上海复旦初级中学数学一元二次方程专题练习（解析版）

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是，过点作交于点，同时，点从点出发沿方向，在射线上匀速运动，速度是，连接、，与交与点，设运动时间为．

（1）当为何值时，四边形是平行四边形；

（2）设的面积为，求与的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使得的面积为矩形面积的；

（4）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上．

【答案】（1）；（2）；（3）当或时，的面积为矩形面积的；（4）当时，点在线段的垂直平分线上

【解析】

【分析】

（1）由四边形是平行四边形，可得由得四边形为平行四边形，即，列式，计算可解.

（2）由，得，代入时间，得解得，

再通过梯形构建联系，可列函数式.

（3）由的面积为矩形面积的得，可解

当或时，的面积为矩形面积的．

（4）当点在线段的垂直平分线上时，，得，由与 可得，，，即，代入，，，

可得，计算验证可解.

【详解】

（1）当四边形是平行四边形时，，

又∵，

∴四边形为平行四边形，

∴，

即，

∴

（2）∵，

∴，

即，

∴，

∴，

∴，

，

梯形，

∴梯形

（3）由题意，

解得，

所以当或时，的面积为矩形面积的．

（4）当点在线段的垂直平分线上时，，

∴，

在中，，

在中，，

∴，

即

解得，（舍）

所以当时，点在线段的垂直平分线上．

【点睛】

本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.

2．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒

（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，求t的值；

（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．

【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t的值为或2时，重叠面积为8．

【解析】

【分析】

（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，列出方程、解方程即可解答；

（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.

【详解】

（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，

∴S△ABC＝×6×6＝18，

∵AP＝t，CP＝6﹣t，

∴△PBC与△PAD的面积和＝t2+×6×（6﹣t），

∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，

∴t2+×6×（6﹣t）＝18×，

解之，得t1＝2，t2＝4；

（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，

∴PQ＝2t，

①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣t2＝t2＝8，

解得：t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），

②如图2，当2≤t≤3时，S＝×6×6﹣t2﹣（6﹣2t）2＝12t﹣t2＝8，

解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝（不合题意，舍去），

③如图3，当3≤t≤6时，S＝ 6×6﹣t2＝8，

解得：t1＝2，t 2＝﹣2（不合题意，舍去），

综上，t的值为或2时，重叠面积为8．

【点睛】

本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.

3．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．

（1）求AB与BC的长；

（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；

（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) AB＝3，BC＝4;(2) t＝4;(3) t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形.

【解析】

试题分析：（1）解一元二次方程即可求得边长；

（2）结合图形，利用勾股定理求解即可；

（3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解.

试题解析：(1)∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0

∴＝3或＝4 .

则AB＝3，BC＝4

(2)由题意得

∴，(舍去)

则t＝4时，AP＝.

(3)存在点P，使△CDP是等腰三角形.

①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒).

②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4.

∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5

∴t＝ ＝9.5(秒)

③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q. ，

∴PC＝2PQ＝

∴(秒)

可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形.

4．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.

（1）求这两年藏书的年均增长率；

（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？

【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．

【解析】

【分析】

（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；

（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.

【详解】

解：（1）设这两年藏书的年均增长率是，

，

解得，，（舍去），

答：这两年藏书的年均增长率是20%；

（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（万册），

到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：，

答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.

5．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：

（1）每千克茶叶应降价多少元？

（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？

【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．

【解析】

【分析】

（1）设每千克茶叶应降价x元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；

（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．

【详解】

（1）设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：

（400﹣x﹣240）（200+×40）=41600．

化简，得：x2﹣10x+240=0．

解得：x1=30，x2=80．

答：每千克茶叶应降价30元或80元．

（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．

此时，售价为：400﹣80=320（元），．

答：该店应按原售价的8折出售．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．

6．已知二次函数y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）

①求a的值；

②求当a≤x≤b时，一次函数y＝ax+b的最大值及最小值；

【答案】①a的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9

【解析】

【分析】

①根据题意解一元二次方程即可得到a的值；

②根据a≤x≤b，b＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y＝﹣4x﹣3，根据函数的性质当x＝﹣4时，函数取得最大值，x＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.

【详解】

解：①∵y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）

∴4＝9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3，

解得，a1＝﹣2，a2＝﹣4，

∴a的值是﹣2或﹣4；

②∵a≤x≤b，b＝﹣3

∴a＝﹣2舍去，

∴a＝﹣4，

∴﹣4≤x≤﹣3，

∴一次函数y＝﹣4x﹣3，

∵一次函数y＝﹣4x﹣3为单调递减函数，

∴当x＝﹣4时，函数取得最大值，y＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13

x＝﹣3时，函数取得最小值，y＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9.

【点睛】

此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a、b的关系得到函数解析式是解题的关键.

7．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．

【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；

（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣ ，x1x2= ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣ 是是负整数，即可得是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．

【详解】

（1）∵原方程有两实数根，

∴，

∴a≥0且a≠6．

（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，

∴x1+x2=﹣，x1x2=，

∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．

∵（x1+1）（x2+1）是负整数，

∴﹣是负整数，即是正整数．

∵a是整数，

∴a﹣6的值为1、2、3或6，

∴a的值为7、8、9或12．

【点睛】

本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．

8．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结.

（1）若，求的度数；

（2）设，；

①线段的长度是方程的一个根吗？说明理由.

②若线段，求的值.

【答案】（1）＝；（2）①是；②.

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；

（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；

②根据勾股定理列出算式，计算即可．

【详解】

（1）在中，.

∴

，

∵，

∴

.

∴

.

（2）①，

∴

.

在中，，

.

∵，

∴

.

∴线段的长度是方程的一个根.

②∵，

又∵，

∴，

∴.

在中，

，

∴，

，

∴.

∵，

∴，

∴.

【点睛】

本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．

9．如图1，已知△ABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm /s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）.解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC．

（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由.

（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）当s时，PQ∥BC．（2）不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．（3）存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．

【解析】

（1）证△APQ∽△ABC，推出=，代入得出=，求出方程的解即可；（2）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-t2+6t=××8×6，求出此方程无解，即可得出答案.

（3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、OD、和PD的长度；然后在Rt△PQD中，根据勾股定理列出方程（8-t）2-（6-t）2=（2t）2，求得时间t的值；最后根据菱形的面积等于△AQP的面积的2倍，进行计算即可.

解：（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．

∵PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴=，

即=，

解得：t=,

∴当t=时，PQ∥BC.

（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．

∴PD∥BC，∴，即，解得．

，

假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，

则有S△AQP= S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12．

而S△AQP，

∴，化简得：t2﹣5t+10=0，

∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，

∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

（3）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．

如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，

∴，即，

解得：，，

∴QD=AD﹣AQ=．

在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，

即，

化简得：13t2﹣90t+125=0，

解得：t1=5，t2=，

∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．

由（2）可知，S△AQP=

∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×=cm2．

所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．

“点睛”本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.

10．定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

【答案】（1）10%；（2）方案②

【解析】

试题分析：首先设下调的百分率为x，根据题意列出方程进行求解，得出答案；分别求出两种方案所需要花费的钱数，然后进行比较．

试题解析：（1）设平均每次下调的百分率是x，依题意得，4000（1-x）2=3240

解之得：x=0．1=10%或x=1．9（不合题意，舍去）

答：平均每次下调的百分率是10%．

（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元 方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元

∵317520＞316000 ∴方案②更优惠

考点：一元二次方程的应用

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