圆锥曲线

一、知识点讲解

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；

（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

3．常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长=

（2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是

二、例题讲解。

例1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．

解：当焦点在轴上时，设其方程为．

由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．

当焦点在轴上时，设其方程为．

由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．

例2、的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．

分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．

（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．

解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，

故其方程为．

（2）设，，则． ①

由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．

例3、 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．

从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，

可求出，，从而．

∴所求椭圆方程为或．

例4、已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．

解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知： ·．①

由椭圆定义知： ②，则得 ．

故．

三、习题讲解。

一、选择题。

1.圆6x2+ y2=6的长轴的端点坐标是

A.(-1,0)､(1,0) B.(-6,0)､(6,0) C.(-,0)､(,0) D.(0,-)､(0,)

2.椭圆x2+ 8y2=1的短轴的端点坐标是

A.(0,-)、(0,) B.(-1,0)、(1,0) C.(2,0)、(-,0) D.(0,2)、(0,－2)

3.椭圆3x2+2y2=1的焦点坐标是

A.(0,－)、(0,) B.(0,-1)、(0,1) C.(-1,0)、(1,0) D.(-,0)、(,0)

4.椭圆(a>b>0)的准线方程是

A. B. C. D.

5.椭圆的焦点到准线的距离是

A. B. C. D.

6.已知F1、F2为椭圆(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若

△AF1B的周长为16，椭圆离心率,则椭圆的方程是

A. B. C. D.

7.离心率为,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是

A. B.或 C. D.或

8.椭圆和(k>0)具有

A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长､短轴

9.点A(a,1)在椭圆的内部,则a的取值范围是

A.- <a< B.a<-或a> C.-2<a<2 D.-1<a<1

10.设F是椭圆的右焦点，P(x,y)是椭圆上一点，则|FP|等于

A.ex＋a B.ex－a C.ax－e D.a－ex

二、填空题

1.椭圆的焦点F1(0,6),中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是______.

2.椭圆上的点到直线距离的最大的值是 .

3.已知F1､F2是椭圆的两个焦点,AB是过焦点F1的弦,若︱AB︳=8,则︱F2A︳+︱F2B︳的值是

A.16 B.12 C.14 D.8

4.若A点坐标为（1，1），F1是5x2+9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|+|PF1|的最小值是__________.

5.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M，N两点，弦MN的中点为P，若KOP=_______________.

6.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是______.

7.已知椭圆的准线方程是y=9,离心率为，则此椭圆的标准方程是_______________.

8.到定点（1，0）的距离与到定直线x=8的距离之比为的动点P的轨迹方程是 .

9.已知椭圆x2+2 y2=2的两个焦点为F1和F2，B为短轴的一个端点，则△BF1F2的外接圆方程是______________.

10.已知点A(0，1)是椭圆x2+4y2=4上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是_________________.

三、简答题。

1、 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

2、已知椭圆及直线．

（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

3 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．

4 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．

1：D 2：A 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.A 9.A 10.D 1. 2. 3.B 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.(±)

1、 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，

即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，

即．∴点的轨迹是以，为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．

说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

2、解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，

即．，解得．

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．

根据弦长公式得 ：．解得．方程为．

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．

用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

3分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．

解：如图所示，椭圆的焦点为，．

点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．

解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．

所求椭圆的长轴：，∴，又，

∴．因此，所求椭圆的方程为．

为．

4分析：可以利用弦长公式求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

．因为，，所以．因为焦点在轴上，

所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．

由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，， 从而．

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为，设，，则，．

在中，，即；

所以．同理在中，用余弦定理得，所以．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．

再根据焦半径，，从而求出．

椭圆曲线知识点与讲义