【刷子千题大典第 001 题】

如图， F 为正方形 ABCD 边 CD 上一点，连接 AC 、 AF ，延长 AF 交 AC 的平行线 DE 于点 E ，且

AE = AC ，连接 CE 。求证： CE = CF 。

A Dword/media/image1.gif

F

E

B C

【刷子千题大典第 002 题】

已知： ∆ABC 中， AB = AC ， ∠BAC = 20︒ ， ∠BDC = 30︒ 。求证： AD = BC .

Aword/media/image2.gif

D

B C

【刷子千题大典第 003 题】

已知： ∆ABC 中， D 为 AC 边的中点， ∠A = 3∠C ， ∠ADB = 45︒ 。求证： AB ⊥ BC

B

word/media/image3.gifA D C

【刷子千题大典第 004 题】

如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、BD 交于点 E ，∠BAC = 50︒ ，∠ABD = 60︒ ，∠CBD = 20︒ ，

∠CAD = 30︒ ， ∠ADB = 40︒ 。求 ∠ACD 。

A

word/media/image4.gifB E

D

C

【刷子千题大典第 005 题】

已知， ∠ABC = 30︒ ， ∠ADC = 60︒ ， AD = DC 。求证： AB2 + BC 2 = BD2

A

word/media/image5.gifB

D

C

【刷子千题大典第 006 题】

已知：在 ∆ABC 中， AB = AC ， ∠A = 80︒ ， ∠OBC = 10︒ ， ∠OCA = 20︒ 。求证： AB = OB

word/media/image6.gifA

O

B C

【刷子千题大典第 007 题】

已知：正方形 ABCD 中， ∠OAD = ∠ODA = 15︒ ，求证： ∆OBC 为正三角形。

word/media/image7.gifA D

O

B C

【刷子千题大典第 008 题】

已知：正方形 ABCD 中，E 、 F 为 AD 、DC 的中点，连接 BE 、 AF ，相交于点 P ，连接 PC 。求证：

PC = BC 。

A E Dword/media/image8.gif

P

F

B C

【刷子千题大典第 009 题】

如图，∆ACB 与 ∆ADE 都是等腰直角三角形，∠ADE = ∠ACB = 90︒ ，∠CDF = 45︒ ，DF

交 BE 于 F ，求证： ∠CFD = 90︒ .

Aword/media/image9.gif

D

E

F

C B

【刷子千题大典第 010 题】

如图，四边形 ABCD 各边都相等，∠ABC = 60︒ ，FD 与 BA 延长线交于 E 点，延长 BC 至 F ，

连接 FA 、 CE ，交点为 M ，连接CA 。求证： CA2 = CM ⋅ CE 。

Fword/media/image10.gif

C D

M

B A E

【刷子千题大典第 011 题】

如图，三角形 ABC ，D 为 BC 上的点，过 B 作 BE ⊥ AE ，交 AD 延长线于 E ，作 CF ⊥ AD

交 AD 于 F ， G 为 BC 中点，连接 FG 与 GE 。求证： FG = GE .

Aword/media/image11.gif

F

C G D B

E

【刷子千题大典第 012 题】

设 ∆ABC 中， ∠BAC = 60︒ ， ∠ATC = ∠BTC = ∠CTA = 120︒ ，点 M 是 BC 的中点。 求证：TA + TB + TC = 2 AM

Aword/media/image12.gif

T

B M C

【刷子千题大典第 013 题】

已知：∆ABC 中，∠CBA = 2∠CAB ，∠CBA 的角平分线 BD 与 ∠CAB 的角平分线 AD 相交 于点 D ，且 BC = AD 。求证： ∠ACB = 60︒ 。

Cword/media/image13.gif

D

B A

【刷子千题大典第 014 题】

如图，四边形 ABCD 中，BC = CD ，∠BCA = 21︒ ，∠CAD = 39︒ ，∠CDA = 78︒ ，求 的度数。

∠BAC

Cword/media/image14.gif

B

A D

【刷子千题大典第 015 题】

已知： AB = AC ， ∠ADB = 60︒ ， ∠BCE = 30︒ 。求证： BA = BE 。

Aword/media/image15.gif

E D

B C

【刷子千题大典第 016 题】

已知：直角三角形 ABC ， ∠A 为直角， I 为内心， BD 、 CE 分别为两内角平分线。

∆IBC 的面积为 S 。求四边形 BCDE 的面积。

Aword/media/image16.gif

E D

I

B C

【刷子千题大典第 017 题】

已知 AB = AC = CD = DE ，且 BE = BD ，求 ∠EBD 的度数。

Aword/media/image17.gif

E

D B C

【刷子千题大典第 018 题】

如图，∆ABC ≌ ∆CDE ，∠D = ∠ABC = 90︒ ，点 B 在CD 上， AB 、CE 交于 F ，过 B 作

BG ⊥ AC 于 G ，交 CE 于 H ，连接 AH 并延长，交CD 于 I ，设

AB = x ，BC = y 。（

x > y ）

BC

word/media/image18.gifword/media/image19.emf求：（1） AH 的长（用 x ， y 表示）；（2）

IC

的值。

A

word/media/image20.gifE

F G H

D B I C

【刷子千题大典第 019 题】

如图，四边形 ABCD 中，AD = CD ，∠BAC = 10︒ ，∠ABD = 50︒ ，∠ACD = 20︒ ，求 的度数。

∠CBD

B

word/media/image21.gifA C

D

【刷子千题大典第 020 题】

如图， BD = CE ， G 、 H 为 BC 、 DE 中点， AB = AC ， FD = FE ， ∠BAC = ∠DFE 。 求证： AF // GH 。

A Bword/media/image22.gif

G

C

F

D

H

E

【刷子千题大典第 021 题】

如图，在正方形 ABCD 中，有任意四点 E 、F 、G 、H ，且 的面积为 5 ，求正方形 ABCD 的面积。

EF = 4 、GH = 3 ，四边形 EFGH

A E Dword/media/image23.gif

G

H

B F C

【刷子千题大典第 022 题】

已知 2∠C = 3∠B ， 2BC = AB ，求 ∠A 。

C

word/media/image24.gifA B

【刷子千题大典第 023 题】

在 ∆ABC 中， ∠B = 46︒ ， D 是 BC 边上一点， DC = AB ， ∠DAB = 21︒ ，求 ∠C 。

A

word/media/image25.gifB D C

在 ∆ABC

中， AB = AC

【刷子千题大典第 024 题】

， D 为 BC 边 上 一 点 ， E 为 AD 上 一 点 ， 且 满 足

∠BDE = 2∠CED = ∠BAC 。求证： BD = 2CD 。

Aword/media/image26.gif

E

B D C

【刷子千题大典第 025 题】

word/media/image27.gif如图，∆ABC 中，∠BAC = 60︒ ，AB = 2 AC ，点 P ∆ABC 内，且 PA =

求 ∆ABC 的面积。

3 ，PB = 5 ，PC = 2 ，

Aword/media/image28.gif

P

B C

【刷子千题大典第 026 题】

已知， FC 是正方形 ABCD 和正方形 AEFG 上的点 F 、 C 的连线，点 H 是 FC 的中点，连 接 EH 、 DH 。求证： EH = DH 且 EH ⊥ DH 。

E

word/media/image29.gifA D

F

H G

B C

【刷子千题大典第 027 题】

已知： ∠CAD = ∠DAB = 10︒ ， ∠CBD = 40︒ ， ∠DBA = 20︒ ，求证： ∠CDB = 70︒

C

D

word/media/image30.gifA B

【刷子千题大典第 028 题】

已知：在 ∆ABC 中， AC = BC ， ∠C = 100︒ ， AD 平分 ∠CAB 。求证： AD + CD = AB

Cword/media/image31.gif

D

A B

【刷子千题大典第 029 题】

在 ∆ABC 中， D 是 AB 的中点， ∠DAC = 2∠DCA ， ∠DCB = 30︒ ，求 ∠B 的度数。

Bword/media/image32.gif

D

A C

【刷子千题大典第 030 题】

如图，正三角形 ABC ，以 A 为顶点向外作两个正三角形 ADE 和 AGF ，连接 EF 、DB 、CG ， 取 EF 、 DB 、 CG 中点 M 、 K 、 N 连接。求证：三角形 KNM 为正三角形

Fword/media/image33.gif

M

E

A

D

K G N

B C

【刷子千题大典第 031 题】

如图， F 为三角形 ABC 内一点，∠AFB = ∠AFC ，G 是 AF 上的点，直线 BG 、CG 分别 交 AC 、 AB 于 D 、 E ，求证： ∠EFA = ∠DFA

Aword/media/image34.gif

E

D

G

F

C B

【刷子千题大典第 032 题】

如图， ∆ABC 中，分别在 AB 、 AC 上取点 D 、 E ，使得 BD = CE ，连接 BE 、CD 相交于 点 P ，点 M 是 BC 的中点，∠BAC 的平分线 AQ 与 PM 相交于点 Q ，DQ 与 BE 交于点 K ，

EQ 与 CD 交于点T .

word/media/image35.emfword/media/image18.gifword/media/image36.emf求证：（1）四边形 BPCQ 是平行四边形 （2） BK = BEword/media/image18.gif

CT CD

（3） S∆ABK + S∆BKQ = S∆ACT + SCTQ

（4）

S∆BKQ

word/media/image37.gifword/media/image38.emfS∆CTQ

word/media/image39.emf= AB ACword/media/image18.gif

A

D E P

K T

word/media/image40.gifB M C

Q

【刷子千题大典第 033 题】

如图，平行四边形 ABCD ，E 、F 、H 分别为 BC 、 AD 、BD 中点，G 为 DC 上任一点， GE 、 DB 延长线交于 J 点，连接 JF ，取 JF 上的点 I ，使得 IH // AD ，连接 IE ，求证： IE // FG

word/media/image41.gifJ

B E C

G H

I

A F D

【刷子千题大典第 034 题】

在四边形 ABCD 中， AD = CD ， AC = BD ， AB ⊥ AC ，求 ∠BEC 的度数。

Dword/media/image42.gif

A

E

B C

【刷子千题大典第 035 题】

已知：∆ABC 中， AB = BC ，D 是 AC 的中点，过 D 作 DE ⊥ BC 于 E ，连接 AE ，取 DE

中点 F ，连接 BF 。求证： AE ⊥ BF .

Bword/media/image43.gif

E

F

A D C

【刷子千题大典第 036 题】

如图， ∠DAC = 2x ， ∠ACB = 4x ， ∠ABC = 3x ， AD = BC ，求 ∠BAD 。

A

word/media/image44.gifB D C

【刷子千题大典第 037 题】

已知： ABCD 与 AEFG 均为正方形，连接 CF ，取CF 的中点 M ，连接 DM 、 ME 。 求证： ∆MDE 为等腰直角三角形

Bword/media/image45.gif

G

A

C M

F

D E

【刷子千题大典第 038 题】

已知：四边形 ABDC 中，∠ABC = ∠ACB = 58︒ ，∠CAD = 48︒ ，∠BCD = 30︒ ，求 ∠BDA

的度数。

A

word/media/image46.gifB C

D

【刷子千题大典第 039 题】

已知：在 Rt∆ABC 中， ∠ABC = 90︒ ， D 为 AC 上一点， E 是 BD 的中点， ∠1 = ∠2 。 求证： ∠ADB = 2∠ABD 。

B

E

1 2

word/media/image47.gifA D C

【刷子千题大典第 040 题】

已知： ∆ABC 中， ∠A = 24︒ ， ∠C = 30︒ ， D 为 AC 上一点， AB = CD ，连接 BD 。 求证： AB ⋅ BC = BD ⋅ AC .

B

word/media/image48.gifA D C

【刷子千题大典第 041 题】

已知 AB = AC ， ∠BAC = 80︒ ， ∠PBC = 20︒ ， ∠PCB = 40︒ ，求 ∠APB 的大小。

A

P

word/media/image49.gifB C

【刷子千题大典第 042 题】

如图， ABTG 、 ACDE 是正方形，线段 BC 的中点是 K 。求证：∆TEK 与 ∆GDK 的面积相 等。

Gword/media/image50.gif

E

A

T

D

B K C

【刷子千题大典第 043 题】

已知： ABCD 与 A1 B1C1 D1 均为正方形， A2 、B2 、C2 、D2 分别为 AA1 、BB1 、CC1 、 DD1

的中点。求证： A2 B2C2 D2 为正方形

A1 D1word/media/image51.gif

B1 C1

A2 D2

A D

B2 C2

B C

【刷子千题大典第 044 题】

如图，在 ∆ABC 三边上，向外做三角形 ABR 、 BCP 、 CAQ ，使 ∠CBP = ∠CAQ = 45︒ ，

∠BCP = ∠ACQ = 30︒ ， ∠ABR = ∠BAR = 15︒ 。求证： RQ 与 RP 垂直且相等。

Cword/media/image52.gif

P

Q

B A R

【刷子千题大典第 045 题】

四边形 ABCD 中，M 是 AB 边中点，且 MC=MD，过 C、D 分别作 BC、AD 的垂线，两条垂 线交于 P 点，再作 PQ⊥AB 于 Q。求证：∠PQC=∠PQD。

Dword/media/image53.gif

C P

A M Q B

【刷子千题大典第 046 题】

ABCD 是梯形，且 BC＝2AD，作 CE⊥AB。EC 上有一点 P，满足 BP＝CP，连 AP、ED。若

∠ABP＝∠ADE。求证：AP⊥AD。

【刷子千题大典第 047 题】

已知，∠BAC = 90︒ ， AH ⊥ BC 于点 H ，点 J 、 I 、 S 分别是 ∆ABH 、∆ACH 、∆ABC 的旁心， S 在 BC 上的射影是 E ，过 J 、 I 分别作 JE 、 IE 作垂线交于点 G 。 求证：（1）四边形 EJGI 是正方形（2） SG // AE 且 SG = AE 。

A

word/media/image55.gifH E B

J I

G

S

【刷子千题大典第 048 题】

已知，点 D 是 ∆ABC 内一定点，且有 ∠DAC = ∠DCB = ∠DBA = 30︒ 。求证： ∆ABC 是正 三角形。

Aword/media/image56.gif

D

B C

【刷子千题大典第 049 题】

如图， ∆ABC 中， BD ⊥ AC 于 D ， E 为 BD 上一点，且 ∠ABD = 38︒ ， ∠CBD = 68︒ ，

∠BCE = 14︒ ， ∠DCE = 8︒ ，求 ∠DAE 的度数。

B

E

word/media/image57.gifA D C

【刷子千题大典第 050 题】

如图，过正方形的顶点 A 的直线交 BC 、CD 于 M 、N ，DM 与 BN 交于点 L ，BP ⊥ BN ，

交 DM 于点 P 。求证：（1） CL ⊥ MN ；（2） ∠MON = ∠BPM 。

A Bword/media/image58.gif

L O M

D C N

P

【刷子千题大典第 051 题】

已知：∆ABC 外接于⊙O ，∠BAC = 60︒ ， AE ⊥ BC ，CF ⊥ AB ， AE 、CF 相交于 点 H ，点 D 为弧 BC 的中点，连接 HD 、 AD 。求证： ∆AHD 为等腰三角形

word/media/image59.gifA

F H O

B E C

D

【刷子千题大典第 052 题】

已知 H 是△ABC 的垂心，M、N 分别是 BC 和 AH 的中点，直线 MN 交以 AH 为直 径的圆于点 S、T。求证：AT、AS 平分∠BAC 及其外角。

A

word/media/image60.gifS

N

T

H

B M C

【刷子千题大典第 053 题】

设△ ABC 内接于圆 O，过 O 作 OE⊥BC 交圆 O 于 E，交 AB 于 F，交 AC 延长线

于 G。过 G 作圆 O 的切线 GT，T 为切点。求证：TF⊥GE。

【刷子千题大典第 054 题】

word/media/image62.gif矩形 ABCD 中，AB＝ 2 AD，P 是以为 AB 直径的半圆上任意一点，PC、PD 分 别交 AB 于 F、E。求证：AE2＋BF2＝AB2。

【刷子千题大典第 055 题】

已知：D、E、F 分别在△ ABC 三边上，满足 EB＝ED，FC＝FD，O 是△ ABC 外

心。

求证：A、E、O、F 四点共圆。

【刷子千题大典第 056 题】

已知圆 O 外一点 P 向圆 O 作切线 PA、PB 和一条割线 PEF，M 是 EF 上一点，联 结 BM 延长交圆 O 于 C。求证：AC//EF 的充要条件是 M 为 EF 中点。

【刷子千题大典第 057 题】

自圆 O 外一点 P 作切线 PA、PB 及割线 PCD，自 C 作 PA 的平行线，分别交 AB、

AD 于 E、F。求证：CE=EF。

【刷子千题大典第 058 题】

过点 P 任作圆 O 的两条割线 PAB、PCD，直线 AD 与 BC 交于 Q，弦 DE//PQ，BE

交 PQ 延长线于 M。求证：OM⊥PQ。

【刷子千题大典第 059 题】

如图，设⊙O1 与⊙O2 交于 AB 两点。AC 是⊙O2 的切线，交⊙O1 于 C 点。AD 是⊙O1 的切线，交⊙O2 于 D 点。过 A 任作直线，交⊙O1、⊙O2 及经过 A、C、 D 三点的圆分别于 M、N、P。求证：AM=NP。

A

O1

M O2

C B

N D

word/media/image68.gifP

【刷子千题大典第 060 题】

两圆圆 O1 和圆 O2 相交于 M、P，过 M 作圆 O2 的切线交圆 O1 于 A；又过 M 作 圆 O1 的切线交圆 O2 于 B，在直线 MP 上截取 PH=MP。求证：四边形 MAHB 内 接于圆。word/media/image69.gif

M

O1 O2

P

B A

H

【刷子千题大典第 061 题】

已知相交两圆 O 和 O'交于 A、B 两点，且 O'恰在圆 O 上，P 为圆 O 的 AO'B 弧段 上任意一点。∠APB 的平分线交圆 O'于 Q 点。求证：PQ2=PA×PB。

A

P Q

O O'

B

【刷子千题大典第 062 题】

已知半圆圆心为 O，直径为 AB，一直线交半圆于 C、D，交 AB 延长线于 P，设

M 是△ AOC 与△ BOD 外接圆除 O 点外的另一交点。求证：OM⊥MP。word/media/image71.gif

D

M

C

O B P

【刷子千题大典第 063 题】

已知锐角△ ABC 中，AD 是高，O 是外心，AO 的延长线交过 O、B、C 三点的圆

于 P，自 P 作 PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F。求证：DEPF 是平行四边形。

Aword/media/image72.gif

O

B C D

E

F

P

【刷子千题大典第 064 题】

设以 O 为圆心的圆经过△ ABC 的两个顶点 A 和 C，且与边 AB、BC 分别交于 K

和 N，又设△ ABC 和△ KBN 的外接圆交于 B 和另一点 M。求证：∠OMB=90°。

B

M

K

N

O

A C

【刷子千题大典第 065 题】

如图， PC 切⊙ O 于 C ， AC 为圆的直径， PEF 为⊙O 的割线， AE 、 AF 与直线 PO 相交 于 B 、 D 。求证：四边形 ABCD 为平行四边形

word/media/image74.gifA

B O D P

E

F

C

【刷子千题大典第 066 题】

如图，已知 AD 是⊙ O 的直径， D 是 BC 中点， AB 、 AC 交⊙O 于点 E 、F ， EM 、FM

是⊙ O 的切线， EM 、 FM 相交于点 M ，连接 DM 。求证： DM ⊥ BC

word/media/image75.gifA

E O

F

B D C

M

【刷子千题大典第 067 题】

如图，三角形 ABC 内接于⊙ O ，两条高 AD 、BE 交于点 H ，连接 AO 、OH 。若

BD = 3， CD = 1，求三角形 AOH 面积。

AH = 2 ，

word/media/image76.gifA

E

O H

B D C

【刷子千题大典第 068 题】

已知正方形 ABCD ， P 是 CD 上的一点，以 AB 为直径的圆⊙O 交 PA 、 PB 于 E 、 F ，射 线 DE 、 CF 交于点 M 。求证：点 M 在⊙ O 上。

A D Eword/media/image77.gif

M O P

F

B C

【刷子千题大典第 069 题】

CD 为⊙ O 的直径，A 、B 为半圆上两点，DE 为过点 D 的切线，AB 交 DE 于 E ，连接OE ， 交 CB 于 M ，交 AC 于 N 。求证： ON = OM

Nword/media/image78.gif

E B

A

C O D

M

【刷子千题大典第 070 题】

如图，E 、F 分别是圆内接四边形 ADBC 的对角线 AB 、CD 的中点，若 ∠DEB = ∠CEB 。 求证： ∠AFD = ∠BFD

A

word/media/image79.gifD

E

O

F

B C

【刷子千题大典第 071 题】

以任意四边形四条边为基础向外做正方形，连接相对两正方形的中心。求证：这 两条线段垂直且相等。

Gword/media/image80.gif

H F

O

A I N B

E

P D

J C

M

L

K

【刷子千题大典第 072 题】

如图， ∆ABC 为一普通三角形，求证： AB 2 ⋅ PC + AC 2 ⋅ PB = BC( AP 2 + PB ⋅ PC)