《圆与圆的位置关系》教学设计

烟台市实验中学

孙承崇

一、 教材分析：

本节课是在学习了点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的基础上安排，是对类比的学习方法的进一步加强与巩固，是对学生动手操作能力及互相交流、自主探索能力的进一步发展，使学生具备一定的识图、作图能力，体会数学活动充满着探索性与创造性，也是中考的热点之一。同时本节课又是后续展现的各种相交圆相切圆等复杂题型的认知技能基础。

二、 学情分析：

由于初四学生的理解能力和思维特点等方面，已经逐步趋向定性。且从上一节《直线与圆的位置关系》的学生掌握情况来看，这种个体上的差异导致其对几何建模的形象把握，以及理论的抽象不尽相同，为此我有针对性的进行了课前测试。

通过分析前测结果，我发现约99%的同学，能从现实环境中找出一种两圆或多个圆的图形形象，约100%的同学能画出一种自己理解的两圆位置关系图像，但只有约60%的同学能画出两种或两种以上的两圆位置的实例。另外，约75%的同学能用自己的语言描叙出所画的位置关系，而在探求位置关系和圆的什么元素有关联方面，仅有不到6%的同学能猜想可能和半径有关。对于两圆的具体位置关系则约有26%学生能和直线与圆的位置关系类比出类似名称。由前测中显现的数据，可以看出不同学生对于圆与圆的位置关系认识的程度各不相同。所以本课我选取了恰当的差异合作点，利用形象的多媒体视频，采取班内差异合作的形式开展教学活动，让学生在同桌互助、小组合作中进行自主学习，合作探究，从而达到“以优促弱，互帮互助，共同进步”的目的。

三、 教学目标：

．通过本课时的学习，能够利用学具选择“观察、操作、猜想”等自己喜欢的方法，探究并发现圆与圆的五种位置关系，99%同学认识和熟记它们的名称，90%以上的同学能正确运用所学知识解决问题。

．通过独立思考、同伴互助和小组合作学习的形式，经历探索五种位置关系中两圆圆心距与半径的关系的过程，进一步积累学习经验，增强空间观念，发展数学思维。

．进一步体验数学与生活的联系，感受数学学习的魅力。

四、 教学重难点：

教学重点：探索圆与圆的几种位置关系，了解两圆相切、内切与两圆圆心距d、半径R与r的数量关系的联系。

教学难点：探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d,、半径R与r的数量关系的过程。

五、 教法学法：

通过大量的情景展示、大量差异性训练，引导学生主动参与自主探究，进行归纳抽象出圆与圆的五种位置关系。

通过同桌练习、分层小组讨论等不同的学习形式巩固圆心距与半径之间的数量关系。

六、 教学准备：多媒体课件，三角板，学生准备手工制作的圆形纸板。

七、 教学过程：

一、创设情境、导入新课
　　1．复习提问：
　　（1）直线和圆的位置关系是怎样得来的。课件展示其过程。

圆固定不动，一条直线经过平移，观察交点的个数得来的；

也可以是圆固定不动，在圆外的直线绕着某一点旋转得到的。

（2）填写下表：（以下粗体字为学生填的内容）

r为半径，d为圆心到直线的距离

2．欣赏引入：

  
　　（1）展示日食电视片，创设情境
　　让学生观察日食形成的演示动画，初步形成对圆之间的相对移动形成不同的位置关系的认识。
　　（2）类比法引入：从交点来看直线与圆有三种位置关系，那么平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?这就是我们这节课要学习的内容.(板书课题：圆和圆的位置关系)

【差异关照】在这部分的复习提问环节我让那些基础比较薄弱的同学回答，多数学生能较准确的回答，这时我就用夸张的语言来表扬他，如你真棒，回答的非常准确等，树立其自信心，为其学好本节课做好情感铺垫。视频的引入能吸引那些注意力不集中地同学，让他们能从视频中感到趣味盎然，引起对这节课强烈的兴趣。

二．过程探索

1、观察两圆相对运动

在电脑上把日食过程用两个圆的相对运动用慢镜头展示出来，让同学们观察有几种位置关系。

2、学生操作

同学们把课前准备好的两个圆形纸板拿出来，让一个圆固定，另一个圆慢慢移动，观察交点个数，能得出几种位置关系。然后电脑展示下列过程。

3、给以上五种情况分别给出定义（电脑显示）

提问：两同心圆是内含吗？

【差异关照】此环节找了两名平日较为好动的同学上讲台给全体学生演示，充分发挥他们爱表现的特点，又分别找几名较羞涩但语言表达好的同学来根据两位同学展示的来填表。

4、按交点个数分类（类比直线与圆的位置关系分类）电脑显示

相离（无共点） 相切（有一个公共点） 相交（两个公共点）

【差异关照】这环节我找的是一个“中游生”，提示其和直线与圆的位置关系类比进行分类，第一个学生回答不全，我在给予其鼓励的同时，又找了一个“中游生”引导其从交点的个数来看，这名学生回答的比较准确。

5、探究相切两圆的性质.

用电脑投影出示下图，并演示这两个图形沿着通过两圆圆心的直线折叠的过程，让学生观察连心线与切点的关系怎样?

在学生回答的基础上，教师指出：通过观察，我们发现，相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆圆心的直线叫连心线是它们的对称轴，由此，我们得到相切两圆的连心线的性质：

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.

6、举例说明现实生活中有关位置关系的图形（电脑显示）

（１）外离：汽车中前后两个轮胎

（２）外切：两个篮球放在一起、齿轮

（３）相交：奥运五环

（４）内切：齿轮

（５）内含：火锅桌

【差异关照】这一环节我全找的是“下游生”，让他们大胆的说，并采用全班鼓掌的方法，肯定他们的表现。刚开始是我指定几个“下游生”,后来就有好几名这类学生自己主动的举手回答，效果很好。

三、探索两圆位置关系的数量特征.

设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，用电脑或投影再次出示两圆的五种位置关系，让

学生观察R，r和d之间有何数量关系?

根据上述图形让学生观察，引导学生易得出它们的性质和判定：

【差异关照】本环节我先让同学们分组讨论，每组4名同学，分别搭配一名“上游生”，一名“中游生”，一名“中下游”，一名“下游生”，这样在讨论中兼顾了各类学生，充分利用这种差异化的模式，让每位学生都能动起来，同时也能提高各类学生的兴奋度。同时又在黑板电视屏幕上预设了flash动画演示模板，每个小组都可上讲台亲身体验。学生们热情很高，讨论的很兴奋。讨论完毕，我让一名语言表达能力高的“上游生”和一名“中下游”临时充当“小主持人”，模仿老师的口吻站在讲台上，提问同学们讨论的结果，提问时要求他们兼顾各类学生，另一名学生负责将同学们回答的答案填到表格中。这位同学模拟的很好，不时对回答较好的同学给予口头表扬和鼓励，其他同学也集体鼓掌。整个过程生动有趣，参与度很高，同学们的热情都带动了起来。

记忆方法：（教师点拨）

先算出两圆的半径之和与差，再与圆心距比较，落在不同范围内的值就有不同的位置关系。请记住下列数轴表示出来的范围。

四、例题分析 课堂练习

例 如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP＝8厘米.

求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?

(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?

分析：⊙O与小圆⊙P相外切，此时OP＝OA+AP可推出AP＝OP-OA；⊙O与大圆⊙P相内切，则有OP＝BP-OB.可推出BP＝OP+OB.问题得以解决.

【差异关照】例题的第一问我采用“生带生”的方法，让一“上游生”讲解解题思路和步骤，教师板演。第二问我让一位“中游生”到黑板前讲解，虽然她有点小拘谨，但她敢于展示自我的勇气和清晰明确的讲解，让同学们刮目相看，也是我没有想到的。

五、学生练习

练习1 (投影打出)

⊙O1和⊙O2的半径分别为3厘米和4厘米，填写下表。

(由学生进行口答，强化前边所学知识)

【差异关照】多数是由“下游生”抢答的，有个学生为了能回答，手举得高高的。

练习2 (投影打出)

判断下列正误

（１）两圆没有公共点，则两圆外离（　　　）

（２）两圆只有一个公共点，则两圆相切（　　　　）

（３）相切两圆半径分别是2和4,则圆心距是6（　　　）

（４）相切两圆的连心线必过切点（　　　）

（５）两圆的连心线所在的直线一定是两圆的公共对称轴（　　　）

练习3

有一块矩形木板长25cm，宽18cm，木匠师傅已经在木板上锯下了一个最大的圆⊙O1，为了不浪费木料，木匠师傅要在余下的木料中再锯下一个最大的圆，则木匠师傅在余下的木料中锯下的那个最大圆的半径是多少？

【差异关照】这道练习题是本节知识点的拓展应用，本身预设就是给“中游”以上学生准备的，实际的结果，这道题的达成度非常高，达到的80%的正确率。

六、小结

由师生共同从以下几方面进行小结：

(1)这节课我们主要学习了两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，以

及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系；还学习了两圆相切时切点在连心线上的

性质.

(2)对于圆与圆的位置关系，我们是在将两圆放在同一平面内运动状态下，通过观察、

分析、比较、判断而得到的.

(3)圆心距和两圆半径之间的数量关系是性质也是判定，应用时注意区分.

【差异关照】本环节我让学生自己总结，老师实时关照到有语言障碍的学生，关照到思路清晰、表达清楚的学生，也关照到有些紧张的自信心不足的学生，从学生语言能力、思维品质、心理素质等方面来处理学生之间的差异，并采用了鼓掌激励、口头表扬等具体对策对各类学生的表现及时肯定，效果较好。

七、当堂检测

A类：⊙O1与⊙O2的半径分别为R、r，圆心距d，在下列情况下，两个圆的位置关系如何？（a级题）

1、R=6cm   r=3cm   d=4cm             

2、R=6cm   r=3cm   d=0cm             

3、R=3cm   r=7cm   d=4cm             

4、R=1cm   r=6cm   d=7cm             

5、R=6cm   r=3cm  d=10cm

6、R=3cm   r=5cm   d=1cm             

B类：7、若半径为1和2的两圆外切，那么与这两个圆都相切且半径为3的圆的个数为

A、2 B、3

C、4 D、5

8、两圆既不相交也不相切，半径分别为3和5,则两圆的圆心距d的取值范围为（ ）

A、 B、 C、 D、

9、已知两圆的半径分别为3和7,且这两圆有公共点，则这两个圆的圆心距d为（ ）

A、4 B、4或10 C、10 D、

【差异关照】面向全体学生，让各层次学生均有所得。检测结果显示达成度为86%。

八、作业设计

1、如果两个圆的半径长分别是方程的两实根，且圆心距是5,则这两圆的位置关系是

2、如果相切两个圆的半径长分别是3和5,则圆心距为

3、如果两个圆的半径长分别是R、r，圆心距为d，且，则这两圆的位置关系是

4、两圆的半径之比为3：5,当两圆内切时，圆心距是4,则两圆外切时，圆心距为

5、⊙O从直线AB上的点A（圆心O与A重合）出发，沿直线AB以1㎝/秒的速度向右运动，（圆心O始终在直线AB上）。已知线段AB＝6㎝, ⊙O、⊙B的半径分别为1㎝和2㎝.当两圆相交时，⊙O的运动时间t（秒）的取值范围为

【差异关照】作业的设计中我分基础性和拓展性，将这种差异化教学元素细化到作业中，照顾到大多数的学生，让每个学生各尽其能，提高其学数学的热情和信心。

八、 教后反思：

1、在教学中教师不要只强调结论，要关注学生的动手操作过程，关注他们互相交流的过程，看学生是否能积极的投入到数学活动中去，在他们困难的时候要适时地给予帮助，要多加鼓励，提高他们学习数学的兴趣。

2、本节课的思维误区正是当两圆相切时，只理解为“外切”或“内切”中的一种，由于对图形的位置意识不强，受思维定势的影响，常忽略其中一种造成错误。在教学中要通过多媒体演示让学生深刻理解“相切”时位置关系，在作图或计算题中要考虑全面，分类讨论，培养学生严密的思维习惯。

3、在检测环节中所剩时间太少，课堂上出现了前松后紧的现象，其原因在于在基础环节中，因为同学积极发言，导致过程拖沓，另外采用主持人的做法，参与学生不熟练进行的太慢，而且有多个小组的讨论不认真敷衍，因此主持人提问时回答不准确而消耗太多时间。如何调动这部分学生的积极性，在课堂上既给予关照，又不影响教学进程，这是今后要突破的问题。今后在处理学生差异化模式我将和深入推进“和谐高效思维对话”型课堂建设相契合，把思维差异的处理作为一个重点来深入研究学习。

《圆与圆的位置关系》教学设计