第四讲 平面向量的解题技巧

【命题趋向】由2007年高考题分析可知：

1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．

2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题．

3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．

【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．

透析高考试题，知命题热点为：

1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积．

2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义．

3．两非零向量平行、垂直的充要条件．

4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．

5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．

6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．

【例题解析】

例1（2007年北京卷理）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．

解：

故选A．

例2．（2006年安徽卷）在中，，M为BC的中点，则___.（用表示）

命题意图: 本题主要考查

解：，，所以,.

例3．（2006年广东卷）如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量( )

（A） （B） （C） （D）

命题意图: 本题主要考查

解：，故选A.

例4． ( 2006年重庆卷)与向量=的夹解相等，且模为1的向量是 ( )

(A) (B)或 （C） （D）或

命题意图: 本题主要考查

解：设所求由

另一方面,当

当

与向量=的夹角相等.故选B.

例5．（2006年天津卷）设向量与的夹角为，且，，则__．

命题意图: 本题主要考查

解:

例6.（2006年湖北卷）已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则= （）

（A） （B） （C） （D）

命题意图: 本题主要考查应用

解:设，则依题意有 故选B.

例7.设平面向量、、的和.如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）

（A） （B） （C） （D）

命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.

常规解法：∵，∴故把2 (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与重合，故，应选D.

巧妙解法：令=，则=，由题意知=，从而排除B，C，同理排除A，故选(D).

点评：巧妙解法巧在取=，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.

2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合

(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.

(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.

例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点， （Ⅰ）求实数m的值； （Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.

解：（Ⅰ），由已知，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

当时，的最小值为，

由，得值的集合为

例2．（2007年陕西卷文17）

设函数.其中向量.

（Ⅰ）求实数的值; （Ⅱ）求函数的最小值.

解：（Ⅰ），，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，的最小值为．

例9．（2007年湖北卷理16）已知的面积为，且满足，设和的夹角为．

（）求的取值范围；（）求函数的最大

解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，

则由，，可得，．

（Ⅱ）

．

，，．

即当时，；当时，．

例10．（2007年广东卷理）

　已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)

（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A为钝角，求c的取值范围；

解：（1），，若c=5， 则，

∴，∴sin∠A＝；

（2）∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是

例11．（2007年山东卷文17）

在中，角的对边分别为．

（1）求；（2）若，且，求．

解：（1） 又

解得． ，是锐角． ．

（2）， ， ．

又 ． ．

． ．

例12. （2006年湖北卷）设函数，其中向量,

.

（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.

命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.

解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝·()=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)

＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).

所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.

（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

于是＝（，－2），k∈Z.

因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时＝（―，―2）即为所求.

例13．（2006年全国卷II）已知向量＝(sinθ，1)，＝(1，cosθ)，－＜θ＜．

（Ⅰ）若⊥，求θ； （Ⅱ）求｜＋｜的最大值．

命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.

解：（Ⅰ）若⊥，则sinθ＋cosθ＝0，由此得 tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以 θ＝－；

（Ⅱ）由＝(sinθ，1)，＝(1，cosθ)得

｜＋｜＝＝＝，

当sin(θ＋)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|最大值为＋1．

例14．（2006年陕西卷）如图，三定点三动点D、E、M满足

（I）求动直线DE斜率的变化范围； （II）求动点M的轨迹方程。

命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、

三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识，考查推理和运算能力.

解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t ,

知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2). ∴ 同理.

∴kDE = = = 1－2t.

∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1].

(Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2t). ∴ , ∴y= , 即x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2]. 即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]

解法二: (Ⅰ)同上.

(Ⅱ) 如图, =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t, = + = +t = +t(－) =(1－t) +t,

= += + t= +t(－)=(1－t) + t = (1－t2) + 2(1－t)t+t2 .

设M点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得

消去t得x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2].

故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]

例15．（2006年全国卷II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．

（Ⅰ）证明·为定值； （Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．

命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力.

解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，

即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，

将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③

解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，

抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．

解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)．

所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0.

所以·为定值，其值为0．　　　

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝＝＝＝＋．

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)3，

由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．

【专题训练与高考预测】

一、选择题

1．已知的值为 （ ）

A．－6 B．6 C． D．－

2．已知△ABC中，点D在BC边上，且则的值是（ ）

A． B． C．－3 D．0

3．把直线按向量平移后，所得直线与圆相

切，则实数的值为 （ A ）

A．39 B．13 C．－21 D．－39

4．给出下列命题：①·=0，则=0或=0. ②若为单位向量且//，则=||·.

③··=||3. ④若与共线，与共线，则与共线.其中正确的个数是 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5.在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）

A.若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x)(x、y≠0)，则a⊥b

B.四边形ABCD是菱形的充要条件是=，且||=||

C.点G是△ABC的重心，则++=0

D.△ABC中，和的夹角等于180°－A

6.若O为平行四边形ABCD的中心， = 4e1, = 6e2,则3e2－2e1等于（ ）

A. B. C. D.

7.将函数y=x+2的图象按a=（6，－2）平移后，得到的新图象的解析式为（ ）

A.y=x+10 B.y=x－6 C.y=x+6 D.y=x－10

8.已知向量m=(a,b)，向量m⊥n且|m|=|n|,则n的坐标为

A.（a, －b） B.( －a,b) C.(b, －a) D.( －b, －a)

9.给出如下命题：命题（1）设e1、e2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都存在惟一的一对实数x、y，使a=xe1+ye2成立；命题（2）若定义域为R的函数f(x)恒满足｜f(－x)｜=｜f(x)｜,则f(x)或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（ ）

A.命题（1）（2）均为假命题 B.命题（1）（2）均为真命题

C.命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 D.命题（1）为假命题，命题（2）为真命题

10．若|a+b|=|a-b|，则向量a与b的关系是（ ）

A. a=或b= B.|a|=|b| C. a•b=0 D.以上都不对

11．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

12． 若, , 则= （ ）

A． 4 B． 15 C． 7 D． 3

二、填空题

1．已知与的夹角为60°，则与－的夹角余弦为 .

2． 已知＝（—4,2,x），＝(2,1,3),且⊥，则x＝ .

3． 向量，，则和所夹角是

4． 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点D满足条件：DB⊥AC, DC⊥AB, AD=BC, 则D的坐标为 .

5． 设是直线，是平面，，向量在上，向量在上，，则所成二面角中较小的一个的大小为 ．

三、解答题

1.△ABC中，三个内角分别是A、B、C，向量时，求.

2.在平行四边形ABCD中，A（1，1），，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.

（1）若求点C的坐标； （2）当时，求点P的轨迹.

3.平面内三个力，，作用于同丄点O且处于平衡状态，已知，的大小分别为1kg， kg，、的夹角是45°，求的大小及与夹角的大小.

4.已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.

5.设a=(1+cosα,sinα), b=(1－cosβ,sinβ),c=(1,0),α∈(0,π)β∈(π,2π),a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2,且θ1－θ2=，求sin.

6.已知平面向量a=（，－1），b=（，）.

(1)证明：a⊥b； (2)若存在实数k和t，使得x=a+(t2－3)b,y=－ka+tb,且x⊥y，试求函数关系式k=f(t);

(3)根据（2）的结论，确定k=f(t)的单调区间.

【参考答案】

一、选择题1.B 2．D 3．A 4．A 5. 答案：C

提示：若点G是△ABC的重心，则有++=0，而C的结论是++=0，显然是不成立的.

6.B 7.B 8.C 9.A 10. C 11．B 12．D

二、填空题 1． 2． 2 3．60° 4．（1，1，1）或 5．

3．解：由, ,

有，, 解得, , ．

4.解：设D(x, y, z), 则， （x-1, y, z）,

(-1, 0, 1), (-1,1, 0), (0, -1, 1)． 又DB⊥AC-x+z=0,

DC⊥AB-x+y=0, AD=BC

联立解得x=y=z=1或x=y=z=所以D点为（1，1，1）或。

三、解答题

1．，

2.解：（1）设点C坐标为（, 又,即.

. 即点C（0，6）.

（2）解一：设，则

.

ABCD为菱形.

.

故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半圆去掉与直线的两个交点.

解法二： D的轨迹方程为.

M为AB中点,的比为.

设.的轨迹方程 .

整理得.

故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线的两个交点.

3.设与的合力为，则|F|=|F3|.∵∠F1OF2=45° ∴∠FF1O=135°.

在△OF1F中，由余弦定理=.

.

又由正弦定理，得.

∴∠F1OF=30° 从而F1与F3的夹角为150°.

答：F3的大小是（+1）kg,F1与F3的夹角为150°.

4..解：∵a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，

∴(a+3b)·(7a－5b)=0，(a－4b)·(7a－2b) =0.

即

两式相减：a·b=|b|2，代入①得|a|2=|b|2. ∴cosα==.∴α=60°，即a与b的夹角为60°.

5.解：a=(2cos2,2sincos)=2cos (cos,sin) ∴θ1=,

b=(2sin2,2sincos)=2sin (sin,cos)

∴θ2=－,又θ1－θ2=－+== －

∴sin=sin(－)=－

6.（1）证明：∵a=(,－1),b=(,)

∴×+(－1)×=0∴a⊥b

(2)解：由题意知

x=(,),

y=(t－k, t+k)

又x⊥y故x·y=×(t－k)+×(t+k)=0

整理得：t2－3t－4k=0即k=t3－t

(3)解：由（2）知：k=f(t)= t3－t

∴k′=f′(t)= t2－

令k′＜0得－1＜t＜1;令k′＞0得t＜－1或t＞1

故k=f(t)单调递减区间是（－1，1），单调递增区间是（－∞,－1）∪(1,+∞)

平面向量的解题技巧