第十八章　平行四边形

【教学目标】

1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；

2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；

3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。

【教学重点】

1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。

2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。

【教学难点】

平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。

【教学模式】

以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺 -----综合训练，总结规律-----测试练习，提高效率

【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件。

【教学过程】

一、以题代纲，梳理知识

（一）开门见山，直奔主题

同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道练习题，请看大屏幕。

（二）诊断练习

1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O：

(1) AB＝CD,AD＝BC （平行四边形）

(2)∠A＝∠B＝∠C＝90° （ 矩形 ）

(3)AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形 （ 菱形 ）

(4)OA＝OC＝OB＝OD ，AC⊥BD （ 正方形 ）

(5) AB＝CD, ∠A＝∠C ( ？ )

2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为 5 厘米。

3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是 菱形 。

4、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是 50 平方厘米。

5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有： 矩形、菱形、正方形 ，中心对称图形的有： 平行四边形、矩形、菱形、正方形 ，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是： 矩形、菱形、正方形 。

（二）归纳整理，形成体系

1、性质判定，列表归纳

2、基础练习：

（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　C　　）

　　 A．对角线相等　（距、正）　 B. 对角线平分一组对角 （菱、正）

　　 C．对角线互相平分 　　　D. 对角线互相垂直 （菱、正）

（2）、正方形具有，矩形也具有的性质是（　　A　　）

　 A．对角线相等且互相平分　　 B. 对角线相等且互相垂直

　 C. 对角线互相垂直且互相平分　 D. 对角线互相垂直平分且相等

（3）、如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（ D　 ）

　 A．正方形　　　B．菱形　　　C．矩形　 D．平行四边形

都是中心对称图形，A、B、C都是平行四边形

（4）、矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（　 B 　）　　　　　

　 A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对边平行且相等　　 D. 内角和为3600

问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形。

（5）、正方形具有而矩形不具有的特征是（　　D　　）

A. 内角为3600　B. 四个角都是直角 C. 两组对边分别相等 D. 对角线平分对角

问：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？对角线相等

2、集合表示，突出关系

二、查漏补缺，讲练结合

（一）一题多变，培养应变能力

〖例题1〗

已知：如图1，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，

EF过点O与AB、CD分别交于点E、F．

求证：OE=OF．

证明: ∵

变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

变式2．在图1中，如果过点O再作GH，分别交AD、BC于G、H，你又能得到哪些新的平行四边形？为什么？

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

变式3．在图1中，若EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F，这时仍有OE=OF吗？你还能构造出几个新的平行四边形？

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

变式4．在图1中，若改为过A作AH⊥BC，垂足为H，连结HO并延长交AD于G，连结GC，则四边形AHCG是什么四边形？为什么？

可由变式1可知四边形AHCG是平行四边形，

再由一个直角可得四边形AHCG是矩形。

变式5．在图1中，若GH⊥BD，GH分别交AD、BC于G、H，则四边形BGDH是什么四边形？为什么？

可由变式1可知四边形BGDH是平行四边形，

再由对角线互相垂直可得四边形BGDH是菱形。

变式6．在变式5中，若将“□ABCD”改为“矩形ABCD”，GH分别交AD、BC于G、H，则四边形BGDH是什么四边形？若AB=6，BC=8，你能求出GH的长吗？（这一问题相当于将矩形ABCD对折，使B、D重合，求折痕GH的长。）

略解：∵AB=6，BC=8 ∴BD=AC=10。

设OG = x，则BG = GD=．

在Rt△ABG中，则勾股定理得：

AB2 + AG2 = BG2 ，

即，

解得 ．

∴GH = 2 x = 7.5．

（二）一题多解，培养发散思维

〖例题2〗

已知：如图，在正方形ABCD，E是BC边上一点，

F是CD的中点，且AE = DC + CE．

求证：AF平分∠DAE．

证法一：（延长法）延长EF，交AD的延长线于G（如图2-1）。

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠C=∠ADC=90°（正方形四边相等，四个角都是直角）

∴∠GDF=90°，

∴∠C =∠GDF

在△EFC和△GFD中

∴△EFC≌△GFD（ASA）

∴CE=DG，EF=GF

∵AE = DC + CE，

∴AE = AD + DG = AG，

∴AF平分∠DAE．

证法二：（延长法）延长BC，交AF的延长线于G（如图2-2）

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD // BC，DA=DC，∠FCG=∠D=90°

（正方形对边平行，四边相等，四个角都是直角）

∴∠3=∠G，∠FCG=90°，

∴∠FCG =∠D

在△FCG和△FDA中

∴△△FCG和△FDA（ASA）

∴CG=DA

∵AE = DC + CE，

∴AE = CG + CE = GE，

∴∠4 =∠G，

∴∠3 =∠4，

∴AF平分∠DAE．

思考：如果用“截取法”，即在AE上取点G，

使AG=AD，再连结GF、EF（如图2-3），这样能证明吗？

三、综合训练，总结规律

（一）综合练习，提高解题能力

1． 在例2中，若将条件“AE = DC + CE”和结论

“AF平分∠DAE”对换，

所得命题正确吗？为什么？你有几种证法？

2．已知：如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

G、H分别是BC、AD的中点．

求证：四边形EGFH是平行四边形．（用两种方法）

（二）课堂小结，领悟思想方法

1．一题多变，举一反三。

经常在解题之后进行反思——改变命题的条件，或将命题的结论延伸，或将条件和结论互换，往往会有意想不到的收获。也只有这样，才能做到举一反三，提高应变能力。

2．一题多解，触类旁通。

在平时的作业或练习中，通过一题多解，你不仅可以从中对比选出最优方法，提高自己在应考中的解题效率，而且还能开阔你的思维，达到触类旁通的目的。

3．善于总结，领悟方法。

数学题目本身蕴含着许多数学思想方法，只要你善于总结，就能真正掌握、提炼出其中的数学方法，才能不断提高自己分析问题、解决问题的能力。

四、课后反思

八年级数学下册第18章平行四边形教案