2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、若集合，，则（ ）

A． B． C． D．

2、若复数（是虚数单位），则（ ）

A． B． C． D．

3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）

A． B． C． D．

4、袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球，个红球．从袋中任取个球，所取的个球中恰有个白球，个红球的概率为（ ）

A． B． C． D．

5、平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）

A．或 B．或

C．或 D．或

6、若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．

7、已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ ）

A． B． C． D．

8、若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ）

A．至多等于 B．至多等于

C．等于 D．大于

二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）

（一）必做题（11~13题）

9、在的展开式中，的系数为 ．

10、在等差数列中，若，则 ．

11、设的内角，，的对边分别为，，．若，，，则 ．

12、某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了

条毕业留言．（用数字作答）

13、已知随机变量服从二项分布，若，，则 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）

14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为 ．

15、（几何证明选讲选做题）如图，已知是圆的直径，，是圆的切线，切点为，．过圆心作的平行线，分别交和于点和点，则 ．

三、解答题

16.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知向量

(1) 若，求的值；

(2) 若与的夹角为，求的值.

17. （本小题满分12分）

某工厂36名工人年龄数据如下表

（1） 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

（2） 计算（1）中样本的均值和方差；

（3） 36名工人中年龄在和之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？

18.（本小题满分14分）

如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，点是的中点，点分别在线段上，且.

(1) 证明：；

(2) 求二面角的正切值；

(3) 求直线与直线所成角的余弦值.

19. （本小题满分14分）

设，函数

(1) 求的单调区间；

(2) 证明在上仅有一个零点；

(3) 若曲线在点P处的切线与x轴平行，且在点处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：.

20. （本小题满分14分）

已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A、B.

(1) 求圆的圆心坐标；

(2) 求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

(3) 是否存在实数k,使得直线与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.

21. （本小题满分14分）

数列满足：.

(1) 求的值；

(2) 求数列的前 n项和；

(3) 令证明：数列的前项和满足

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）参考答案

2015年广东高考理科数学试题及答案（完整版）