北京市西城区（北区）2012–2013学年度第一学期期末试卷

八年级数学 2013.1

（时间100分钟，满分100分）

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1．计算的结果是（ ）．

A．－9 B．－9 C． D．

2．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）．

A． B． C． D．

3．点P（－3，5）关于y轴的对称点的坐标是（　　）．

A．（3，5） B．（3，－5）

C．（5，－3） D．（－3，－5）

4．将正比例函数y=3x的图象向下平移4个单位长度后，所得函数图象的解析式为

（　　）．

A． 　 B．

C． D．

5．下列各式中，正确的是（　　）．

A． B．

C． D．

6．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）．

A．在AC、BC两边高线的交点处

B．在AC、BC两边中线的交点处

C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处

D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处

7．估计的值在（　　）．

A．1与2之间 B．2与3之间

C．3与4之间 D．4与5之间

8．一次函数（m为常数且m≠0），若y随x增大而增大，则它的图象经（　　）．

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连结PC，若△ABC的面积为，则△BPC的面积为（ ）．

A． B．

C． D．

10．小华、小明两同学在同一条长为1100米的直路上进行跑步比赛，小华、小明跑步的平均速度分别为3米/秒和5米/秒，小明从起点出发，小华在小明前面200米处出发，两人同方向同时出发，当其中一人到达终点时，比赛停止．设小华与小明之间的距离y（单位：米），他们跑步的时间为x（单位：秒），则表示y与x之间的函数关系的图象是（ ）．

A． B． C． D．

二、填空题（本题共24分，第13题4分，第18题2分，其余各题每小题3分）

11．在函数中，自变量的取值范围是__________．

12．在，，，，这五个实数中，无理数的是 ．

13．一次函数的图象与x轴的交点坐标为 　 　，与y轴的交点坐标为　 ．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与 AC交于点D，与AB交于点E，连结BD．若AD＝12cm，则BC的长为 cm．

15．若，，则x+y＝　　　　 　　 　．

16．某校组织学生到距离学校15千米的西山公园秋游，先遣车队与学生车队同时出发，先遣车队比学生车队提前半小时到达公园以便提前做好准备工作．已知先遣车队的速是学生队车速度的1.2倍，若设学生车队的速度为x千米/时，则列出的方程是　　　．

17． 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，且∠BAD=30°，若AD=DE，∠EDC=33°，则∠DAE的度数为 °

18．如果满足条件“∠ABC=30°，AC=1， BC=k（k＞0）”的△ABC是唯一的，那么k的取值范围是 ．

三、解答题（本题共28分，第19、20题每小题5分，第21～23题每小题6分）

19．计算：．

解：

20．先化简，再求值：，其中．

解：

21．解方程：．

解：

22．已知：如图， A、B、C、D四点在同一直线上， AB=CD，AE∥BF且AE=BF．

求证： EC=FD．

证明：

23．如图，直线经过点A（0，5），B（1，4）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若直线与直线AB相交于点C,求点C的坐标；

（3）根据图象，写出关于x的不等式2x－4≥kx+b的解集．

解：（1）

（2）

（3）关于x的不等式2x－4≥kx+b的解集是 ．
四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分）

24．阅读下列材料：

木工张师傅在加工制作家具的时候，用下面的方法在木板上画直角：

如图1，他首先在需要加工的位置画一条线段AB，接着分别以点A、点B为圆心，以大于的适当长为半径画弧，两弧相交于点C，再以C为圆心，以同样长为半径画弧交AC的延长线于点D（点D需落在木板上），连接DB．则∠ABD就是直角．

木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法．

解决下列问题：

（1）利用图1就∠ABD是直角作出合理解释

(要求：先写出已知、求证，再进行证明)；

（2）图2表示的一块残缺的圆形木板，请你用“三弧法”，在木板上画出一个以EF为一条直角边的直角三角形EFG（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

解：（1）

25．已知：一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点

A（a ，1）．

（1）求a的值及正比例函数的解析式；

（2）点P在坐标轴上（不与点O重合），若PA=OA，直接写出P点的坐标；

（3）直线与一次函数的图象交于点B，与正比例函数图象交于点C，若△ABC的面积记为S，求S关于m的函数关系式（写出自变量的取值范围）．

五、解答题（本题6分）

26．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连结AF，求证：AF⊥AD；

（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB=4， AC=7，

求NC的长．

（1） 证明：

（2）解：

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八年级数学附加题 2013.1

一、填空题（本题共6分）

1．在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．已知一组正方形的四个顶点恰好落在两坐标轴上，请你观察每个正方形四条边上的整点的个数的变化规律．

回答下列问题：

（1）经过x轴上点（5，0）的正方形的四条边上的整点个数是 ；

（2）经过x轴上点（n，0）（n为正整数）的正方形的四条边上的整点个数记为m，则m与n之间的函数关系是 ．二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分）

2．在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求∠BAO的度数；

（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点Q在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．

求证：PF＝PQ ；

（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．

，

3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E．

（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；

（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；

（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

（1）证明：

（2）结论： ；

（3）证明 ：

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八年级数学参考答案及评分标准 2013.1

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共24分，第13题4分，第18题2分，其余各题每小题3分）

三、解答题（本题共28分，第19，20题，每小题5分，第21～23题，每小题6分）

19．解：

＝ 3分

＝． 5分

20．解：

＝ 3分

＝． 4分

当时，原式＝． 5分

21．解：方程两边同乘，得

． 2分

化简，得． 4分

解得． 5分

检验：当时，，

∴是原分式方程的解． 6分

22．解：（1）∵AE∥BF，

∴∠A=∠FBD． 1分

又∵AB= CD，

∴AB＋BC = CD＋BC．

即AC=BD． 3分

在△AEC和△BFD中，

∴△AEC≌△BFD（SAS）． 5分

∴EC=FD． 6分

23．解：（1）∵直线经过点A（5，0）、B（1，4），

∴ 1分

解方程得 2分

　∴直线AB的解析式为 3分

（2）∵直线与直线AB相交于点C,

∴解方程组

得

∴点C的坐标为（3，2）． 5分

（3）≥3． 6分

四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分）

24．（1）已知：在△ABD中， AC=BC=CD．

求证：．

证明：∵AC=BC，

∴．

∵BC=CD，

∴． 1分

在△ABD中，

．

∴．

即． 3分

（2）如图，△EFG为所求作的三角形 ．

5分

25．解：（1）∵一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点

A（a ，1），

∴.

解得． 1分

∴A（－4 ，1）．

∴．

解得．

∴正比例函数的解析式为． 2分

（2）P1（－8 ，0）或P2（0 ，2）； 4分

阅卷说明：每个结果1分

（3）依题意，得点B的坐标为（m，），点C的坐标为（m，）．

作AH⊥BC于点H，H的坐标为（m，1）． 5分

以下分两种情况：

（ⅰ）当m<－4时，

BC＝

＝．

AH＝．

则

=

=．

（ⅱ）当m>－4时，

BC＝＝．

AH＝．

则

=

=．

综上所述， （m≠－4）． 7分

五、解答题（本题6分）

26．证明：∵AD为△ABC的角平分线，

∴．

（1）∵CE∥AD ，

∴，.

∴．

∴AC=AE． 1分

∵F为EC的中点，

∴AF⊥BC．

∴．

∴AF⊥AD． 2分

（2）延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F. 3分

∴，．

∵M为BC的中点

∴BM＝CM．

在△BFM和△CNM中，

∴△BFM≌△CNM（AAS）． 4分

∴BF＝CN．

∵MN∥AD ，

∴，.

∴．

∴AE＝AN，BE＝BF．

设CN=x，则BF=x， AE＝AN＝AC－CN＝7－x，BE＝AB＋AE＝4＋7－x．

∴4＋7－x＝x．

解得 x＝5.5．

∴CN＝5.5． 6分

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八年级数学附加题参考答案及评分标准 2013.1

一、填空题（本题6分）

1．（1）20； 3分

（2）． 3分

二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分）

2．解：（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．

∴A（－6，0），B（0，6）．

∴OA=OB． 1分

∴

在△AOB中，．

∴． 2分

（2）在等腰直角三角形APD中，

，DA=DP，．

∴DP⊥AD于D．

由（1）可得．

∴．

又∵PG⊥x轴于G，

∴PG = PD． 3分

∴．

∴．

∴．

即．

又∵PQ⊥PF，

∴．

∴． 4分

在△PGF和△PDQ中，

∴△PGF≌△PDQ(ASA)．

∴PF=PQ． 5分

（3）答：OP⊥DP，OP＝DP．

证明：延长DP至H，使得PH=PD．

∵P为BE的中点，

∴PB=PE．

在△PBH和△PED中，

∴△PBH≌△PED（SAS）．

∴BH=ED． 6分

∴．

∴BH∥ED．

在等腰直角三角形ADE中，

AD=ED，．

∴AD=BH，.

∴DE∥x轴，BH∥x轴， BH⊥y轴．

∴．

由（1）可得 OA=OB．

在△DAO和△HBO中，

∴△DAO≌△HBO（SAS）．

∴OD=OH，∠5=∠6． 7分

∵,

∴.

∴在等腰直角三角形△DOH中，

∵DP=HP，

∴OP⊥DP，.

∴．

∴OP=PD． 8分

3．（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴, BC=．

∵BD平分∠ABC，

∴.

∴DA=DB．

∵DE⊥AB于点E．

∴AE=BE=．

∴BC=BE. 1分

∴△BCE是等边三角形. 2分

（2）结论：AD = DG＋DM．

3分

（3）结论：AD = DG－DN．

理由如下：

延长BD至H，使得DH＝DN . 4分

由（1）得DA=DB，．

∵DE⊥AB于点E．

∴．

∴．

∴△NDH是等边三角形．

∴NH=ND，．

∴．

∵,

∴.

即.

在△DNG和△HNB中，

∴△DNG≌△HNB（ASA）．

∴DG=HB.

∵HB=HD＋DB=ND＋AD,

∴DG= ND＋AD.

∴AD = DG－ND. 6分

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