§4 & §5平面截圆锥面 圆锥曲线的几何性质

[对应学生用书P39]

1．平面截圆锥面

(1)当截面β与圆锥面的轴l垂直时，所得交线是一个圆．

(2)任取一平面β，它与圆锥面的轴l所成的夹角为θ(β与l平行时，记θ＝0°)，当θ>σ(σ为圆锥母线与轴交角)时，平面截圆锥面所得交线为椭圆；当θ＝σ时，交线为抛物线；当θ<σ时，交线为双曲线．

2．圆锥曲线的几何性质

抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹，此时定点称为焦点，定直线称为准线．

当e＝1时，轨迹为抛物线；

当0<e<1时，轨迹为椭圆；

当e>1时，轨迹为双曲线．

1．当平面β与圆锥面的轴l所成的夹角为θ＝时，其交线应为什么？

提示：圆

2．由圆锥曲线的统一定义可知，椭圆、双曲线的准线有几条？定义e时，定点与定直线有怎样的关系？

提示：因为椭圆、双曲线各有两个焦点，故其准线有两条．定义e时，定点与定直线是对应的．即右焦点应对应右准线、左焦点对应左准线．

[对应学生用书P40]

[例1]　在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面γ，若它与轴l的交角为β(当γ与l平行时，记β＝0)，求证：β＝α时，平面γ与圆锥的交线是抛物线．

[思路点拨]　本题主要考查平面截圆锥面的曲线的讨论问题．解题时，注意利用条件，结合图形利用抛物线的定义求解．

[精解详析]　如图，设平面γ与圆锥内切球相切于点F，球与圆锥的交线为S，过该交线的平面为γ′，γ与γ′相交于直线m.

在平面γ与圆锥的截线上任取一点P，连接PF.过点P作PA⊥m，交m于点A，过点P作γ′的垂线，垂足为B，连接AB，则AB⊥m，∴∠PAB是γ与γ′所成二面角的平面角．连接点P与圆锥的顶点，与S相交于点Q，连接BQ，则∠BPQ＝α，∠APB＝β.

在Rt△APB中，PB＝PAcos β.

在Rt△PBQ中，PB＝PQcos α.

∴＝.

又∵PQ＝PF，α＝β，∴＝1，

即PF＝PA，动点P到定点F的距离等于它到定直线m的距离，故当α＝β时，平面与圆锥的交线为抛物线．

已知平面与圆锥面的轴的夹角为β，曲线与轴的夹角为α，当α＝β时，平面与圆锥的交线为抛物线．β<α时为双曲线，β>α时为椭圆．讨论曲线类型时注意结合图形．

1．一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴线成60°的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是(　　)

A．椭圆　　　　　　　　 B．双曲线

C．抛物线 D．两条相交直线

解析：选A　如图可知应为椭圆．

[例2]　如图，已知圆锥母线与轴的夹角为α，平面γ与轴线夹角为β，焦球的半径分别为R，r，且α<β，R>r，求平面γ与圆锥面交线的焦距F1F2，轴长G1G2.

[思路点拨]　本题主要考查圆锥曲线的几何性质．由β>α知截线为椭圆．通过数形结合转化到相应平面中求解．

[精解详析]　如图，在Rt△O1F1O中，

OF1＝＝.

在Rt△O2F2O中，OF2＝＝.

∴F1F2＝OF1＋OF2＝.

同理，O1O2＝.在Rt△O1O2H中，

O1H＝O1O2·cos α＝·cos α.又O1H＝A1A2，由切线定理，容易验证G1G2＝A1A2，∴G1G2＝·cos α.

已知圆锥曲线的结构特点，解决有关计算问题，通常利用圆锥曲线结构特点中的数量等式关系，列出方程来解决．

2．已知圆锥母线与轴夹角为60°，平面γ与轴夹角为45°，则平面γ与圆锥交线的离心率是 ，该曲线的形状是 ．

解析：e＝＝.

∵e>1，∴曲线为双曲线．

答案：　双曲线

[例3]　已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF＝2FD，则C的离心率为 ．

[精解详析]　法一：如图，|BF|＝＝a，作DD1⊥y轴于点D1，则由BF＝2FD，得＝＝，

所以|DD1|＝|OF|＝c，

即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e(－)＝a－.

又由|BF|＝2|FD|，

得a＝2a－⇒e＝.

法二：设椭圆方程为第一标准形式＋＝1，

设D(x2，y2)，F分BD所成的比为2，

xc＝⇒x2＝xc＝c；

yc＝⇒y2＝＝＝－，

代入椭圆方程得：＋＝1⇒e＝.

[答案]　

由圆锥曲线的统一定义可知它沟通了焦半径与e的关系，故涉及焦半径问题可考虑使圆锥曲线的定义进行转化．同时注意数形结合思想的应用．

3．点A(x0，y0)在双曲线－＝1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0＝ .

解析：由题知a＝2，b＝4，

则c＝＝6，

所以右准线为x＝＝，

由双曲线的第二定义知＝e，

即＝3，所以2x0＝3x0－2，故x0＝2.

答案：2

本课时考点常用客观题的形式考查圆锥曲线的统一定义及几何性质，属中档题．

[考题印证]

过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝ .

[命题立意]

本题主要考查直线与抛物线的位置关系及抛物线定义的应用．

[自主尝试]　设过抛物线焦点的直线为

y＝k，联立得

整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

x1＋x2＝，x1x2＝.

|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24，

代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0得12x2－13x＋3＝0，

解之得x1＝，x2＝，

又|AF|<|BF|，

故|AF|＝x1＋＝.

答案：

[对应学生用书P41]

一、选择题

1．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离为(　　)

A．　　　　　　　　　　 B．

C．1 D．

解析：选B　右焦点为(1,0)，∴距离为.

2．平面γ与圆锥的轴线平行，圆锥母线与轴线夹角为60°，则平面与圆锥面交线的离心率是(　　)

A．2 B．

C． D．2

解析：选A　e＝＝＝2.

3．平面γ与圆锥的母线平行，那么它们交线的离心率是(　　)

A．1 B．2

C． D．无法确定

解析：选A　由定义知交线为抛物线．

4．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则M的纵坐标是(　　)

A． B．

C． D．0

解析：选B　设M的纵坐标为y，则y＋＝1，∴y＝.

二、填空题

5．设圆锥面V是由直线l′绕直线l旋转而得，l′与l交点为V，l′与l的夹角为α(0°<α<90°)，不经过圆锥顶点V的平面γ与圆锥面V相交，设轴l与平面γ所成的角为β，则

当 时，平面γ与圆锥面的交线为圆；

当 时，平面γ与圆锥面的交线为椭圆；

当 时，平面γ与圆锥面的交线为双曲线；

当 时，平面γ与圆锥面的交线为抛物线．

答案：β＝90°　α<β<90°　β<α　β＝α

6．已知椭圆两准线间的距离为20，长轴长为10，则短轴长为 ．

解析：由⇒a＝5，c＝.

∴2b＝2＝5.

答案：5

7．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，则双曲线方程为 ．

解析：∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.

∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，

∴双曲线方程为x2－y2＝6.

答案：x2－y2＝6

8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是 ．

解析：∵PF1⊥PF2，

∴P在以F1F2为直径的圆上．

∴点P(x，y)满足解得y2＝.

∵|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|y|，

∴4ab＝2c·，解得e＝.

答案：

三、解答题

9．如图，讨论其中抛物线的准线与离心率．

解：由抛物线结构特点知，抛物线上的任意一点P到焦点的距离PF1与到平面γ与γ′的交线m的距离PA相等，

∴e＝＝1.

∴抛物线的准线是m，离心率e＝1.

10．已知双曲线两顶点间距离为2a，焦距为2c，求两准线间的距离．

解：如图，l1，l2是双曲线的准线，F1，F2是焦点，A1，A2是顶点，O为中心．

由离心率定义＝，

∴A1H1＝A1F1.

又A1F1＝OF1－OA1＝c－a，

∴A1H1＝.

∴OH1＝OA1－A1H1，

∴a－＝.

由对称性，得OH2＝，

∴H1H2＝.

11．如图，一个焦球与圆锥面的交线为圆S，记圆S所在的平面为γ′，设γ与γ′的交线为m.在椭圆上任取一点P，连接PF1，在γ中过P作m的垂线，垂足为A，过P作γ′的垂线，垂足为B，连接AB，AB是PA在平面γ′上的射影．在Rt△ABP中，∠APB＝β.

(1)求平面γ与γ′所成二面角的大小；

(2)在所截椭圆上任取一点P，求证：为定值．

解：(1)由已知PB⊥γ′，平面γ′∩平面γ＝m.

∴m⊥PB.又PA⊥m，

∴m⊥面PAB，

∴∠PAB是γ与γ′所成二面角的平面角．

又∠APB＝β，

∴∠PAB＝－β.

(2)证明：由已知PB＝PF1，

∴＝＝sin∠PAB＝cos β为定值．

2018-2019学年度北师大版数学选修4-1教学案：第二章4&5平面截圆锥面圆锥曲线的几何性质