课题28　图形的轴对称与平移

A组　基础题组

一、选择题

1.(2018石家庄模拟)下列“小鱼”中,哪个可以通过如图所示的“小鱼”平移得到(　　)

2.(2018唐山丰南模拟)点M(3,2)关于y轴对称的点的坐标为(　　)

A.(-3,2) B.(-3,-2)

C.(3,-2) D.(2,-3)

3.(2018衡水模拟)在直角坐标系中,将点(-2,3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是(　　)

A.(4,-3) B.(-4,3)

C.(0,-3) D.(0,3)

4.(2017唐山玉田一模)如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD,长AB=50米,宽BC=25米,为方便游人观赏,公园特意修建了图中所示的小路(图中非阴影部分),小路的宽均为1米,小明沿着小路的中间,从出口A到出口B所走的路线(图中虚线)长为(　　)

A.100米 B.99米

C.98米 D.74米

5.(2018河北模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,点E、F分别是边BC、AD上一点,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C、D分别落在点C'、D'处.若C'E⊥AD,则EF的长为(　　)

A.3 cm B.6 cm C.6cm D.12 cm

6.(2018河北模拟)如图,将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到△DEF,则四边形ABFD的周长是(　　)

A.8 B.10 C.12 D.16

二、填空题

7.(2017邯郸丛台模拟)将点P(-3,y)向下平移3个单位长度,向左平移2个单位长度后得到点Q(x,-1),则x+y=　　　　. 

8.如图,在矩形ABCD中,AD=10,CD=6,E是CD边上一点,沿AE折叠△ADE,使点D恰好落在BC边上的F处,M是AF的中点,连接BM,则sin∠ABM=　　　　. 

9.(2018河北模拟)如图,直线m是正五边形ABCDE的对称轴,与BD交于F且直线m过点A,则∠1=　　　　. 

10.(2017广西百色中考)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点C在y轴正半轴上,点A的坐标为(2,0),将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位长度,则点C的对应点坐标为　　　　. 

11.(2018邢台模拟)如图,一张三角形纸片ABC,AB=AC=5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点D处,折痕经过AC上的点E,则线段AE的长为　　　　.

三、解答题

12.(2018沧州青县模拟)如图,已知A、B两村庄的坐标分别为(2,2)、(7,4),一辆汽车从原点出发,在x轴上行驶.

(1)汽车行驶到什么位置时,离A村最近,写出此点的坐标为　　　　; 

(2)连接AB,把线段AB向右平移2个单位长度,向下平移3个单位长度,得到线段A'B',试画出线段A'B',并求出A'、B'两点的坐标.

13.(2018秦皇岛抚宁模拟)把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3 cm,BC=4 cm.

(1)求线段DF的长;

(2)连接BE,求证:四边形BFDE是菱形;

(3)求线段EF的长.

B组　提升题组

一、选择题

1.(2018邢台模拟)将一个正方形纸片按图1、图2依次对折后,再按图3打出一个心形小孔,则展开铺平后的图案是(　　)

2.(2018唐山路北模拟)将点P(2m+3,m-2)向上平移1个单位长度得到P',且P'在x轴上,那么点P的坐标是(　　)

A.(9,1) B.(5,-1)

C.(7,0) D.(1,-3)

二、填空题

3.(2018秦皇岛抚宁模拟)如图,在2×2的正方形格纸中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形,这样的三角形共有　　　　个. 

4.(2018唐山古冶期中)如图,有一张直角三角形纸片,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,沿图中所示的中位线剪开后,将两部分拼成一个四边形,所得四边形的周长是　　　　. 

三、解答题

5.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中,给出了四边形ABCD的两条边AB与BC,且四边形ABCD是一个轴对称图形,其对称轴为直线AC.

(1)试在图中标出点D,并画出该四边形的另两条边;

(2)将四边形ABCD向下平移5个单位长度,画出平移后得到的四边形A'B'C'D'.

\

6.(2018邢台柏乡模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于M,交AC于N,连接BN.

(1)若∠ABC=70°,则∠MNA的度数是　　　　; 

(2)若AB=8 cm,△NBC的周长是14 cm.

①求BC的长;

②在直线MN上是否存在P,使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小?若存在,标出点P的位置并求△PBC的周长的最小值;若不存在,说明理由.

答案精解精析

A组　基础题组

一、选择题

1.A　2.A　3.C　

4.C　通过平移可知,小明沿着小路的中间,从出口A到出口B所走的路线长为50+(25-1)×2=98米.

5.C　折叠后点C、D分别落在点C'、D'处,C'E⊥AD,记C'E与AD的交点为G,∴四边形ABEG和四边形C'D'FG是矩形,∴EG=FG=AB=6 cm,即△EFG是等腰直角三角形,∴EF=EG=6 cm.

6.B　根据题意,将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位长度得到△DEF,∴AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC.

又∵AB+BC+AC=8,∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10.故选B.

二、填空题

7.-3　

8.答案　

解析　根据折叠的性质,得AF=AD=10.∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=90°,AB=CD=6.

∵M是AF的中点,∴AM=MF=BM,则∠ABM=∠BAM.

在Rt△ABF中,由勾股定理得BF===8,

∴sin∠ABM=sin∠BAM===.

9.答案　72°

解析　∵正五边形ABCDE的每个内角为108°,∴∠BCD=108°,∵CB=CD,

∴∠BDC=36°.

∵直线m是正五边形ABCDE的对称轴,

∴∠FCD=36°,∴∠1=36°+36°=72°.

10.答案　(1,3)

解析　∵在正方形OABC中,O为坐标原点,点C在y轴正半轴上,点A的坐标为(2,0),∴OC=OA=2,C(0,2),∵将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位,即将正方形OABC向右平移1个单位长度,向上平移1个单位长度,∴点C的对应点坐标是(0+1,2+1),即(1,3).

11.答案　

解析　∵D为BC的中点,AB=AC,

∴AD⊥BC,∠BAD=∠DAE,由折叠的性质知∠DAE=∠EDA,∴∠BAD=∠EDA,∴AB∥DE.∵D是BC的中点,∴E是AC的中点,∴AE=AC=.

三、解答题

12.解析　(1)(2,0).

(2)如图所示,线段A'B'即为所求.

设点A'(m1,n1),B'(m2,n2).

∵点A(2,2),B(7,4),

∴m1=2+2=4,m2=7+2=9,n1=2-3=-1,n2=4-3=1.

∴点A'(4,-1),B'(9,1).

13.解析　(1)由折叠的性质知,BF=DF.

在Rt△DCF中,根据勾股定理,得DF2=CD2+CF2,即DF2=32+(4-DF)2,

解得DF= cm.

(2)证明:由折叠的性质可得∠BFE=∠DFE.

∵AD∥BC,∴DE∥BF,∠BFE=∠DEF.

∴∠DFE=∠DEF.

∴DE=DF.

又∵BF=DF,

∴DE=BF.

∴四边形BFDE是菱形.

(3)连接BD.

在Rt△BCD中,易得EF⊥BD,

BD===5 cm.

∵S菱形BFDE=EF·BD=BF·CD,

∴EF×5=×3,解得EF= cm.

B组　提升题组

一、选择题

1.B　2.B　

二、填空题

3.答案　5

解析　如图所示,与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形有△FBM,△ABE,△AND,△CMN,△BEC共5个,故答案为5.

4.答案　4或2+

解析　在Rt△ABC中,∵∠C=90°,BC=1,∴AB=2,AC=,根据剪开的方法,得CD=AD=,AF=BF=1,DF=.

如图1所示,拼成矩形BCDE,矩形周长为1+1++=2+;

如图2所示,可以拼成平行四边形BCEF,周长为1+1+1+1=4.

综上所述,答案为4或2+.

三、解答题

5.解析　(1)根据轴对称图形的性质,画出点D及四边形ABCD的另两条边,如图所示.

(2)得到的四边形A'B'C'D'如图所示.

6.解析　(1)50°.

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB=70°.

∴∠A=40°.

∵MN是AB的垂直平分线,

∴AN=BN.

∴∠ABN=∠A=40°.

∴∠MNA=50°.

(2)①∵AN=BN,

∴BN+CN=AN+CN=AC.

∵AB=AC=8 cm,

∴BN+CN=8 cm.

∵△NBC的周长是14 cm,

∴BC=14-8=6 cm.

②∵A、B关于直线MN对称,

∴AC与MN的交点即为所求的P点,此时P和N重合,

∴△BNC的周长就是△PBC的周长的最小值,

∴△PBC的周长的最小值为14 cm.

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