三角形的内切圆和外接圆
发布时间:2020-03-25 17:25:17
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三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径.求证 AB·AC=AE·AD.
证:连接AO并延长交圆于点E,连接BE, 则∠ABE=90°.
∵∠E=∠C, ∠ABE=∠ADC=90°,
∴Rt△ABE∽Rt△ADC,
∴5087ec74f4c90b3b47ce0cbe6fbc52aa.png
∴ AB·AC=AE·AD
在锐角△ABC中,外接圆半径为R。求证: 2R=AB/SinC
证:连接AO并延长交圆于点E,连接BE, 则∠ABE=90°.
∴AE=AB/SinE
∵∠C=∠E,SinC =SinE
∴AE=AB/SinC
∴2R=AB/SinC
若C为钝角,则SinC=Sin(180o-C)
例1 已知:如图,在△ABC 中,AC=13,BC=14,AB=15,求△ABC外接圆⊙O的半径r.
word/media/image3.gif分析:作出直径AD,构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE,用方法一就可以求出直径AD.
解:作AE⊥BC,垂足为E.
设CE=x,
∵AC2-CE2=AE2=AB2-BE2 ,∴132-x2=152-(14-x)2
∴x=5,即CE=5,∴AE=12 R=ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8
∴△ABC外接圆⊙O的半径r为5de0abad9afb1ed849c6f737dca0108a.png
例2 已知:在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=5,求△ABC的外接圆的半径R.
分析:通过判定三角形为直角三角形,易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
例3 已知:如图,在△ABC 中,AC=2,BC=3,∠C=60°,求△ABC外接圆⊙O的半径R.
分析:考虑求出角的对边长AB,然后用方法一或方法二解题.
word/media/image5.gif
解:作直径AD,连结BD.作AE⊥BC,垂足为E.
则∠DBA=90°,∠D=∠C=60°,
∠CAE=∠DAB= 90°- 60°=30°
CE=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数(特殊角),求它的外接圆的半径。
用方法二
例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3,求它的外接圆的半径
解 从A作AM⊥BC于M,则
AD2-MD2=A M2
=AC2-(MD+CD)2.即 52-MD2=72-(MD+3)2.
得R=14, 则△ABC外接圆面积S=πR2=196π.
例5 如图3,已知抛物线y=x2-4x+h的顶点A在直线y=-4x-1上,
求①抛物线的顶点坐标;
②抛物线与x轴的交点B、C的坐标;
③△ABC的外接圆的面积.
解 ①A(2,-9);
②B(-1,0); C(5, 0).
③从A作AM⊥x轴交于M点,
则BM=MC=3.AM =9.
∴R=5
△ABC外接圆面积S=πR2=25π
1 ∵S△ABC=1/2(a+b+c)r
∴r=2S△ABC/(a+b+c)
2 Rt△ABC中,r=(a+b-c)/2
1、三角形的外接圆
(1)过三角形三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆,三条边中垂线的交点,叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等.
(2)锐角三角形的外心在三角形内部,钝角三角形的外心在三角形的外部,直角三角形的外心在斜边中点,外接圆半径4e58b8b6f9bfa5d8c1222fbd30f4dc00.png
2、三角形的内切圆
(1)到三角形三条边距离都相等的圆,叫三角形的内切圆,三角形中,三个内角平分线的交点,叫三角形的内心,三角形内心到三条边的距离相等,内心都在三角形的内部.
(2)若三角形的面积为6ce55251d5c806df5438708faf2bc7ea.png
3、圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的对角互补;
(2)圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角.
注意:①圆内接平行四边形为矩形;②圆内接梯形为等腰梯形.
4、两个结论:
圆的外切四边形对边和相等;
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.
(1)一个三角形的内心,外心都在三角形内,则这个三角形一定是( )
A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形
(2)如右图,I是75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png
A、∠BIC=21309901777804a1544feb60223f2acf.png
(3)75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png
(4)直角三角形的两条直角边分别为5和12,那么它的外接圆的半径为 ,内切圆半径为 .
(5)等边三角形内切圆半径,外接圆半径分别为f010d523c4ab0584f910fdb990ffed37.png
(6)圆外切等腰梯形底角为bd76c0b409f1a0fcf2abea803939c12a.png
(7)等边三角形一边长为2,则其内切圆半径等于 .
(8)等边三角形的内切圆半径,外接圆半径的和高的比是 .
(9)75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png
例2.如图,△ABC中,I是内心,AI交BC于D,交△ABC的外接圆于E。
求证:(1)IE=EC,(2)IE2=ED·EA。
word/media/image34.gif
例3.如图,已知75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png
word/media/image38.gif
例4.已知75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png
1.下列命题中,正确的有( )
① 圆内接平行四边形是矩形 ② 圆内接菱形是正方形
③ 圆内接梯形是等腰梯形 ④ 圆内接矩形是正方形
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.在圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=3:5:6,那么∠D=( )
A.80° B.90° C.100° D.120°
3.如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r,那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为( )
A.a508117cd6ea591565284e29f7a6eb32.png
4.如图1,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=110°,则∠BCD=( )
A.125° B.110° C.55° D.70°
word/media/image43.gif
5.如图2,四边形ABCD内接于⊙O,∠ADC=60°,则∠ABC=( )
6.如图3,正方形ABCD内接于⊙O,点P在AD上,则∠BPC为( )
A.35° B.40° C.45° D.50°
word/media/image44.gif7.如图4, 188de06f44053cead6d49f0b9c477f21.png
①∠EFN=∠Q=∠N;②∠EFN+∠P=180°;③EF=PN=MQ;④∠M=∠FEP。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图5,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AD为⊙O的直径,若∠CBE=50°,则圆心角∠AOC =( )
A.50° B.80° C.100° D.130°
word/media/image46.gif
9.设I是△ABC的内心,O是△ABC的外心,∠A=80°,则∠BIC= ,∠BOC= 。
10.若三角形的三边长为5、12、13,则其外接圆的直径长等于 ,其内切圆的直径长为 。
11.直角三角形的一边为a,它的对角是30°,则此三角形的外接圆的半径是 。
12.如图6,⊙I切△ABC于D、E、F,∠C=60°,∠EIF=100°,则∠B= 。
word/media/image47.gif
13.如图7,⊙O内切于Rt△ABC,∠C=90°,D、E、F为切点。若∠AOC=120°,
则∠OAC= ,∠B= ;若AB=2cm,则AC= ,
△ABC的外接圆半径= ,内切圆半径= 。
14.如图8,若弦AD∥BC,∠BAC=70°,∠ABC=80°,则∠ADC= 度,∠ACD= 度。
15.如图9,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,AE⊥CD,若∠ABC=130°,则∠DAE= 。
word/media/image48.gif
16.如图10,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB与DC的延长线交于P。已知∠A=60°,
∠ABC=100°,则∠P= 。
1.下列说法正确的是( )
A.三点确定一个圆 B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆 D.圆有且只有一个内接三角形
2.下列命题中的假命题是( )
A.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
B.三角形的外心到三角形三边的距离相等
C.三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上
D.三角形任意两边的中垂线的交点,是这个三角形的外心
3.下列图形一定有外接圆的是( )
A.三角形 B.平行四边形 C.梯形 D.菱形
4.下列说法正确的是( )
A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B.过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C.过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点
D.过四点A、B、C、D的圆不存在
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离为( )
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
6.等边三角形的外接圆的半径等于边长的( )倍.
A.word/media/image49_1.png B.word/media/image50_1.png C.word/media/image51_1.png D.word/media/image52_1.png
7.三角形的外心具有的性质是( )
A.到三边距离相等 B.到三个顶点距离相等
C.外心在三角形外 D.外心在三角形内
8.对于三角形的外心,下列说法错误的是( )
A.它到三角形三个顶点的距离相等
B.它与三角形三个顶点的连线平分三内角
C.它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径
D.以它为圆心,它到三角形一顶点的距离为半径作圆,必通过另外两个顶点
9.在一个圆中任意引两条直径,顺次连接它们的四个端点组成一个四边形,则这个四边形一定是( )
A.菱形 B.等腰梯形 C.矩形 D.正方形
word/media/image53.gif10.如图所示,圆的内接四边形ABCD,DA、CB延长线交于P,AC和BD交于Q,则图中相似三角形有( )
A、1对 B、2对
C、3对 D、4对
11.∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角,那么一定有( )
A、∠DCE+∠A=21309901777804a1544feb60223f2acf.png
C、∠DCE=∠A `D、∠DCE=∠B
word/media/image56.gif1.△ABC的三边3,2,word/media/image57_1.png,设其三条高的交点为H,外心为O,则OH= .
2.△ABC的外心是它的两条中线交点,则△ABC的形状为 .
3.如图所示,在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png
若∠EAD=93e0df48630576820081d8afbad1c6cc.png
例6 已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O,点P在AB的延长线上,且PC∥BD。
求证:160c44704f02cf853ee0e998e159230c.png