新人教版九年级上册初中数学

重难点有效突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）

【学习目标】

1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性；

2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，圆的对称性进行计算或证明；

3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.

【要点梳理】

要点一、圆的定义及性质

1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点诠释：
　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
　②圆是一条封闭曲线.

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
要点诠释：
　 ①定点为圆心，定长为半径；
　　②圆指的是圆周，而不是圆面；
　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

2.圆的性质
　　①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
　②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.

要点诠释：
　　①圆有无数条对称轴；
　 ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
3.两圆的性质
　 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.

要点二、与圆有关的概念

1. 弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
　　直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点诠释：
　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：连结OC、OD
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦.
2. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.同心圆与等圆
　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
【356996 ：概念、性质的要点回顾】

4.等弧
　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点诠释：
　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.

【典型例题】

类型一、圆的定义

1．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.

【答案与解析】

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，

∴OA=OC=OB=OD，

∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.

【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.

举一反三：

【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）

A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形

【答案】C.

2． 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？

【答案与解析】

word/media/image7_1.png

word/media/image8_1.png

∴点导火索的人安全.

【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.

类型二、圆及有关概念

3．（2015秋•丹阳市校级月考）下列说法中，正确的是（　　）

A．两个半圆是等弧

B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧

C．长度相等的弧是等弧

D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧

【答案】 B.

【解析】A、两个半圆的半径不一定相等，故错误；

B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；

C、长度相等的弧是等弧，错误；

D、同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，

故选B．

【总结升华】本题考查了圆的有关概念，解题的关键是了解等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义等.

举一反三：

【变式】 （2015秋•邗江区校级月考）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B.

提示：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点，

图中的弦有AB、BC、CE，一共3条．故选B．

类型三、圆的对称性

4．圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？

【答案与解析】

如图所示,分两种情况:

（1）当点P为圆O内一点（如图1），过点P作圆O的直径，分别交圆O于A、B两点，

由题意可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则AP=2，BP=10，

所以圆O的半径为word/media/image11_1.png.

word/media/image12_1.pngword/media/image13_1.png

图1 图2

（2）当点P在圆外时（如图2），作直线OP，分别交圆O于A、B，由题可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则BP=10，AP=2，所以圆O的半径word/media/image14_1.png.

综上所述，所求圆的半径为6或4.

【总结升华】题目中说到最大距离和最小距离，我们首先想到的就是直径，然后过点P做圆的直径，得到圆的半径.通常情况下，我们进行的都是在圆内的有关计算，这逐渐成为一种习惯，使得我们一看到题首先想到的就是圆内的情况，而忽略了圆外的情况，所以经常会出现漏解的情况.这也是本题想要提醒大家的地方.体现分类讨论的思想.

举一反三：

【变式1】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（ ）.

A.2.5cm B.6.5cm C. 2.5cm或6.5cm D. 5cm或13cm

【答案】C.

【 356996 ：知识讲解二-四】

【变式2】（1）过____________________上的三个点确定一个圆．

（2）交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．

【答案】（1）不在同一直线；（2） 圆的旋转不变性；

5．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是 .

【答案】3≤OP≤5.

【解析】OP最长边应是半径长，为5；

根据垂线段最短，可得到当OP⊥AB时，OP最短．

∵直径为10，弦AB=8

∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，

由勾股定理得OP=word/media/image16_1.png，∴OP最短为3.

∴OP的长的取值范围是3≤OP≤5.

【总结升华】关键是知道OP何时最长与最短.

举一反三：

【变式】已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是___ ____．

【答案】 OP最大为半径，最小为O到AB的距离．所以5≤OP≤13.

新人教版九年级上册数学圆的基本概念和性质—知识点整理及重点题型梳理（提高）