d)

=×2

=.

答案:

12.(2015宁夏石嘴山高三联考)若正项数列{an}满足a2=,a6=,且=(n≥2,n∈N*),则log2a4=　　　　. 

解析:因为=(n≥2,n∈N*),

所以=an-1·an+1,

所以数列{an}为等比数列.

又a2=,a6=,

所以q4==.

因为数列为正项数列,

所以q>0,

所以q=.

所以a4=a2q2=×=,

所以log2a4=log2=-3.

答案:-3

13.(2015安徽卷)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),则数列{an}的前9项和等于　　　　. 

解析:因为a1=1,an=an-1+(n≥2),

所以数列{an}是首项为1、公差为的等差数列,

所以前9项和S9=9+×=27.

答案:27

14.(2015湖南卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=　　　　. 

解析:设等比数列{an}的公比为q(q≠0),

依题意得a2=a1·q=q,a3=a1q2=q2,

S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q2.

又3S1,2S2,S3成等差数列,

所以4S2=3S1+S3,

即4(1+q)=3+1+q+q2,

所以q=3(q=0舍去).

所以an=a1qn-1=3n-1.

答案:3n-1

[导与练]（新课标）2016高考数学二轮复习 专题4 数列 第1讲 等差数列与等比数列 文