数学之美

摘要：提到数学跟美的关系，很多人表示不解。但艺术的美感跟数学是分开的。其实，数学关于美术中的重要性，想来就被一些科学家和艺术家所肯定。一个艺术品能否成功有一个重要因素———是不是和谐美。所谓和谐美就是满足了数学上的黄金分割。另一方面，音乐之美也是跟数学紧密联系着的。理性的数学中也存在着感性的音乐. 由一段三角函数图像出发,我们只要对它进行适当的分段,形成适当的小节, 并在曲线上选取适当的点作为音符的位置所在,那么就可以作出一节节的乐曲

关键词：数学之美，艺术，黄金分割，音乐

正文：美是人类创造性实践活动的产物，是人类本质力量的感性显现。通常我们所说的美以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心[1]。简言之数学美就是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西。历史上许多学者、数学家对数学美从不同的侧面作过生动的阐述。 普洛克拉斯早就断言：“哪里有数，哪里就有美。” 亚里士多德也曾讲过：“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式家是“秩序、匀称和确定性”，这些正是数学研究的原则。” 以上的论述可见，数学中充满着美的因素，数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的呈现，它不是什么虚无飘渺、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。数学美有别与其它的美，它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面，它却是一种独特的美。

　　美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。” 　数学美与其它美的区别还在于它是蕴涵在其中的美。打个比方来说，大家一定都有这种感觉，绝大部分同学对音体美容易产生兴趣，而对数学感兴趣的不多。我认为，这主要有两个方面的原因：一是音体美中所表现出来的美是外显的，这种美同学们比较容易感受、认识和理解；而数学中的美虽然也有一些表现在数学对象的外表，如精美的图形、优美的公式、巧妙的解法等等，但总的来说数学中的美还是深深地蕴藏在它的基本结构之中，这种内在的理性美学生往往难以感受、认识和理解，这也是数学区别于其它学科的主要特征之一。二是长期以来，我们的数学教材过分强调逻辑体系和逻辑推演，忽视数学美感、数学直觉的作用，长此以往，学生将数学与逻辑等同起来。一味注重数学的逻辑性而忽视了数学本身的美，学习的过程中就会感到枯燥无味缺乏兴趣。

大多数的数学家会由他们的工作及一般数学里得出美学的喜悦。他们形容数学是美丽的来表示这种喜悦。有时，数学家会形容数学是一种艺术的形式，或至少是一个创造性的活动。通常拿来和音乐和诗歌相比较。 数学之美还在于其对生活的精确表述、对逻辑的完美演绎。可以说正是这种精确性才成就了现代社会的美好生活。

它的最美之处莫过于在无形之中就让你思维变得敏捷．考虑事情时，不在那么偏激，那么单一．作为一个公民来说了不了解它是一个后话，至少应该不否定它．尤其是学生．

　　让我们先来看看看下面的算式：

　　1 x 8 + 1= 9

　　12 x 8 + 2= 98

　　123 x 8 + 3= 987

　　1234 x 8 + 4= 9876

　　12345 x 8 + 5= 98765

　　123456 x 8 + 6= 987654

　　1234567 x 8 + 7= 9876543

　　12345678 x 8 + 8= 98765432

　　123456789 x 8 + 9= 987654321

　　1 x 9 + 2= 11

　　12 x 9 + 3= 111

　　123 x 9 + 4= 1111

　　1234 x 9 + 5= 11111

　　12345 x 9 + 6= 111111

　　123456 x 9 + 7= 1111111

　　1234567 x 9 + 8= 11111111

　　12345678 x 9 + 9= 111111111

　　123456789 x 9 +10= 1111111111

　　9 x 9 + 7= 88

　　98 x 9 + 6= 888

　　987 x 9 + 5= 8888

　　9876 x 9 + 4= 88888

　　98765 x 9 + 3= 888888

　　987654 x 9 + 2= 8888888

　　9876543 x 9 + 1= 88888888

　　98765432 x 9 + 0= 888888888

　　1 x 1= 1

　　11 x 11= 121

　　111 x 111= 12321

　　1111 x 1111= 1234321

　　11111 x 11111= 123454321

　　111111 x 111111= 12345654321

　　1111111 x 1111111= 1234567654321

　　11111111 x 11111111= 123456787654321

　　111111111 x 111111111= 12345678987654321

　　3 x 4=12

　　33 x 34=1122

　　333 x 334=111222

　　3333 x 3334=11112222

　　33333 x 33334=1111122222

　　333333 x 333334=111111222222

　　142857 x1=142857

　　142857x 2=285714

　　142857x 3=428571

　　142857x 4=571428

　　142857x 5=714285

　　142857x 6=857142

　　142857x 7=999999

看看数字之和表示什么

　　现在让我们研究一下其他的问题吧！

　　从数学角度出发，101%>1是毋庸置疑的。然而当一个人说想要付出101%的努力又意味着什么呢？

　　我们都曾经历过这样的画面：有人站在你面前，信誓旦旦的说要付出超过100%的努力。然而这可能吗？

　　这里有一个小小的数学公式可以帮助你回答这个问题：

　　如果用1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 21% 22% 23% 24% 25% 26%

　　来代替A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

　　那么单词 H A R D W O R K(努力工作)

　　即为 8%+1%+18%+4%+23%+15%+18%+11%= 98%

　　然后单词 K N O W L E D G E （知识）

　　即为 11%+14%+15%+23%+12%+5%+4%+7%+5%= 96%

　　单词 A T T I T U D E（态度）

　　即为 1%+20%+20%+9%+20%+21%+4%+5%= 100%

　　短语 L-O-V-E-O-F-G-O-D（上帝之爱）

　　即为 12%+15%+22%+5%+15%+6%+7%+15%+4%= 101%

　　因此，由数字得出的结论是：努力工作和知识可以让你离成功很近，态度可以助你成功，而上帝之爱才可以真正的推你到顶峰。

数学美的内容

　　随着数学的发展和人类文明的进步，数学美的概念会有所发展，分类也不相同，但它的基本内容是相对稳定的，这就是：对称美、简洁美、统一美和奇异美。

对称美

　　所谓对称性，既指组成某一事物或对象的两个部分的对等性，从古希腊的时代起，对称性就被认为是数学美的一个基本内容。毕达哥拉斯就曾说过：“一切平面图形中最美的是圆，在一切立体图形中最美的是球形。”这正是基于这两种形体在各个方向上都是对称的。

　　中国的建筑就很好的应用了数学的对称美，有许多的园林建筑都应用了这一点。

　　数学中的这种对称处处可见：几何中具有的对称性（中心对称、轴对称、镜象对称等）的图形很多，都给我们一种舒适优美的感觉。几何变换也具有对称性。

　　杨辉三角更组成美丽的对称图案

　　1 1

　　1 2 1

　　1 3 3 1

　　1 4 6 4 1

　　1 5 10 10 5 1

　　1 6 15 20 15 6 1

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　　分析：在杨辉三角的图案中每一行的除了首尾的数字是1以外，其他的数字是左上角和右上角的数字的和。这样就构成了有规律的并且是成对称的形状的三角图案了。

　　数学的解题中也体现对称美：

　　例1、

　　解：原式=111111111×111111111

　　=12345678987654321

　　分析：分式的分子是九个九乘以九个九，分母是九个数字的和并且成对称的，结果也是九个数字组成的对称的结构，真是太出人意料了太美妙了

　　例2、 0×9+1=1

　　1×9+2=11

　　12×9+3=111

　　123×9+4=1111

　　1234×9+5=11111

　　…………………

　　　　此外代数中的对称多项式，有理系数的多项式方程无理根成对出现，实系数的多项式方程虚根成对出现，函数及其反函数图象的关系，线性方程组的距阵表示及克莱姆法则等都呈现出对称性。

　　还有一个类似对称的词匀称。“匀称性”的概念可以看成“对称性”的概念的自然发展。线段的黄金分割就是一个典型的例子，主要是因为由此构成的长方形给人以“匀称美”的 感觉。黄金分割比 …也被誉为“人间最巧的比例”。世界上许多著名的建筑广泛采用黄金分割的比例。一些名画的主题，电影画面的主题大多放在画面的0.618处，给人以舒适的美感。乐曲中较长一段一般是总长度的0.618，弦乐器的声码放在琴弦的0.618处会使声音更甜美。另外，黄金分割比在优选法中有着重要的作用。

简洁美

　　汉语的语言要求言简意赅，同样数学作为逻辑性很强的学科它的语言表达也是简洁的。

　　简单性（或称简洁性）也是数学美的一个基本内容。数学的简洁性是人类思想表达经济化要求的反映，它同样给人以美感。爱因斯坦说过：“美在本质上终究是简单性。”

　　数学语言本身就是最简洁的文字，同时反映客观规律极其深刻，许多复杂的客观现象，总结为一定的规律时，往往呈现为十分简单的公式。

　　欧拉给出的公式：V－E+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，令人惊叹不已。在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。

　　比如：圆的周长公式：C=2πR 任意一个圆它的周长都满足这样的公式。勾股定理：

　　数学中绝大部分公式都体现了“形式的简洁性，内容的丰富性”。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。

统一美

　　所谓统一美，是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致。

　　在数学中有好多数学统一性的例子。例如，引入负数，有了相反数的概念之后，有理数的加法和减法得到统一，它们可以统一为代数和的形式。有了倒数的概念，除以一个不等于零的数等于乘上它的倒数，于是乘法与除法得到了统一。例如平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理均可统一到圆幂定理之中。　　统一美反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一,数学理论的统一,数学和其它科学的统一。

奇异美

　　人们提起数学的时候通常会说“奇妙的数学”，数学的学习和解题中也有一些非常规的奇妙的解法等等。这些就是我们通常说的数学的奇异性。

弗兰西斯·培根曾说：“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异。”这句话的意思是：奇异存在于美的事物之中，奇异是相对于我们所熟悉的事物而言。一个事物十分工整对称、十分简洁或高度统一，都给人一种奇异感，一个新事物、新规律、新现象的被揭示，总是使人们感到一种带有奇异的美感，令人产生一种惊奇的愉快。数学审美对象的奇异性有以下几种典型表现形式。奇异性是数学美的一个重要特征，它反映了显示世界中非常规现象的一个侧面，也是数学发现中的重要美学因素。数学领域中的一些新的观念的产生，就是来自对奇异美的追求。

关于数学的奇异性，接下来讲一个蒲丰用投针求圆周率的近似值的试验也是数学方法奇异性的一个典型例子。有一天蒲丰邀请许多宾朋来家做了一个奇特的实验。他事先在白纸上画好了一条条有等距离的平行线，将纸铺在桌上，又拿出一些质量匀称长度为平行线间距离之半的小针，请客人把针一根根随便仍到纸上，蒲丰则在一旁计数，结果共投2212次，其中与任意平行线相交的有704次，蒲丰又做了一简单的除法 ，然后他宣布这就是圆周率的近似值，还说投的次数越多越精确。这个实验使人震惊，圆周率和一个表面看来毫不相干的随便投针实验沟通在一起。然而，这确实是有理论根据的。计算圆周率的这一方法新颖、奇妙而让人叫绝，充分显示了数学方法的奇异美。

　　在教学“奇妙的9”时，举了一些式子也是数学奇妙性的反映

　　2×9=18 1+8=9

　　13×9=117 1+1+7=9

　　26×9=234 2+3+4=9

　　56×9=504 5+0+4=9

　　78×9=702 7+0+2=9

　　通过观察，他们发现任意的一个自然数乘9，乘的的积的各个数位上的和均为9，这是多么美妙的发现，学生在体验到成功的喜悦的同时，也体会到了数学的神奇美。

　　奇巧的东西给人以奇异、巧妙之感，高度的奇巧更是令人赏心悦目。数学中充满着奇巧的符号、公式、算式、图形和方法。欧拉给出的著名公式eip+1=0,将最基本的代数数0，1，i和超越数p，e用最基本的运算符号，通过最方便的方式巧妙的组合在一起，可谓数学创造的艺术精品。欧拉求无穷级数 1/n2和的方法、蒲丰投针求p值的方法、希尔伯特解决果尔丹问题的存在性证明方法，都以其巧妙而赢得学术界的高度赞美。

　　神秘的东西都带有某种奇异色彩，使人产生幻想和揭示其奥妙的欲望。某些数学对象的本质在没有充分暴露之前，往往会使人产生神秘或不可思议感。比如，在历史上，虚数曾一度被看作是“幻想中的数”、“介于存在和不存在之间的两栖物”；无穷小量dx曾长期被蒙上神秘的面纱，被英国大主教贝克莱称为“消失了量的鬼魂”；彭加勒把集合论比喻为“病态数学”，外尔则称康托尔关于基数的等级是“雾上之雾”；非欧几何在长达半个世纪的时间内被人称为“想象的几何”、“虚拟的几何”等等。当然，当人们认识到这些数学对象的本质后，其神秘性也就自然消失了。

。 比例美

　　黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。

条上凝聚了多少形象的数学……真可谓哪里有数学，哪里就有美。

数学之美