安徽省黄山市2020年高二第二学期数学期末预测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个算法的程序框图如图所示，如果输出的值是1，那么输入的值是 （ ）

A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据条件结构，分，两类情况讨论求解.

【详解】

当时，因为输出的是1，

所以，

解得.

当时，因为输出的是1，

所以，

解得.

综上：或.

故选：C

【点睛】

本题主要考查程序框图中的条件结构，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.

2．已知，，则函数的零点个数为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可作出函数f(x)和g(x)的图象，图象公共点的个数即为函数h(x)=f(x)−g(x)的零点个数．

【详解】

可由题意在同一个坐标系中画出f(x)=2lnx，的图象，

其中红色的为f(x)=2lnx的图象，由图象可知：

函数f(x)和g(x)的图象有2个公共点，即h(x)=f(x)−g(x)的零点个数为2，

故选：B．

【点睛】

本题考查函数的零点问题，属于函数与方程思想的综合运用，求零点个数问题通常采用数形结合方法，画出图像即可得到交点个数，属于中等题.

3．已知为虚数单位，实数满足，则

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】

分析：利用复数相等求出值，再由复数模的定义求得模．

详解：由已知，∴，

∴．

故选D．

点睛：本题考查复数相等的概念的模的计算．解题时把等式两边的复数都化为形式，然后由复数相等的定义得出方程组，即可求得实数．

4．已知向量，则与的夹角为（　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，据此分析可得答案．

【详解】

设与的夹角为θ，由、的坐标可得||＝5，||＝3，•5×0+5×（﹣3）＝﹣15，

故， 所以.

故选D

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．

5．设全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，MU，M＝｛5，7｝，则实数a的值为 ( )

A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或8

【答案】D

【解析】

分析：利用全集，由，列方程可求的值.

详解：由，且，

又集合，

实数的值为或，故选D.

点睛：本题考查补集的定义与应用，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.

6．曲线在处的切线的倾斜角是 （　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

分析：先求导数，再根据导数几何意义得斜率，最后得倾斜角.

详解：因为，所以

所以曲线在处的切线的斜率为

因此倾斜角是，

选B.

点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.

7．己知，是椭圆的左右两个焦点，若P是椭圆上一点且，则在中（ ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据椭圆方程求出、，即可求出、，再根据余弦定理计算可得；

【详解】

解：因为，所以，，

又因为，，所以，

在中，由余弦定理，即，，

故选：

【点睛】

本题考查椭圆的简单几何性质及余弦定理解三角形，属于基础题.

8．已知，是单位向量，且，向量与，共面，，则数量积=（ ）

A．定值－1 B．定值1

C．最大值1，最小值－1 D．最大值0，最小值－1

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可设，，再表示向量的模长与数量积，

【详解】

由题意设，则向量，且，

所以，

所以，

又，

所以数量积，

故选：A．

【点睛】

本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。

9．定义在区间上的函数的图象如图所示，以为顶点的△ABC的面积记为函数，则函数的导函数的大致图象为( 　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

连结AB后，AB长为定值，由C点变化得到三角形面积函数的增减性，从而得到面积函数的导数的正负，则答案可求．

【详解】

解：如图，

△ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，

△ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，

对应的面积函数的导数先正后负再正到负．

且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，

故选D．

【点睛】

本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题．

10．奇函数的定义域为.若为偶函数，且，则(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

是偶函数， 关于对称， 是奇函数 。故选B。

11．已知复数满足，则复数在复平面内的对应点所在象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】

,对应的点为 ,在第四象限,选D.

12．若随机变量满足，且，，则（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二项分布的数学期望和方差求解.

【详解】

由题意得： 解得： ，

故选A.

【点睛】

本题考查二项分布的数学期望和方差求解，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题

13．复数其中i为虚数单位，则z的实部是________________.

【答案】5

【解析】

试题分析：．故答案应填：5

【考点】复数概念

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关概念，如复数的实部为，虚部为，模为，共轭为

14．已知对任意正实数，都有，类比可得对任意正实数

都有_______________．

【答案】.

【解析】

分析：根据类比的定义，按照题设规律直接写出即可.

详解：由任意正实数，都有，推广到则

.

故答案为

点睛：考查推理证明中的类比，解此类题型只需按照原题规律写出即可，属于基础题.

15．若函数有且只有一个零点，则实数的值为__________.

【答案】-2

【解析】

【分析】

将有且只有一个零点问题转化成a＝﹣lnx，两函数有一个交点，然后令g（x）＝﹣lnx，对g（x）进行单调性分析，即可得到g（x）的大致图象，即可得到a的值．

【详解】

由题意，可知：

令2，

即：a＝﹣lnx，x＞2．

可设g（x）＝﹣lnx，x＞2．

则g′（x），x＞2．

①当2＜x＜2时，g′（x）＞2，g（x）单调递增；

②当x＞2时，g′（x）＜2，g（x）单调递减；

③当x＝2时，g′（x）＝2，g（x）取极大值g（2）＝﹣2．

∵函数有且只有一个零点，

∴a只能取g（x）的最大值﹣2．

故答案为：﹣2．

【点睛】

本题主要考查函数零点问题，构造函数的应用，用导数方法研究函数的单调性．属中档题．

16．如图是一个算法流程图，则输出的的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】

模拟程序的运行，可得

，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为1．

故答案为1．

【点睛】

本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． “蛟龙号”从海底中带回某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．

(1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；

(2)若甲乙两小组各进行2次试验，求两个小组试验成功至少3次的概率．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）“三次试验中至少两次试验成功”是指三次试验中，有2次试验成功或3次试验全部成功，先计算出2次与3次成功的概率，相加即可得到所要求的概率．（2）分成功3次，4次两种情况求其概率相加即可

【详解】

(1)设“甲小组做了三次实验，至少两次试验成功”为事件A，则其概率为.

(2)设“甲乙两小组试验成功3次”为事件B，则

，

设“甲乙两小组试验成功4次”为事件C，则，

故两个小组试验成功至少3次的概率为.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验某事件恰好发生k次的概率、相互独立事件的概率乘法公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

18．本小题满分13分）

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；

（3）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．

【答案】（1） 不变化；（2）；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小

【解析】

【分析】

【详解】

（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为．

若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为，

发现任务能完成的概率是一样.

同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化.

（2）由题意得可能取值为

∴，

∴其分布列为:

．

（3）,

∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小,

则只能先派甲、乙中的一人.

∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则；

若先派乙,再派甲,最后派丙, 则，

，

∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．

19．定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.

（1）当时，若， ，求函数在闭区间上的值域；

（2）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.

【答案】 (1) (2) 见解析

【解析】

分析：（1）利用，分别求得函数在区间上的表达式，并求得其值域.（2）首先判断出值域相同.当时，利用求得的值，并利用周期性的定义证明得函数是周期为的周期函数.同理可证明当，函数也为周期函数.

详解：

（1）当时， ，

当时，即，

由得，则，

当时，即，

由得，则，

当时，即，

由得，

综上得函数在闭区间上的值域为.

（2）（证法一）由函数的值域为得， 的取值集合也为，

当时， ，则，即.

由得，

则函数是以为周期的函数.

当时， ，则，即.

即，则函数是以为周期的函数.

故满足条件的函数为周期函数.

（证法二）由函数的值域为得，必存在，使得，

当时，对，有，

对，有，则不可能；

当时，即， ，

由的值域为得，必存在，使得，

仿上证法同样得也不可能，则必有 ，以下同证法一.

点睛：本小题主要考查分段函数的性质，考查利用抽象函数的关系式求解函数在不同区间上的表达式的方法，考查函数周期性的证明.题目第一问，已知条件给定函数在区间上的表达式，结合，容易想到要利用分段的方法，求解出函数在每个长度为的区间上的表达式，从而求得函数的值域.

20．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是，圆的极坐标方程是．

（1）求与交点的极坐标；

（2）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程是（为参数），求的值．

【答案】 (1) ，或；(2) ．

【解析】

试题分析：（1）联立极坐标方程，解得与交点的极坐标是，或；（2）直线的参数方程化为普通方程，把，的直角坐标带入，解得.

试题解析：

（1）代入，得．所以或，取，．再由得，或．所以与交点的极坐标是，或．

（2）参数方程化为普通方程得．由（Ⅰ）得，的直角坐标分别是，，代入解得．

21．已知的展开式中有连续三项的系数之比为1︰2︰3，

（1）这三项是第几项？

（2）若展开式的倒数第二项为112，求x的值．

【答案】（1）第5、6、7项；（2）或；

【解析】

【分析】

（1）先求展开式各项的系数，由有连续三项的系数之比为1︰2︰3，求出及项数；

（2）再由通项公式写出倒数第二项，由它等于112求出．

【详解】

（1）展开式各项系数为，由题意，

即，解得，

∴这三项是第5、6、7项．

（2）倒数第二项为，∴＝＝112，，

，即，，

∴或．

【点睛】

本题考查二项式定理，考查组合数公式的计算，题中难点有两个，一个是把组合数用阶乘表示出来后求解较方便，一个是解方程时要先取以2为底的对数后才能求解．

22．设函数f(x)＝1－x2＋ln(x＋1).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若不等式f(x)＞－x2(k∈N*)在(0，＋∞)上恒成立，求k的最大值.

【答案】 (1)见解析(2)1

【解析】

【分析】

（1）首先求出f（x）的定义域，函数f（x）的导数，分别令它大于0，小于0，解不等式，必须注意定义域，求交集；

（2）化简不等式f（x）＞﹣x2，得：（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx，令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]﹣kx，求出g'（x），由x＞0，求出2+ln（x+1）＞2，讨论k，分k≤2，k＞2，由恒成立结合单调性判断k的取值，从而得到k的最大值．

【详解】

（1）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），

函数f（x）的导数f'（x）=﹣2x+，

令f'（x）＞0则＞2x，

解得，

令f'（x）＜0则，

解得x＞或x＜，

∵x＞﹣1，

∴f（x）的单调增区间为（﹣1，），

单调减区间为（，+∞）；

（2）不等式f（x）＞﹣x2

即1﹣x2+ln（x+1）＞，即1+ln（x+1）＞，

即（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立，

令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]﹣kx，则

g'（x）=2+ln（x+1）﹣k，

∵x＞0，∴2+ln（x+1）＞2，

若k≤2，则g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上递增，

∴g（x）＞g（0）即g（x）＞1＞0，

∴（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立；

若k＞2，可以进一步分析，只需满足最小值比0大，即可，

结合K为正整数，故k的最大值为1．

【点睛】

本题主要考查运用导数求函数的单调性，求解时应注意函数的定义域，同时考查含参不等式恒成立问题，通常运用参数分离，转化为求函数的最值，但求最值较难，本题转化为大于0的不等式，构造函数g（x），运用导数说明g（x）＞0恒成立，从而得到结论．这种思想方法要掌握．

安徽省黄山市2020年高二第二学期数学期末预测试题含解析