2013年福建省宁德市中考数学试卷

一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确答案）

1．（2013宁德）﹣5的绝对值是（　　）

　 A．5 B．﹣5 C． D．﹣

考点：绝对值．

分析：根据绝对值的性质求解．

解答：解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|=5．故选A．

点评：此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．　

2．（2013宁德）计算a3a2的结果是（　　）

　 A．2a5 B．a5 C．a6 D．a9

考点：同底数幂的乘法．

分析：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求得答案．

解答：解：a3a2=a5．

故选B．

点评：此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．　

3．（2013宁德）根据市委建设“六新大宁德”的目标，到2017年全市公路通车里程增加到10500千米，将10500用科学计数法表示为（　　）

　 A．10.5×103 B．0.105×105 C．1.05×104 D．1.05×105

考点：科学记数法—表示较大的数．

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答：解：将10500用科学记数法表示为：1.05×104．

故选：C．

点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　

4．（2013宁德）为了解某射击运动员的射击成绩，从一次训练中随机抽取了了该运动员的10次射击成绩，纪录如下；8，9，8，8，10，9，10，8，9，10．这组数据的极差是（　　）

　 A．9 B．8.9 C．8 D．2

考点：极差．

分析：根据极差的定义即可求得答案．

解答：解：这组数据的最大数是10，最小数是8，

则这组数据的极差是10﹣8=2；

故选D．

点评：此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．　

5．（2013宁德）如图，DE∥AC，∠D=60°．下列结论正确的是（　　）

　 A．∠ABD=30° B．∠ABD=60° C．∠CBD=100° D．∠CBD=140°

考点：平行线的性质．

分析：根据平行线的性质由DE∥AC得∠ABD=∠D=60°，然后根据平角的定义得到计算∠CBD．

解答：解：∵DE∥AC，

∴∠ABD=∠D=60°，

∴∠CBD=180°﹣∠ABD=120°．

故选B．

点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．　

6．（2013宁德）掷一枚均匀的骰子，下列属于必然事件的是（　　）

　 A．朝上的数字小于7 B．朝上的数字是奇数

　 C．朝上的数字是6 D．朝上的数字大于6

考点：随机事件．

分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可解答．

解答：解：A．是必然事件；

B．是随机事件，选项错误；

C．是随机事件，选项错误；

D．是不可能事件，选项错误．

故选A．

点评：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．　

7．（2013宁德）如图，△ABC∽CAED，∠ADE=80°，∠A=60°，则∠C等于（　　）

　 A．40° B．60° C．80° D．100°

考点：相似三角形的性质．

分析：根据相似三角形的性质：对应角相等．

解答：解：∵△ABC∽CAED，

∴∠C=∠ADE=80°，

故选C．

点评：本题考查了相似三角形的性质，题目比较简单．　

8．（2013宁德）如图所示的正三棱柱的主视图是（　　）

　 A． B． C． D．

考点：简单几何体的三视图．

分析：主视图是分别从物体正面看所得到的图形．

解答：解：从几何体的正面看所得到的形状是矩形，中间有一道竖直的虚线，

故选：D．

点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．　

9．（2013宁德）如图所示的两圆位置关系是（　　）

　 A．内含 B．内切 C．相交 D．外切

考点：圆与圆的位置关系．

分析：根据圆与圆的位置关系的知识求解即可求得答案．

解答：解：如图，两圆位置关系是：相交．

故选C．

点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．　

10．（2013宁德）如图，是用围棋子摆出的图案（用棋子的位置用用有序数对表示，如A点在（5，1）），如果在摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（　　）

　 A．黑（3，3），白（3，1） B．黑（3，1），白（3，3） C．黑（1，5），白（5，5） D．黑（3，2），白（3，3）

考点：利用旋转设计图案；坐标确定位置；利用轴对称设计图案．

分析：首先根据各选项棋子的位置，进而结合轴对称图形和中心对称图形的性质判断得出即可．

解答：解：A．当摆放黑（3，3），白（3，1）时，此时是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项错误；

B．当摆放黑（3，3），白（3，1）时，此时是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确；

C．当摆放黑（1，5），白（5，5）时，此时不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项错误；

D．当摆放黑（3，2），白（3，3）时，此时是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项错误．

故选：B．

点评：此题主要考查了坐标确定位置以及轴对称图形与中心对称图形的性质，利用已知确定各点位置是解题关键．　

二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）

11．（2013宁德）若∠a=35°，则∠a的补角是 ．

考点：余角和补角．

分析：相加等于180°的两角称作互为补角，也作两角互补．即一个角是另一个角的补角．因而，求这个角的补角，就可以用180°减去这个角的度数．

解答：解：∠α的补角=180°﹣35°=145°．

故答案为：145°．

点评：本题考查了补角的和等于180°的性质，需要熟练掌握．　

12．（2013宁德）计算：= ．

考点：实数的运算；零指数幂．

分析：根据零指数幂的意义得到原式=1﹣2，然后进行减法运算．

解答：解：原式=1﹣2

=﹣1．

故答案为﹣1．

点评：本题考查了实数的运算：实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．也考查了零指数幂．　

13．（2013宁德）分解因式：a2+2a+1= ．

考点：因式分解-运用公式法．

分析：符合完全平方公式的结构特点，利用完全平方公式分解因式即可．

解答：解：a2+2a+1=（a+1）2．

点评：本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．　

14．（2013宁德）六边形的外角和是 ．

考点：多边形内角与外角．

分析：根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．

解答：解：六边形的外角和是360°．

故答案为：360°．

点评：考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关．　

15．（2013宁德）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE= ．

考点：三角形中位线定理．

分析：由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．

解答：解：∵D、E是AB、AC中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴ED=BC=3．

故答案为3．

点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．　

16．（2013宁德）如图，在距离树底部10米的A处，用仪器测得大树顶端C的仰角∠BAC=50°，则这棵树的高度BC是 米（结果精确到0.1米）．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析：根据已知得出tan50°=，进而求出大树的高BC即可．

解答：解：∵由A点测得大树BC的顶端C的仰角为60°，A点到大树的距离AB=10m，

∴∠BAC=50°，

∴tan50°=，

∴BC=10tan50°≈10×1.192=11.92≈11.9米．

故答案为：11.9．

点评：此题考查了解直角三角形的应用，利用仰角的定义，利用直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键．　

17．（2013宁德）袋中装有一个红球和一个白球，他们除了颜色外其它都相同，随机从中摸出一个球，记录下颜色后放回袋中充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 ．

考点：列表法与树状图法．

分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解答：解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，两次都摸到红球的有1种情况，

∴两次都摸到红球的概率是：．

故答案为：．

点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．　

18．（2013宁德）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是 ．

考点：翻折变换（折叠问题）；弧长的计算．

分析：根据翻折变换的性质以及△ABC是等腰直角三角形判断出点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，然后利用弧长公式列式计算即可得解．

解答：解：∵∠C=90°，AC=BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

如图，点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，

路径长==2π．

故答案为：2π．

点评：本题考查了翻折变换的性质，弧长的计算，判断出点D的路径是扇形是解题的关键．　

三．解答题（本大题共8小题，满分86分，作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）

19．（2013宁德）计算：•﹣b

考点：分式的混合运算．

分析：先算乘法，再算减法，即可得出答案．

解答：解：原式=•﹣b

=•﹣b

=a+b﹣b

=a．

点评：本题考查了分式的混合运算，主要考查学生的化简和计算能力．　

．（2013宁德）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上；

．

考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

分析：求出两个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．

解答：解：∵解不等式3x＞2x﹣1得：x＞﹣1，

解不等式2（x﹣1）≤6得：x≤4，

∴不等式组的解集是﹣1＜x≤4，

在数轴上表示不等式组的解集为：．

点评：本题考查了解一元一次不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．　

20．（2013宁德）如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，

求证：△ABC≌△CDE．

考点：全等三角形的判定．

分析：首先根据AB∥CE可得∠BAC=∠DCE，再加上条件AB=CD，∠B=∠D可利用ASA定理证明三角形全等．

解答：证明：∵AB∥CE，

∴∠BAC=∠DCE，

在△ABC和△CDE中，

，

∴△ABC≌△CDE（ASA）．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．　

21．（2013宁德）水是生命之源、是人类赖以生存且无可替代的营养物质，小明同学根据科学家研究成果，将一个成年人每天需水量来源绘制成如图所示的统计图：

请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）统计图1中，食物所在扇形的圆心角是 ；

（2）成年人一日需水量是 毫升；

（3）补全统计图2；

（4）若阳光中学有教师130人，则该校教师一日饮水量约需 毫升．

考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；图表型．

分析：（1）求出食物所占的百分比，然后乘以360°即可；

（2）用饮水的量除以所占的百分比，计算即可得解；

（3）用一日需水量减去饮水和内生水即为食物提供的水，然后补全统计图即可；

（4）用总人数乘以一个成年人一日的需数量，计算即可得解．

解答：解：（1）（1﹣12%﹣48%）×360°=144°；

（2）1200÷48%=2500毫升；

（3）食物的需水量：2500﹣1200﹣300=1000毫升；

（4）130×2500=325000毫升．

故答案为：144；2500；325000．

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　

22．（2013宁德）初中毕业班质量考试结束后，老师和小亮进行了对话．

老师：你这次质检语数英三科总分338分，据估计今年要上达标校，语数英三科总分需达到368分，你有何计划？

小亮：中考时，我语文成绩保持123分，英语成绩再多18分，数学成绩增加10%，则刚好达到368分．

请问：小亮质检英语、数学成绩各多少？

考点：二元一次方程组的应用；应用题．

分析：设小亮的英语成绩为x分，数学成绩为y分，等量关系为：语文成绩+数学成绩+英语成绩=338，语文成绩+英语成绩+18+数学成绩×（1+10%）=368，列出方程组，求解即可．

解答：解：设小亮的英语成绩为x分，数学成绩为y分，

由题意得，，

解得：，

答：小亮质检英语成绩为95分，数学成绩为120分．

点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．　

23．（2013宁德）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．

如图1，矩形ABOC的周长与面积相等，则点A是“和谐点”

（1）判断点E（2，3），F（4，4）是否为“和谐点”；

（2）如图2，若点P（a，b）是双曲线y=上的“和谐点”，求满足条件的所有P点坐标．

考点：反比例函数综合题；新定义．

分析：（1）利用和谐点的定义直接判断得出即可；

（2）利用和谐点的定义，得出18=2|x+|，进而求出即可．

解答：解：（1）根据在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”，

∵点E（2，3），2×（2+3）=10，2×3=6，

∴10≠6，

∴E点不是“和谐点”，

∵点F（4，4），2×（4+4）=16，4×4=16，

∴16=16，

∴F点是“和谐点”；

（2）设P点坐标为：（x，），由题意得出：18=2|x+|，

当18=2（x+）

整理得出：x2﹣9x+18=0，

解得：x1=3，x2=6，

当﹣18=2（x+）

整理得出：x2+9x+18=0，

解得：x3=﹣3，x4=﹣6，

∴P点坐标为：（3，6），（6，3），（﹣3，﹣6），（﹣6，﹣3）．

点评：此题主要考查了新定义以及反比例函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据定义得出正确信息是解题关键．　

24．（2013宁德）如图，梯形ABCD，AD∥BC，AD=2，AB=4，BC=3．梯形ABCD绕CD的中点O顺时针旋转180°后的图形与原图形构成四边形ABEF．

（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；

（2）四边形EFGH固定不动，梯形ABCD沿AF方向平移多少后，使得AE⊥BF，并简述理由．

考点：几何变换综合题；梯形；旋转的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；平移的性质．

分析：（1）利用两组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出即可；

（2）利用（1）中所求以及菱形的判定与性质进而得出即可．

解答：（1）证明：∵梯形ABCD绕CD的中点O顺时针旋转180°后的图形与原图形构成四边形ABEF，

∴AD=CE，DF=BC，∠FDC=∠DCB，

∴AF=BE，AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形；

（2）解：梯形ABCD沿AF方向平移1个单位后，使得AE⊥BF；

理由：当AE⊥BF时，由（1）得出四边形ABEF是平行四边形；

则四边形ABEF是菱形，即四边相等，

∵AD=2，AB=4，BC=3，

∴当AF=4时，四边形ABEF是菱形，

∴梯形ABCD沿AF方向平移1个单位后，AF=4，此时使得AE⊥BF．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质等知识，根据菱形的性质得出AF的长是解题关键．　

25．（2013宁德）如图1，点A在∠B的边BG上，AC⊥BH于C，AB=5，sin∠B=，点P是∠B的边BH上任意一点，连接AP，以AP为直径画⊙O．

（1）若BH与⊙O相切，则BP= ；

（2）若BP=，求证：BC与⊙O相切；

（3）若AP平分∠GAC，⊙O交射线BG于E，请在图2中，画出符合条件的⊙O，并确定此时BP的值．

考点：圆的综合题；压轴题；圆的切线的判定；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

分析：（1）根据切线的性质可得AP⊥BH，再根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得AP、AC重合，然后解直角三角形求出BC即为BP的长度；

（2）求出CP，然后根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似求出△ABC和△PAC相似，根据相似三角形对应角相等可得∠B=∠PAC，再根据∠B+∠BAC=90°求出∠PAC+∠BAC=90°，从而得到PA⊥BC，再根据切线的定义证明即可；

（3）作∠GAC的平分线交BH于P，以AP为直径作⊙O即可，连接PE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEP=90°，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EP=CP，然后求出△ABC和△PBE相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EP，再根据BP=BC+CP计算即可得解．

解答：（1）解：∵BH与⊙O相切，AP是⊙O的直径，

∴AP⊥BH，

∵AC⊥BH，

∴AP、AC重合，

∴BP=BC，

∵AB=5，sin∠B=，

∴AC=5×=3，

BC===4，

故BP=4；

（2）证明：∵BP=，

∴CP=BP﹣BC=﹣4=，

∵==，=，

∴=，

又∵∠ACB=∠PCA=90°，

∴△ABC∽△PAC，

∴∠B=∠PAC，

∵∠B+∠BAC=90°，

∴∠PAC+∠BAC=90°，

∴PA⊥BC，

∴BC与⊙O相切；

（3）解：如图，∵AP是⊙O的直径，

∴∠BEP=90°，

∵AP平分∠GAC，

∴EP=CP，

在Rt△ACP和Rt△AEP中，

，

∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL），

∴AE=AC=3，

∴BE=AB+AE=5+3=8，

∵∠B=∠B，∠ACB=∠BEP=90°，

∴△ABC∽△PBE，

∴=，

即=，

解得EP=6，

∴BP=BC+CP=BC+EP=4+6=10．

点评：本题是圆的综合题型，主要利用了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，本题灵活运用相似三角形是解题的关键．　

26．（2013宁德）如图，在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣3x与经过点B（0，6）的直线相交于x轴上点A（3，0），P为线段AB上一动点（P点横坐标为t，且与点A、B不重合），过P作x轴垂线，交抛物线于Q点，连接OP，OQ，QA．

（1）写出直线AB表达式；

（2）求t为何值时，△POQ为等腰直角三角形；

（3）设四边形APOQ面积为S．求S与t的函数关系式，并求S的整数值的个数．

参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点是（﹣，），对称轴是直线x=﹣．

考点：二次函数综合题；综合题．

分析：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B代入计算求出k与b的值，即可确定出直线AB解析式；

（2）若三角形POQ为等腰直角三角形，根据题意得到|PQ|=2t，将x=t代入直线AB解析式求出P纵坐标，将x=t代入抛物线解析式求出Q纵坐标，两纵坐标相减的绝对值即为|PQ|，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；

（3）四边形APOQ的对角线互相垂直，由OA与PQ乘积的一半表示出S与t的关系式，求出S的整数值个数即可．

解答：解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，

将A（3，0），B（0，6）代入得：，

解得：，

则直线AB解析式为y=﹣2x+6；

（2）将x=t代入直线AB解析式得：y=﹣2t+6；将x=t代入抛物线y=x2﹣3x解析式得：y=t2﹣3t，

∴|PQ|=﹣2t+6﹣t2+3t=﹣t2+t+6，

若△POQ为等腰直角三角形，则有2t=﹣t2+t+6，即t2+t﹣6=0，

解得：t=2或t=﹣3（舍去），

则t=3时，△POQ为等腰直角三角形；

（3）∵OA⊥PQ，

∴S=|OA|•|PQ|=×2×（﹣t2+t+6）=﹣t2+t+6，

∵0＜S＜6，∴S的整数值可能为1，2，3，4，5，6，

当S=1，2，3，6时，求出的t值不在范围0＜t＜3中，舍去，

当S=4时，求出t=2；当S=5时，求出t=，

则S的整数值有2个．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，对角线互相垂直的四边形面积求法，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．　

2013年福建省宁德市中考数学试卷（解析版）