数学美欣赏

(内容选自《数学美拾趣》、《数学聊斋》和《直观几何》)

课程简介 了解数学的趣味性，初步懂得数学在理论和实际中的应用，欣赏数学的绚丽多彩的艺术世界.

学习要求

1. 用U盘复制电子讲稿，并打印.

2. 课后认真阅读讲稿.

3. 适当安排若干次课堂独立作业. 做课堂作业时, 允许参考本讲稿, 可以摘录讲稿内容.

考核要求

1. 进行期中考试和期末考试，均为开卷.

2. 期末总评成绩=期中考试成绩×50%+期末考试成绩×50%.

3. 期中考试、期末考试和课堂独立作业中没有任何计算题和证明题，也没有填空题和选择题, 题型均为问答题.

第1讲

第1章 数学的简洁性

序言

著名科学家伽利略说过：“数学是上帝用来书写宇宙的文字”.

简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁.

数学家莫德尔说：在数学美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了.

自然界原本就是简洁的：

光是沿直线方向传播的——这是光传播的最捷路线.

植物的叶序排布是植物叶子通风、采光最佳的布局.

某些攀缘植物如藤类，它们绕着攀依物螺旋式的向上生长，它们所选的螺线形状对于植物上攀路径来讲是最节省的.

大雁迁徙时排成的人字形，一边与其飞行方向夹角是，从空气动力学角度看，这个角度对于大雁队伍飞行是最佳的，即阻力最小(顺便一提：金刚石晶体中也蕴含这种角度).

在人体中，人的粗细血管直径之比总是，这种比值的分支导流系统经流体动力学研究表明，它在输导液体时能量消耗最少.

生物学家和数学家们(如著名科学家开普勒、数学家列厄木、柯尼希等)在研究蜂房构造时发现：在体积一定的条件下，蜂房的构造是最省材料的.

这些最佳、最好、最省、……的事实，来自生物的进化与自然选择，然而它同时展现了自然界的简洁，而且也展现了自然界的和谐. 宇宙万物如此，数学，它作为用来描述宇宙的文字和工具也应当是简洁与和谐的.

诗人但丁曾赞美道：“圆是最美的图形”．太阳是圆的、满月是圆的、水珠看上去(投影)是圆的、……，圆的线条明快、简练、对称.

近代数学研究还发现圆的等周极值性质：在周长给定的封闭图形中，圆所围的面积最大.

无论是古人，还是今人，人们对圆有着特殊亲切的情感，都因为圆的简洁美.

数学中人们对于简洁的追求是永无止境的：建立公理体系时，人们试图找出最少的几条(抛弃任何多余的赘物)；对命题的证明，人们力求严谨、简练(因而人们对某些命题的证明在不断地改进)；对计算的方法，人们要求尽量便捷、明快(因而人们不断地在探索计算方法的创新)，……，数学拒绝繁冗.

正如牛顿所说：数学家不但更容易接受漂亮的结果，不喜欢丑陋的结论，而且他们也非常推崇优美与雅致的证明，而不喜欢笨拙与繁复的推理.

数学大师欧拉曾研究过天平砝码最优(少)配置问题，并且证明了：若有，，，，…，克的砝码，只允许其放在天平的一端，利用它们可称出——之间的任何整数克重物体的重量.

例如，当时，我们有4个砝码：克，克，克和克，即克，克，克和克. 利用它们，我们可称出克——克(即克)之间的任何整数克重物体的重量, 即可称出克，克,克, …,克的重量. 这由下表可以明白.

这个问题其实与数的二进制有关. 进而，欧拉还证明了(它与数的三进制有关)：有，，，，…，克重的砝码，允许其放在天平两端， 利用它们可以称出----之间任何整数克重物体的重量.

例如，当时，我们有个砝码：克，克和克，即克，克和克. 利用它们，我们可称出1克——克(即克)之间的任何整数克重物体的重量, 即可称出克,克,克, …,克的重量. 这由下表可以明白.

以上两个事实是“以少应付多”的典范，这也是数学简洁性使然. 下面的所谓“省刻度尺问题”, 尽管人们尚未对此得出一般结论，但目前仅有的结果也足以使人倍感兴趣：

一根cm长的尺子，只须刻上两个刻度(在cm和cm处)，就可量出cm——cm之间任何整数厘米长的物体长，即可量出cm， cm， cm， cm， cm和cm的长度(下简称“完全度量”).

若用表示从量到的话，那么具体度量如下：

()， ()， ()， ()， ()， ().

一根cm的尺子，只须在cm， cm， cm和cm四处刻上刻度，便可完成——cm的完全度量. 具体度量如下：

(), (), (), (), (), (), (), (), (), (), (), (), ().

对于cm的尺子，只须刻上六个刻度，即在： cm， cm， cm， cm， cm和cm；或者cm， cm， cm， cm， cm和cm处刻上刻度，可完成——cm的完全度量.

对于cm的尺子来讲，也只须六个刻度： cm， cm， cm， cm， cm和cm， 便可完成——cm的完全度量.

一根cm的尺子，只须在cm， cm， cm， cm， cm， cm， cm和cm处刻上八个刻度，便可完成cm——cm的完全度量.

对于cm的尺子， 刻上九个刻度： cm， cm， cm， cm， cm， cm， cm， cm和cm，即可完成——cm的完全度量.

这类问题与应用数学中所谓最优化方法有关，这门学科的核心是最省、最好(对效益讲是最大).

用“少”去表现“多”，或者求极大、极小等，均是数学简洁性的另类表现. 比如“植树问题”. 英国数学家、物理学家牛顿曾经很喜欢下面一类题目：棵树栽行，每行栽棵，如何栽? 乍看此题似乎无解，其实不然，看了左下图(图中黑点表示树的位置，下同)，你会恍然大悟！

牛顿还发现：棵树每行栽棵，可栽行数的最大值不是，而是，见右上图. 左下图给出棵树，栽行，每行栽棵的栽法.

其实，棵树，每行栽棵，可栽的最多行数也不是，而是，见右上图.

英国数学家、逻辑学家道奇生在其童话名著《艾丽丝漫游仙境》中也提出下面一道植树问题：棵树，栽成行，每行栽棵，如何栽? 此题答案据说有种之多，下面诸图给出了其中的几种.

十九世纪末，英国的数学游戏大师杜登尼在其所著《个趣味数学难题》中也提出了下面的问题：棵树，栽成行，每行栽棵，如何栽? 杜登尼的答案见左下图.

美国趣味数学大师山姆·洛伊德曾花费大量精力研究“棵树，每行栽棵，至多可栽多少行”，他给出了可栽行的答案，见右下图.

几年前人们借助于电子计算机给出了上述问题可栽行的最佳方案，见左下图.

稍后曾见报载，国内有人给出可栽行的方案(右上图)，然而严格的验证工作恐非易事——这些点是否真的共线? 既便结论无误，但它是否是可栽的最多行数，人们尚不得而知.

在英国数学家薛尔维斯特在临终前几年(1893年)提出了一个貌似简单的问题：对于在平面上不全共线的任意个点，总可以找到一条直线，使其仅过其中的两个点.

直到1933年，人们才找到一个繁琐的证明. 此后，1944年、1948年又先后有人给出了证明. 1980年前后，《美国科学新闻》杂志重提旧事时，又一次向人们介绍了薛尔维斯特问题和凯利于1948年给出的证明.

我们很容易体会到：一个定理(或习题)证明(或解法)的简化，将认为是做了一件漂亮的工作，即它是美妙的. 由于简洁，数学语言(包括图形)不仅能描述世界上的万物，而且也能为世界上所有文明社会所接受和理解，甚至还将成为与其它星球上的居民(如果存在的话)交流思想的工具.

在为美国发射的在茫茫太空中去寻觅地球外文明的“先驱者号飞船”(探测器)征集所携带的礼物时，我国已故著名数学家华罗庚曾建议带上数学中用以表示勾股定理(毕达哥拉斯定理)的简单、明快的数形图，它似乎应为宇宙所有文明生物所理解.

数学中的简洁性的例子是不胜枚举的：比如三角形，尽管它有千姿百态，但人们却可用

(为底边长，为该边上高)

或海伦公式

(p为三角形半周长)

去表达所有三角形的面积.

数学的简洁性系指其抽象性、概括性和统一性. 正是因为数学具有抽象性和统一性，因而其形式应当是简单的. 实现数学的简单性(抽象、统一)的重要手段是使用数学符号.

附录 有趣的数制

十进制数

特点: 十进制数由十个数字组成.

二进制数

.

,

特点: 二进制数由两个数字和组成.

三进制数

.

特点: 三进制数由两个数字,和组成.

前面讲过, 利用四个砝码:, , , , 可以称出——的整数克重量. 把重量用二进制表示, 可以得到相应的砝码组合方式.

用四个砝码, , ,可以称出——的整数克重量

前面还讲过, 利用三个砝码:, , , 可以称出——的整数克重量(允许砝码放在天平的两个托盘中). 把重量用三进制表示, 可以得到相应的砝码组合方式. 下表中加下标的数(如)表示三进制数, 不加下标的数为十进制数.

用三个砝码, ,可以称出——的整数克重量

1.1 数学符号

人总想给客观事物赋予某种意义和价值，利用符号认识新事物，研究新问题，从而使客观世界秩序化，这便创造了科学、技术、文化、艺术、……. 符号就是某种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的. 文字是表达事物的符号，一个语种就是一个“符号系统”. 这些符号的组合便是语言. 人们试图用“精密”的方法研究艺术，这在很大程度上依靠符号.

符号对于数学的发展来讲更是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，这在事实上增加了人们的思维能力. 没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的.

数学语言是困难的，但又是永恒的(纽曼语). 数是数学乃至科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字. 正如没有文字，语言也难以发展一样，几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱.

古代数学的漫长历程, 今日数学的飞速发展，十七世纪、十八世纪欧洲数学的兴起, 我国几千年数学发展进程的缓慢，这些在某种程度上都归咎于数学符号的运用得当与否. 简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲，是何等重要! 反之，没有符号或符号不恰当、不简练，势必影响到数学的推理和演算. 然而，数学符号的产生、使用和流传却经历了一个十分漫长的过程. 在这个过程中，始终贯穿着人们对于自然、和谐与美的追求.

古埃及和我国一样，是世界上四大文明古国之一. 早在四千多年以前，埃及人已懂得了数学，在数的计算方面还会使用分数，不过, 他们用的是“单位分数”(分子是1的分数). 此外，他们还能计算直线形和圆的面积. 他们知道了圆周率约为，同时也懂得了棱台和球的体积计算等. 可是，他们却是用下面的符号记数的：

这样书写和运算起来都不方便，比如写数，就要用符号

表示. 后来他们把符号作了简化而成为

古代巴比伦人(巴比伦即当今希腊一带地方)计数使用的是六十进制，当然它也有其优点，因为有约数，，，，，，，，，等，这样，在计算分数时会带来某种方便(现在时间上的小时、分、秒制及角度制，仍是六十进制). 巴比伦人已经研究了二次方程和某些三次方程的解法，他们在公元前2000年就开始将楔形线条组成符号(称为楔形文字)，且将它们刻在泥板上，然后放到烈日下晒干以备保存. 同样，他们也是用楔形文字来表示数，无论是用来记录还是运算，都相对来说方便了许多.

我国在纸张没有发明以前，已经开始用算筹进行记数和运算了. 算筹是指计算时使用的小竹棍(或木棍、骨棍)，这也是世界上最早的计算工具. 用算筹表示数的方法是：

记数时, 个位用纵式，其余位纵横相间，故有“一纵十横，百立千僵”之说. 数字中有0时，将其位置空出，比如可表示为：

在甲骨文中，数字是用下面的符号表示的(形象、自如)：

阿拉伯数字未流行之前，我国商业上还通用所谓“苏州码”的记数方法(方便、明快)：

它在计数和运算上已带来较大方便．

在计数上欧洲人开始使用的是罗马数字：

阿拉伯数字据说是印度人发明的，后传入阿拉伯国家，经阿拉伯人改进、使用，因其简便性而传遍整个世界，成为通用的记数符号.

我们再来看看方程用符号表示的历史(代数学的产生与方程研究关系甚密) . 在埃及出土的3600年前的莱因特纸草上有下面一串符号：

它既不是什么绘画艺术，也不是什么装饰图案，它表达的是一个代数方程式，用今天的符号表示，即.

宋、元时期我国也开始了相当于现代方程论的研究，当时记

数仍使用算筹. 在那时出现的数学著作中，就是用下图中的记号来表示二次三项式的, 其中，的系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上画斜线表示“负数”．

到了十六世纪，数学家卡尔达诺、韦达等人对方程符号有了改进. 直到笛卡儿才第一个提倡用、和表示未知数，他曾用

表示, 这与现在的方程写法几乎一致.

其实，数学表达式的演变正是人们追求数学的和谐、简洁、方便和明晰的审美过程. 笛卡儿的符号已接近现代通用的记号, 直到1693年, 沃利斯创造了现在人们仍在使用的记号：

．

韦达是第一个引进字母系数的人，但他仍用希腊人的齐次原则、拉丁记号plano和solido分别表示平面数和立体数；用aequtur表示等于，in表示乘号，quad和cub分别表示平方和立方，这显然不简便. 笛卡儿的符号已有较大程度的简化.

我们还想指出一点：数及其运算只有用符号去表示，才能更加确切和明了. 随着数学的发展，随着人们对于数的认识的深化，用原有符号去表示新的概念，有时竟会感到无能为力(没有根号如何表示某些无理数?)，这需要创新.

圆周率(圆的周长与直径的比)是一个常数，但它又是无限不循环小数. 1737年欧拉首先倡导用希腊字母来表示它(早在1600年英国数学家奥特雷德曾用作为圆周长的符号)，且通用于全世界.

用表示特殊的无理常数(也是超越数)——欧拉常数

的也是欧拉. 我们知道，要具体写出圆周率或欧拉常数，这是根本不可能的(它们无限且不循环)，然而用数学符号却可精确地表示它们(正像不能写完，但我们却可用表达一样).

虚数单位用符号表示，还是数学家欧拉于1777年首创的(这也使我们想到：欧拉的成就与他对数学符号的创造不无关系). 在奇妙的等式中，所出现的五个数中的三个符号都是出自数学大师欧拉之手!

从上面的例子我们可以看到：数学符号的重要在于它有无限的力量和手段来协助直觉，把社会和自然乃至宇宙中的数学关系联系起来，去解答一些已知或未知的问题，去创造更深、更新的思维形式.

说到数学符号, 我们当然还不应忘记图形. 点、线、面、体的产生正是人们对客观事物的抽象和概括，欧几里得几何、非欧几何、解析几何正是研究这些图形的分支. 除此之外，还有许多精彩的例子. 首先我们会想到“哥尼斯堡七桥问题”.

布勒格尔河流经哥尼斯堡市区，河中有两个河心岛，它们之间以及它们与河岸之间共有七座桥连接. 当地居民曾被一个问题搞得百思不得其解，这个问题是：你能否无遗漏又不重复地走遍七座桥而回到出发地?

人们在不停地走着、试着，却无一人成功.

数学大师欧拉接触此问题后，他巧妙地用数学手段将问题转化、化简，并成功地解决了这个难题. 首先，他将问题抽象成图形：用点代表河岸和小岛，用线代表桥(注意上面两个图中的，，，的对应)，于是得到右上图这个简单的图形，同时问题相应地改为：能否一笔画出这个图形?

为了解决这个问题，我们首先明确：一笔画就是从图形上某点出发，笔不离开纸，并且每条线都只画一次不重复.

其次，我们定义：若从图中某点出发的线的条数是偶数，则称该点为偶点; 若从图中某点出发的线的条数是奇数， 则称该点为奇点.

在左图中，从每一点出发都有两条线. 因此，这四个点都是偶点. 在右图中有个点，从③、④两点出发的线有2条，故③、④是偶点；从①、②两点出发的线有条，故这两个点是奇点.

一个图形能否一笔画成，关键在于图中的奇点的个数. 欧拉发现了一个图形可以一笔画成的判定准则：

一个图形能一笔画成图中的奇点的个数为或.

奇点在一笔画中只能作为起点或终点. 在上述哥尼斯堡七桥问题中，所有的点都是奇点，因此，要想一笔画出下图是不可能的，也就是说，要想不重复地走过哥尼斯堡的七座桥，那是不可能的.

欧拉的这项研究导致了拓扑学这门数学分支的诞生(在很大程度上讲，这也促进了图论这门学科的创立).

例 下面的图形能一笔画成吗?

答 第1图可以一笔画成.

在第2图中，点是偶点，其它点是奇点， 所以第2图

不能一笔画成. 第3图可以一笔画成.

很难想象，如果欧拉不是运用了图形符号而是用河、桥去探讨这个问题，结果将会是怎样? 那样的话，解决问题的难度要变得很大，更谈不上新的数学分支的诞生.

运用类似的方法，欧拉还证明了著名的关于多面体的顶点数、棱数和面数之间的关系式——欧拉公式：

.

由此人们发现了正多面体仅有五种：正四面体、正六面体(立方体)、正八面体、正十二面体和正二十面体.

关于欧拉公式，我们可以用四面体和六面体来验证.

六人相识问题：在任何个人中, 必可从中找出个人，使得他们要么彼此都相识，要么彼此都不相识.

把这个抽象的问题转化成“点”与“染色直线”，从而巧妙地解答它，这不能不说是符号的一大功劳(要知道,人之间的相互关系的可能情况有种).

把六个人用点、、、、和表示. 若两个人相识，则用红线连接相应的点，若两人不相识， 则用黑线连接相应的点. 点与、、、和的连线(5条)中，必有三条线的颜色相同, 不妨设、和为红色.

再考虑、、三点间的连线. 若它们全为黑色，则、、三点为所求(左上图，它们代表的三个人彼此都不相识)；若三点间的连线至少有一条为红色，设它为，这时、、三点为所求(右上图，它们代表的三个人彼此都相识).

我们还可以有进一步的结论：上述(彼此都相识或都不相识的)“三人组”在六个人中至少存在两组(证明见本节末附录).

顺便讲一句：若要求彼此相识或不相识的人数是，则总人数要增至；若要求彼此相识或不相识的人数是(这时有种组合方式)，则总人数要增至人——人之间(具体人数至今不详)；若要求彼此相识或不相识的人数是，则总人数要增至——之间，确定它们是人们目前尚不可及的事.

上面的事实，再次证明了数学符号的威力. 没有它, 至少问题的叙述会变得复杂而困难，或者根本无法表达清楚.

世界原本是简洁的, 数学也是.

没有数学语言(符号)的帮助，许多科学、技术的发展会变得迟缓，甚至停滞，这决非耸人听闻.

我们说过：数、字母、代数式是符号，图同样也是符号，它们(数与形)之间的彼此借鉴与相互的通融，使得数学符号被赋予新意且更具魅力和美感. 为了更好地研究数学，人们必须创造且使用数学符号.

如今，我们简直难以想象：如果没有现今的数学符号，数学乃至整个科学的面貌将会是何种模样!

附录

证明: 上述(彼此都相识或都不相识的)“三人组”在六个人中至少存在两组.

证明 为证该结论, 我们注意到, 在本节的证明中, 我们实际上已证了下列

命题 若从某点向其余三点所引线段同色, 则在上述四点中, 必有某三点, 使得以其为顶点的三角形的三边同色(为方便, 以下称三边同色的三角形为同色三角形).

只需考虑下列两图所对应的情形.

在左图中, 若、同为红色，则在、、、中，可产生同色三角形(上述命题), 且它异于. 所以结论成立. 若、同为黑色，则在、、、中，也可产生同色三角形, 且它异于. 所以结论仍真. 若、一红一黑, 不妨设为红,为黑.

设为红(否则, 有黑, 得证),为黑(否则, 有红, 得证), 为红(否则, 有黑, 得证),为黑(否则, 有红, 得证),为红(否则, 有红, 得证),为黑(否则, 有红, 得证),为红(否则, 有黑, 得证). 此时,为红三角形. 故结论成立.

在上面的右图中, 设为黑(否则,和均为红三角形, 结论成立).

若、均为黑， 则在、、、中，可产生同色三角形，且该三角形异于. 所以结论成立. 若、均为红，则同理可证结论成立. 若、一红一黑，不妨设红,黑. 设黑(否则, 有红, 得证),黑(否则, 有红, 得证),红(否则, 有黑, 得证), 红(否则, 有黑, 得证). 此时, 在、、、中，可产生同色三角形，且它异于. 所以结论成立.

数学美欣赏第1章数学的简洁性