线性代数习题及答案

习题一

1■计算下列排列的逆序数

1)9级排列 134782695;

2)n级排列 n(n -"III21。

解.(1) .(134782695) = 0 4 0 0 4 2 0 0 0=10

… n(n—1)

(2) [n(n 一1)|||21] = (n _1) (n-2)川 1 0 —

2■选择i和k，使得：

1)1274i 56 k 9成奇排列;

2)1i 25 k 4897为偶排列。

解：（1）令i =3，k=8，则排列的逆序数为：（127435689^5，排列为奇排列

从而 i =3，k 二8

（2）令i =3,k =6，则排列的逆序数为：（32564897） = 5，排列为奇排列

与题意不符，从而i =6，k =3

3■由定义计算行列式

a11 a12 0 0 0

a21 a22 0 0 0

a31 a32 0 0 0

a41 a42 a43 a44 a45

a51 a52 a53 a54 *55

解：行列式=

(j1j2 j3j4j5 )

(T) a1 j1 a2j2a3j3a4j4a5j5

j1 j2 j3j4 j5

，因为j1, j2, j3至少有一个大于3,

所以印启」2眄3中至少有一数为0,从而如孔兀％4兀=° （任意j1, j2, j3, j4, j5 ），

于是

(j1 j2 j3j4 j5 )

(T) a1j1 a2j2a3j3a4j4a5j5

j1 j2j3j4j5

4■计算行列式:

4)

7

1 1

(V- Jl| --)a1adHan

= —2(n -2)!

提高题

1■已知n级排列MlllhJn的逆序数为k，求排列jnjJllj/l的逆序数。

解：设原排列j1j2llljn」jn中1前面比1大的数的个数为人，则1后面比1大的数的 个数为（n 一1）*，于是新排列jnj」ll j2ji中1前比1大的个数为（n-U-K个；依 此类推，原排列jlj2llljn」jn中数i前面比i大的数的个数为ki，则新排列

jn jn』I I I j2 j1中i前比i大的个数为（n - D - ki个记，（j1 j2 I丨丨jn J jn ）=

k1 «山kn」=k，故新排列的逆序数为

=12 Hl(n -1)-k =巴 3 -k

2 。

2■由行列式定义计算

2x x 1

f (x)二

4 3

中X与X的系数，并说明理由。

解：由于行列式定义中的每一项来自于不同行和不同列的 n个元素的乘积。而

4

该行列式中每个元素最高含X的一次项，因此X的项只能由对角线上的元素乘

（1234）

积所得到X ,故X的系数为（T） 2二2

3 / 4 \ 離134）

同样的考虑可得X的系数为（T） 二一1。

P( x) = (x - ai )(x - a2)11 Kx - a* )佝-玄2川 1佝-a* )(a2 - a3)() ((a2 - aj) I (a*」…a*)

2)因为x - a ( i=i,2,||1, nJ)代入P(x)中有两行元素相同，所以行列式为 零，从而P(x)=0的根为知时山叭。

习题二解答

1.计算

设A是n阶实方阵,

0

A A 二

=0

证明:

。从而。

且AA7

证明A = O。

2

nn 。所

+ 笑1 * | ||* an1 = ai2 + a22 * H | * an2 = ain + a2n + | | | + ann = 0。因为 aij 为实

即 aibj

二ajbij(i, j "NlILn)。由于 ai，a2,lll，an 互不相同，所以 2 j 时，bij =0。

川0、

HI 0

III III

川0丿。即B为对角矩阵。

5.证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和

B 一（A A） c 一（A_ A）

解:

2

f(A) =A -A-E =

5

8

-2

3、

3

一2」

2

7.已知方阵A满足A -A-7E=0。证明A及A 2E可逆，并求它们的逆矩 阵。

2

证明：由A _A_7E=0，可得:

A(A-Er7E。所以a可逆，且人亠勺巳

2

同理由A…A-7E=0

，可得:

(A -3E)(A 2E) = E

所以A 2E可逆，且

4)

1)

7

o

7

(A 2E) = A-3E。

求下列矩阵的逆阵:

解:

7

3

1

一 1

T

-'1

3

-3

-3

4八

7

9.

1)

3)

7

T

3

T

已知

2

0

3」

且AB=A+2B

(A-2E)」

解：由 AB = A 2B，可得 B =(A-2E)—A。又

所以

「1 2

B = (A-2E)」A= -1 5

<2七

-3

10.设A是n阶方阵，如果对任意

n 1矩阵X均有AX = 0。证明A = 0

证明：记

A 二

，由AX

aij 二 0

同理可得

O

(i,j=1,2j||,n)

(i

-1,2J 11, n)

11.

已知4阶方阵A的行列式A二5，求

解:

因为

AA — A E ,两边取行列式有

所以

4

-5 -625

0

12.

设A，B分别为m，

n阶可逆方阵,

证明分块矩阵

A

0

B」可逆，并求逆。

证明:

因为A，B可逆,

*1

<X21

0

B，可逆。记

AX“ = E

』 AX12 = 0

CX11 BX2厂 0 于是 CX12 BX22 二 E

所以

X12

X22是

，从

A’ 0

-B^CA^

A 0

lC B丿的逆，则iC

X卄A

x12 =0

X21 _ -B_1CAJ

X22 二 B_1

。故矩阵

X11

X21

X12

X22 J

rA 0

B.丿的逆为

解:

14.

因为

解:

A、

0」

八1

，其中A—，

E

求下列矩阵的秩:

1)

3)

1

C存在,

，所以

求X」

o

X 二

7

2

a

b2

2

c

3、

a

b3

3

c丿

1) 2。

2)

3)当 a=b=c时,

秩为1;

当a,b, c有某两个相等时，秩

为2;当a，b，c互不相等时，秩为3 。

提咼题

1.秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和。

证明：设矩阵A的秩r ,由推论1结果可知：存在可逆矩阵P和Q使得

PAQ =

■zEr 0

<0 0

Ik

2.

1)

2)

010卜川

0 0

]QJ

，其中

(k =1,2,lll,r)表示第k行k列元素为1、其余元素为0的r阶方阵。记

心［

Ik 0

0 0

]Q‘

(k=1,2」||，r)，则 Ak 的秩为 1, 且 A = A+川+ 九。

设m n矩阵A的秩为1,证明:

A可表示成

ai

2

A =kA (k是一个数)。

证明：1）因为A的秩为1,所以存在某元素*厂°。记A的第i行元素为 九川山, 则A的任一行向量可由第i行线性表示（否则与i行向量线性无关，与A的秩为1 矛盾）。记ai」ll,an依次为第1行、…、第n行的表示系数，则有

A= : (d …

Iam丿

bn

(其中 k 二 da「III • bnan)。

a

AX = = aX

III

A’X^X 」 -

可逆，所以a = °。从而 a ，即人一的每一行元素之和等于常数 a 。

4.证明：

1） 上 （下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；

2） 可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。

证明：1）记A 弘n n，B bjk门n为上三角矩阵，C = AB。则 j k时,

意 S aisbsk = 0。从而 i > k 时 Gk - ai 1D j + I I I * ais bsk + I I I * ain bnk - 0。故上

角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。同理可证明下三角矩阵的情形。

6.设A二其中〉是n 1非零矩阵。证明：

2

1） A二A的充分必要条件是::^1 ；

2） 当:-=1时，A是不可逆矩阵。

证明：1）若A =A，即有E_C，_2）：.「二E_〉•: o又：.是n 1非零矩

阵，所以是n n非零矩阵，从而「一2「，即::=1o以上每步可逆,

故命题成立。

2

2）当2毬T时，由1），A =A o若A可逆，则可得A=0，矛盾。故A是 不可逆矩阵。

m n矩阵，证明:

7.设A ,B分别是n m、

7

习题二

1.解下列线性方程组:

x1 -x2-

X2 _ X3 二 a2

X3 _ X4 = 83

X4 _ X5 = 84

X5 - X1 二 a5

有解的充分必要条件是ai a2 a3 a4 a^ = 0

证明：方程组的增广矩阵为：

，系数矩阵的秩为4。故方程组有解的充分必要条件是

a〔 a? a3 a4 a^ _ 0

4.判断下列方程组解的存在性:

c中某一数时，方程组有解。

相等时，或a，b，c全相等时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩分别为 i或2, 方程组有无穷个解。

5 •设有齐次线性方程组

3 + bx2 + I 卄 + bXn = 0 严为 +ax2 +|朴 +bx. =0

HIHIIIIIIilHIIIIHIIIIII

Qx!十 bx2 + H j 十 aXn = 0

讨论方程组何时仅有零解？何时有无穷多解?

a b II) b

b a III b n 1

解：方程组系数矩阵的行列式

b b III a

n —i

[a (n T)b](a -b)

时，即

1 - n 时,

方程组仅有零解;

a,

时，方程组有无穷多解

提咼题

缶％ +ai2y2 +||丨 + amyn 7

-IHHinilllinHIIIIIII

1.证明：线性方程组尹计％ +3讪％ +Il| + amnyn =bm有解的充分必要条件是

印1人 +印2乂2 +|" + amiXm =0

' I 川 1111 川 IHIII川 Illi

^In X^ + a2nX2 I + amn X^ = 0 的解全是 bixi + | | | + ^Xm = 0 的解。

5iiyi +印2丫2 + 丨丨丨 + ainyn

* IHHIIIIIIinilHIIIHI

证明：1）若方程组+為2力+川+為4 "m有解，设（kl，k2,|||,km）是方

程组

3iiXi +ai2X2 +川 + amiXm =0

inilllHHIHIIIIIIIIII

ginXi * 比nX2 * 川 * amnXm - 0 的解 则

4ki + ||| + amikm = 0

iniiiiniiiHHii

Qnki + |||+amnkm = 0 从而

冰 III bmkm =(a“ki III amikm)yi ill @点 W amnkmM = 0

方笛论 +a12x2 +IH+am1xm =0

’ inilllHHIHIIIIIIIIII

2)若 iainXi + a2nX2 * 川 * amnXm - 0 的解全是 b1X1 H I + ^Xm = 0 的解 即

2朋 +ai2X2 +IH + amiXm =0

iniiiiHHiiiiiiiiiiiii

◎nN +a2nX2

aiiXi+S^Xz+lll +amiXm = 0

HIHIIIIIIIIIIHIIIHII

ainXi +a2nX2 +HI +amnXm =0

驱+认+111+bmXm =0同解，所以矩

与

ll「OmnXm

的秩相等。而它们的转置即为方

^11% +印2丫2 + ||| + amyn =bi

，IIIHIHIIHinHIIIIIII

程组Fmiyi * am2y2打I I *為nyn = bm的系数矩阵和增广矩阵，由于转置矩阵与原

QiiM + ai2y2 十||丨 + 印.丫.

-IIIHIinHinillllllHI

矩阵的秩相等，所以方程组+為必+111 +脇『"=bm有解。

2.已知平面上三条不同直线的方程分别为:

li: ax + 2by+3c=0 丨2: bx + 2cy+3a = 0

・ ? ・ ?

I3: cx 2ay 3b = 0

证明：这三条直线交于一点的充分必要条件为 a b 0 0

证明：1）设三条直线交于一点，则三条直线对应的方程构成的方程组有唯一解。 由于三条直线不同，所以方程组的系数矩阵秩为2,故增广矩阵的秩也必须为2

即行列式

o

2 2 2

= 6(a b c)[(a-b) (b-c) (c-a) ] = 0

2）若a b ^0，三条直线对应的方程增广矩阵的秩小于 3

2b

2c

12 3

=2 (ac-b2) —2 [(a -b)2 b -- 0

24

所以系数矩阵的秩为2。从而

方程组有唯一解

3 •已知方程组

洛 + x2 - 2x4 = -6

4x〔「x2「x3「X4 = 1

(i) 3x1 - X2 - x3 = 3

x1 mx2 _ x3「x4 = _ 5 « nx2 -x3 -2忑=T1

问方程组（II）中的参数m，n，t为何值时，方程组（1）与（II）同解。

解：因为方程组（I ）与（II）同解，贝U方程组（I ）与（I ）、（II ）联立的方程组 同解。（I）、（II）联立的方程组增广矩阵为

所以 m=2 , n=4 , t=6 。

4 •给定齐次线性方程组

+IH +4nXn =0

IIIIIIIIIHIIIIIIIIIIIII

耳必+1"=0

其中A =佝)的行列式A = 0，且存在一凡=0，若

证明：由于A = 0，且存在一 Ak厂0，所以齐次方程组的系数矩阵的秩为n -1，

(AkJIlA)是齐次方程组的一个非零解，所以

习题四

1. 设十(乙5,1,3)，^(10,1,5,10)，彳珂4,1，"1)。且向量：满足

3(% -a)+2(也+□) =5(6+")，求口。

解：-二(1,2,3,4)。

2.下列向量组中，向量：能否可由：1，- 2，- 3线性表示？若能，写出表示式, 并说明表示式是否唯一。

忙 円=(1,1,1,1) 。2=(1,1厂1,1) 。3 = (1厂1,1厂1) B =(1,2,1,2)；

a i=(1,2,1,3)。2 =(1厂 3,-4厂7) « 3 = (2,1,T,0) P =(4,-1厂5厂6)

2 丿 ， ， ，

3.判断下列向量组是否线性相关:

1)% =(2,3,6) a2 = (5,2,°) °^3 =(7,5,6)；

2) 宀=(1,3,4,—2) «2=(2,1,3,-1) a3 = (3,—1,2,0)；

2丿 , ,

3) 口 1 =(1,2,3) «2=(2,3,1) «3 = (1,3,t).

3丿 , ,

2 2 2

4丿 a 1=(1,a,a) , a 2=(1,b,b) , a 3 = (1,c,C)。

解：1丿线性相关；2）线性相关；3）当t = 8时线性相关，当t = 8时线性无关。

4）当a,b,c有某两个相等时线性相关，当a,b,C互不相同时线性无关。

（k1 k2 飞）：1 （k2 k3）：2 k3：3=0。由于：1，: 2，: 3 线性无关，所以

（k1 + k2 + k3）= （k2 + k3）= k3 = 0 推出 k1 = k2 = k3 = 0。故 1 ^^2

--：'3也线性无关。

5.设向量组1,lll, ： s线性无关，而向量组：1,HI, ： s，‘线性相关。证明：可

证明：因为向量组1, llh : s, 1线性相关，故存在不全为零的ki, III，ks,k使 得 kn+ HI ks：（ k JO。若 k = 0，则 ki： i+ III ks： s = 0。又:i, III, : s 线性无关，可得ki=ll|=ks=O，此与心III, ks’k不全为零矛盾，所以k = 0。

1

（k£1+||| ■ ks、；s）

从而有 k ，即'可表示成〉1,IH,〉s的线性组合。

下证表示式是唯一。设有」心1+111 3十1+川「，可得

（k1-“务+川+（ks=0。由a 1,IH,as线性无关 可得

k1 - Wks -1厂0，即表示式是唯一的。

6.判断下列两向量组是否等价：

7.求下列向量组的极大线性无关组，并用它来表示其余向量：

1） 1=（0,0,0,1） : 2=（1,1,0,1） ： 3=（2,1,3,1） : 4 =（1,1,0，°），5 =（0,1，一1，一1）

| 丿 , , , ,

=(021,5,-1)

>2

2) ： ^(1,1,2,2,1)

,所以〉1「2「3,〉5 是

行向量组为‘1厂2，川，「，极大线性无关组为 」，『，川厂jl。则A B的向量 组为-1^h- n，它可由55,111,= , j「2,川「I线性表示。所以

秩（A B ）=秩（一1,川宀• -n） < k l =秩（A） +秩（B）。

9.用基础解系表示下列方程组的解。

人 X2 -2X3 - X4 X5 =1

3/ - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 = 4

厶 +5x2 —9x3 -8& +x5 = 0 ；

7

Xi X2 X3 x4 x5 =1

2xi + 2x2 - X3 - X4 + 2x5 = 5

X3 X4 _ X5 = _1

0 ■ k1 1 ' k2 2( k1,k2 为任意数)。

10.设0是非齐次线性方程组AX二B的解，J", s是AX

明：1,1山s, 0线性无关。

证明：设有 alllK’k 使得 k^TII + ksHs*0-0 (",若 “0，则:

1 1

0 八一缶 1 III ks s） A 0 = -一（&A 1 ||| ksA s） 7

k ，从而 k ，即0为

AX =0的解，矛盾。故k = 0，代入（1）,由1川，s线性无关，知人=ll|ks = 0， 所以1,川，s, 0线性无关。

11.设V是一线性空间，川Fs为V中一组向量，记

L®, |||,叫）=｛21 +川+ ksds | kj||,ks是任意数｝。证明申1,|||,叫）是V的子 空间（该子空间称为生成子空间）。

证明：任意〉，_ L（〉1,ll|」s），则：一心」III Ks，III 酱 s，从 而〉l）1 III （ks Js LC1,lll,：s）。又对任意数 k， ka =kk*1 +|||+kksds€ LSlIgs）。所以 LgllWs）是v 的子空间。

12.设 V=｛（X1,X2,X3）|2x1-X2 53=0*兀* R｝。证明 V 为一线性空间，求

V的一个基和标准正交基。

证明：因为V为齐次线性方程组2x1 - x2 • 3X3 = 0解，由齐次方程组解得线性组

合仍是齐次线性方程组的解知 V为一线性空间。它的基础解系为 V的一个基:

提高题

「「III - : s4 等价。

1

ai =一(优+川 + 為)-E • 一 |卄 a H| a 0 III p

证明：因为 n-1 ( I T,Ill’s)，所以 sill, s 与 p 1,lll, s

可以相互线性表示，故两向量组等价。

2•设A, B为门阶方阵，AB=0。证明：秩(A)+秩(B)二n。

证明：记B =(Bi，lll，Bn)，则B的秩等于向量组(B1,III, Bn)

AB = A(B1, III, Bn) = (AB,川,ABn) = 0，即 BjIl’Bn是齐次线性方程组 AX = 0 的解，从而B^HhBn可由AX = 0的基础解系表示，所以向量组(Bhll'Bn)的秩 小于或等于n-秩(A (基础解系中解向量的个数)。故有：秩(厲+秩(B)' n。 3•若A2=A。证明：秩(厲+秩(A-E) = n。

证明：因为A =A，得 A(A-E)=0，由提高题2知：秩(A)+秩(A-E)丄n。 又一A + (A-E) = -E，由习题8可得门=秩(-E"秩(A)+秩(A-E)。故 秩(A)+秩(A-E) = n

。

4.设n阶矩阵A的秩为r， “III」」1是非齐次线性方程组 AX = B的解，且 线性无关。证明AX =B的任一解可表示为& 1 • III • kn，1 n，1，其中

ki I I | k n 丄 1 = 1

0

证明：因为n阶矩阵A的秩为r，所以齐次方程组AX二0的基础解系中所含向 量个数为门-「。又因为「Hh 是= B的线性无关解，所以2 一 1，…， n n A n n n n A

n— _ 1是AX =0的解，且线性无关，故2 _ 1，…，1是AX = 0的

一个基础解系。因此AX二B的任一解可表示为

11( 2- 1) III —( n—- 1) 1 Pi -川- IQ 1 11 2 川—n」1

记 k1 = (1 一川， k2 = iJILknj 1 = ln_r，则 k1 k^ I k^r 1 二 1

并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。

= (—2)( — 3)

解: 1) -2丸-4 ，特征值人=2,3。

当一 2时，1珂-1,1)，故属于，=2的特征向量为kl 1 (匕=°)。 当一 3时，2珂-1,2)'，故属于• =3的特征向量为k2 2 ( k2 = °) 由于线性无关的特征向量个数为2,故可以对角化。

2)

当一°时，1珂-1，-1,1)，故属于一 °的特征向量为k1 1( 3°)