静 电 学

基本内容

一、电场强度

1． 定义：.

要测定电场中一点的场强,必须采用试验电荷, 在该点测定试验电荷受力并按上式求得场强。试验电荷是带电量足够小体积也是足够小的点电荷。

2． 场强的叠加原理

带电体系在一点产生的场强是各个电荷(或电荷元)在该点产生的场强(或元场强d)的矢量和(或积分)。

或

只有当各（或）的方向都相同时, 略去上式中矢量号仍成立。

当电荷可以看作点电荷时, .

二、高斯定理

1．电场的图示: 电场线

规定电场线上一点的切线方向是该点处电场强度的方向, 与电场线垂直的面元上单位面积的电场线条数与该处电场强度的大小相等。

2. 电场强度通量（许多书和习题集中也称电通量）

通过面元的元电场强度通量等于通过该面元的电场线数。

通过曲面S的电场强度通量等于通过该面的电场线数。规定封闭曲面面元的法线方向向外（背离封闭面包围的空间），积分号采用。

3. 高斯定理

高斯定理中的封闭曲面又称高斯面，式中qi表示被高斯面包围的电荷的代数和，是空间一点处的电荷密度。

高斯定理说明电场线只起源于正电荷，终止于负电荷，不在没有电荷处中断。即静电场是有源场。

4. 电位移、电位移线、电位移通量

电位移的定义: 。

式中、 、分别是电场中同一点处的电位移、电容率和电场强度。

规定电位移线上一点的切线方向是该点电位移矢量的方向，与电位移线垂直的面元上单位面积的电位移线数与该处电位移大小相等。

通过面元的元电位移通量，通过曲面S的电位移通量等于通过该面的电位移线数。

5. 静电场的高斯定理（有电介质时的高斯定理）

式中表示对封闭曲面（也称高斯面）的面积分，qi表示被高斯面包围的自由电荷的代数值，该式对高斯面的形状、大小、位置，介质分布，电荷分布没有要求，因此是普遍适用的。

三、电势

1．电场力作功的计算及特点

点电荷在电场中作位移时电场力作元功，由a点移动到b点静电场力作，数值只与起终点位置有关与移动路经无关。故

称为静电场的环流（或环路）定理。

它表明静电场力是保守力，静电场是保守力场。

2. 电势能、电势差、电势

静电场力是保守力可以引入电势能EP，静电场是保守力场可以引入电势V，它们和静电场力的功的关系是

电势差

若规定O点为电势零点，则P点电势VP有确定值，其值为VP = 。

3． 电势的叠加

带电体系在P点的电势VP = 或VP = ，式中是第i个带电体在P点产生的电势，是电荷元dq在P点产生的电势。

4． 电势的图示，等势面

同一等势面上各点电势相等，相邻等势面间电势差为定值。

等势面与电场线的关系：静电场中过等势面上一点的电场线必垂直于等势面并指向电势减少的方向；电场线密度大处等势面也密。即某点场强方向为该点电势减小最快的方向，场强的大小等于沿该方向上的电势减小率。

四、场强与电势的关系

1. 积分关系：，式中0为规定的电势零点。

2. 微分关系：。

五、电偶极子

1、电偶极子的电矩

相距很近的一对等量异号点电荷的带电体系构成电偶极子。设正电荷电量为q, 正负电荷相距r0,从负电荷指向正电荷的矢量为电偶极子的轴, 则电矩。

2. 电偶极子的电场

轴线延长线上一点的场强

中垂线上一点的场强

3. 电场中电偶极子所受力矩。

4. 电场中电偶极子具有电势能 电偶极子在外电场中有向电势能最低的状态运动的趋势。

即在电场中电偶极子受力矩， 使电矩转向电场强度方向；在不均匀电场中，除电矩要转向电场方向外，电偶极子有向电场较强处移动的趋势。

六、静电场中的导体

1.导体的特征：内部存在大量可以自由移动的电荷，当导体内存在电场时，这些电荷必发生宏观运动（定向移动）。

2.导体的静电平衡：导体处于内部和表面上电荷均无宏观运动的状态。

3.导体静电平衡条件：

(1) 场强分布：导体内部场强处处为0，表面场强与导体表面垂直。

(2) 电势分布：导体上电势处处相同，表面为等势面。

(3)电荷分布：导体内部净电荷处处为0，电荷分布在表面上。

4.静电平衡时导体表面附近场强大小E，电容率 ，导体表面电荷面密度 三者的关系是E= /  。

5.相互平行大导体平板中部附近（忽略边缘效应）相对两面电荷面密度有等值异号的关系。

七、电容

1. 电容的定义：

孤立导体的电容C= 式中q是导体带电量，V是导体的电势。（取无限远处的电势为0）。

电容器的电容C= 式中q是电容器带电量（电容器所充电量），V1 – V2 是两极板间的电势差（电容器的电压）。

2.电容器串、并联。组合电容器的带电量q，电压U，电容C与各电容器带电量qi，电压Ui，电容Ci的关系。

并联：

串联：

八、电场能量

1.带电体系的能量：形成带电体系（同时建立电场）时外力作功转变成带电体系的能量。

充电电容器具有能量（U是电容器电压）。

带电体系的能量储存在电场中，为电场所具有，故也称为电场能量。

2.电场能量密度

电场中单位体积具有的能量称电场能量密度

体积V中具有的电场能量

九、常用公式及相应图线

常用公式及相应图线

讨论与思考题

1. 1160

如图所示，置于静电场中的一个导体，在静电平衡后， 导体表面出现正、负感生电荷．试用静电场的环路定理证明，图中从导体上的正感生电荷出发，终止于同一导体上的负感生电荷的电场线不能存在．

证：用反证法．

设在导体外存在从正感生电荷出发、终止于负感生电荷的电场线．作一闭合回路，使其中一部分沿电场线abc，其余部分通过导体内部从c到a．场强沿闭合回路的线积分为

式中为导体外沿abc各点场强，为导体内部场强．

由导体静电平衡条件可知，，

所以

但根据假设 ，

因而

这是违反静电场的环路定理的，说明以上假设不能成立，因而这样的电场线不能存在． 5分

2. 1063

下列关于高斯定理的各说法是否正确？如有错误请改正．

(1) ∑q为闭合面内所有电荷的代数和．

(2) 闭合面上各点场强仅由面内电荷决定，与面外电荷无关．

(3) 闭合面的电场强度通量仅取决于面内电荷，与面外电荷无关

答：(1) 正确． 1分

(2) 错误，应改为闭合面上场强 与面内、面外电荷都有关． 2分

(3) 正确． 2分

3. 1185

在形成电场的场源电荷的电荷值及其分布都确定的条件下，下列说法是否正确，如有错误请改正．

(1) 电场中各点电场强度有确定值；

(2) 电场中各点电势也有确定值．

答：(1) 正确． 2分

(2) 错误，在场源电荷的电荷值及其分布确定的同时，还必须选定一个电势

零点，在这样的情况下，场中各点电势才能确定． 3分

4. 1164

一带电的“孤立”导体球，在静电平衡状态下，电荷均匀地分布在球表面上，球内场强处处为零，其表面外附近场强处处垂直于球面．如果在这导体球旁放一点电荷，在静电平衡时，下列说法是否正确？如有错误请改正．

1．导体内部场强仍处处为零．

2．根据场强叠加原理，导体球外靠近表面处场强不再垂直于球面．

3．电荷仍均匀分布在导体球表面上．

答：(1) 正确． 1分

(2) 导体球外靠近表面处场强仍垂直于球面． 2分

(3) 导体球表面上电荷不再均匀分布． 2分

5. 5117

两块平行放置的无限大导体平板A和B，面积均为S．A 板带电荷为+Q (>0)，B板不带电．有人画出导体静电平衡时两板上的电荷分布如图所示．所画电荷分布是否正确如有错误，请指出，并画出正确的电荷分布图．

答：所画电荷分布不能使A、B两板内部场强为零，所以是错误的． 2分

正确的电荷分布如右图所示． 3分

6. 1230

将平行板电容器接上电源后，用相对介电常量为 r的各向同性均匀电介质充满其内．下列说法是否正确？如有错误请改正．

(1) 极板上电荷增加为原来的 r倍 ．

(2) 介质内场强为原来的1 / r倍 ．

(3) 电场能量减少为原来的1 / r2倍．

答：(1) 正确． 1分

(2) 介质内场强与原来一样． 2分

(3) 电场能量增大为原来的 r倍． 2分

7. 5457

一平行板电容器，极板面积为S，间距为d，接在电源上维持两极板间电压为U．将一块厚度为d，相对介电常量为 r的各向同性均匀电介质板平行地插入两极板间．则介质板插入前电容器内电场能量为： ，

插入后电容器内电场能量变为：

静电能的增量为：

有人根据功能原理求得电场力对介质板作的功为：

，即电场力作负功．

你认为以上计算和所得结论是否正确？如有错误请指出并改正．

答：电场能量的改变 W的计算是对的，但电场力作负功的结论不对． 2分

因为电容器始终与电源相联，在插入介质板时因维持U不变，电源需给电容器充电．在这过程中，除了电场能量的改变外还需考虑电源作的功，不考虑电源作功是不对的．所以结论不对

2分

正确的结论应为：据功能原理：

电源所作功＝电场能量的增量＋电场力对介质板所作功，即

A源＝ W + A电场

又 A源＝U Q，

∴ A源 3分

则 A电场 =A源- W

> 0 3分

电场力对介质板作正功．

8. 1265

真空中点电荷q的静电场场强大小为

式中r为场点离点电荷的距离．当r→0时，E→∞，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？

答：点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r→0时，任何带电体都不能视为点

电荷，所以点电荷场强公式已不适用． 3分

若仍用此式求场强E，其结论必然是错误的．当r→0时，需要具体考虑带

电体的大小和电荷分布，这样求得的Ｅ就有确定值． 2分

9. 1029

静电场中计算电势差的公式有下面几个：

(1)

(2)

(3)

试说明各式的适用条件.

答：(1)式为电势差的定义式，普遍适用. 1分

(2)式只适用于均匀电场，其中d为A、B两点连线的距离在平行于电场线方向上的投影（如图）． 2分

(3)式为场强与电势差间的基本关系式，普遍适用． 2分

10. 1166

有两个相距“无限远”的金属球，其中一个带正电荷Q，它在球外离球心为r处的一点电场强度为，另一金属球带负电荷Q2，它在球外离球心为r的一点处场强为．当两球从“无限远”移近到两球心相距为2 r时，在球心连线中点处的合场强为，你认为这一结果对吗？为什么？

答：结论是不对的！ 2分

当两金属球相距“无限远”时，两球上电荷是均匀分布的，在这样的情形下，所得的场强为和．当两球靠近时，由于静电感应，两球上电荷不再均匀分布．因而在两球连线中点处的场强已不再分别是和，因而合场强了． 3分

11. 1134

一均匀带电球面和一均匀带电球体． 如果它们的半径相同且总电荷相等．问哪一种情况的电场能量大？ 为什么？

答：在两球半径相同、总电荷相等的条件下，带电球体的电场能量大． 2分

因为在上述情况下，带电球面和带电球体两者在球外的场强是相同的，而带电球面内场强为零．带电球体内场强不为零．故带电球体的电场能量要比带电球面多出一部分． 3分

12. 1135

吹一个带有电荷的肥皂泡．电荷的存在对吹泡有帮助还是有妨碍(分别考虑带正电荷和带负电荷)？试从静电能量的角度加以说明．

答：带电球面的静电能量为，在Q不变的情况下，当R增大时静电能量减少，电场力作正功．可见电荷的存在能帮助气泡增大． 3分

由式中Q 2项知，无论是带正电荷还是带负电荷，效果相同． 2分

典型例题

1. 1012

一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为：

= 0cos ，式中 为半径R与x轴所夹的角，

试求圆柱轴线上一点的场强．

解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限长”均匀带电直线，其电荷线密度为

，

它在O点产生的场强为：

3分

解法一：沿x、y轴上的二个分量为：

1分

1分

　 　　　　 2分

　　　　 　　　　　　　　 2分

∴ 　 　 　　　　 1分

解法二：根据电荷分布的对称性，（对XOZ面对称）可知合场强必沿X轴反方向 2分

2分

2分

提示：分析对称性得出必要的结论是物理学中常用的重要方法，叠加法求场强、高斯定理的应用、求磁感强度、安培环路定理的应用等都要应用，希望同学多采用这种物理方法，减少数学运算。

2． 1180

一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为 ．如图所示，试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O点的电势为零)．

解法一：

将题中的电荷分布看作为面密度为 的大平面和面密度为－ 的圆盘叠加的结果．选x轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x处产生的场强为

2分

圆盘在该处的场强为

∴ 4分

该点电势为 4分

解法二：取以圆孔中心为圆心半径为r(R)宽dr的均匀带电细圆环为电荷元带电 1分

电荷元在轴上场强沿x轴,在坐标为x的点场强的x分量为

2分

带电面在该点场强沿x轴,场强的x分量为

1分

2分

即 1分

以O为电势零点任一点的 1分

2分

3. 1521

图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为 ，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求球层中半径为r处的电势．

解：r处的电势等于以r为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势V1和球面以外的电荷产生的电势V2之和，即 V= V1 + V2 ，其中

V1=qi / (4 0r) 4分

为计算以r为半径的球面外电荷产生的电势．在球面外取─→＋d的薄层．其电荷为 dq= ·4 2d 它对该薄层内任一点产生的电势为

则 4分

于是全部电荷在半径为r处产生的电势为

2分

4. 1025

电荷面密度分别为+ 和－ 的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与x轴垂直相交于x1＝a，x2＝－a 两点．设坐标原点O处电势为零，试求空间的电势分布表示式并画出其曲线．

解：由高斯定理可得场强分布为：

E =- / 0 (－a＜x＜a) 1分

E = 0 (－∞＜x＜－a ，a＜x＜＋∞) 1分

由此可求电势分布：在－∞＜x≤－a区间

2分

在－a≤x≤a区间

2分

在a≤x＜∞区间

2分

图 2分

5 1161

有两块“无限大”带电导体平板平行放置．试证明：静电平衡时

(1).相向两面的电荷面密度总是大小相等、符号相反的；

(2).相背两面的电荷面密度总是大小相等、符号相同的．

证：

解法一：如图所示，设两板带电后各面上的电荷面密度分别为 1、 2、 3、 4．

(1). 作底面积为S1的柱形高斯面，因导体内部场强为零，按高斯定理，根据无限大均匀带电平面产生场强的叠加性质可知在两板外都是匀强场，且两侧场强大小相等。

由此得 2 = - 3可见，相向两面的电荷面密度等量反号． 4分

(2). 作底面为S2的柱形高斯面，按高斯定理，

得到

再作一底面为S3的高斯柱面，则 得到

比较以上两式之右边可知 由此知 可见，相背两面的面电荷密度等量同号 6分 解法二：静电平衡时，左导体板内场强为零，有

① 3分

右导体板内场强亦为零，有

② 3分

由①式得 ③

由②式得 ④

③＋④ 得 即相背两面的电荷面密度等量同号． 2分

④－③ 得 即相向两面的电荷面密度等量异号． 2分

习题

一、选择题

1. 1440

真空中有两个点电荷M、N，相互间作用力为，当另一点电荷Q移近这两个点电荷时，M、N两点电荷之间的作用力

(A) 大小不变，方向改变． (B) 大小改变，方向不变．

(C) 大小和方向都不变． (D) 大小和方向都改． ［ ］

2. 1047

如图所示，边长为 0.3 m的正三角形abc，在顶点a处有一电荷为10-8 C的正点电荷，顶点b处有一电荷为-10-8 C的负点电荷，则顶点c处的电场强度的大小E和电势U为： (=9×10-9 N m /C2)

(A) E＝0，U＝0．

(B) E＝1000 V/m，U＝0．

(C) E＝1000 V/m，U＝600 V．

(D) E＝2000 V/m，U＝600 V．．

[ ]

3. 1035

有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为

(A) ． (B)

(C) ． (D) ［ ］

4. 1001

一均匀带电球面，电荷面密度为 ，球面内电场强度处处为零，球面上面元d S带有 d S的电荷，该电荷在球面内各点产生的电场强度

(A) 处处为零． (B) 不一定都为零．

(C) 处处不为零． (D) 无法判定 ． ［ ］

5. 1056

点电荷Q被曲面S所包围 ， 从无穷远处引入另一点电荷q至曲面外一点，如图所示，则引入前后：

(A) 曲面S的电场强度通量不变，曲面上各 点场强不变．

(B) 曲面S的电场强度通量变化，曲面上各点场强不变．

(C) 曲面S的电场强度通量变化，曲面上各点场强变化．

(D)曲面S的电场强度通量不变，曲面上各点场强变化 ［ ］

6. 1257

图示为一具有球对称性分布的静电场的E~r关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的．

(A) 半径为R的均匀带电球面．

(B) 半径为R的均匀带电球体．

(C) 半径为R 、电荷体密度 ＝Ar (A为 常数)的非均匀带电球体．

(D) 半径为R 、电荷体密度 ＝A/r (A为常数) 的非均匀带电球体．

［ ］

7. 1033

一电场强度为的均匀电场，的方向与沿x轴正向，如图所示．则通过图中一半径为R的半球面的电场强度通量为

(A) R2E． (B) R2E / 2．

(C) 2 R2E． (D) 0． ［ ］

8. 1256

两个同心均匀带电球面，半径分别为Ra和Rb (Ra＜Rb), 所带电荷分别为Qa和Qb．设某点与球心相距r，当Ra＜r＜Rb时，该点的电场强度的大小为：

(A) ． (B) ．

(C) (D)． ［ ］

9. 1370

半径为R的均匀带电球面，若其电荷面密度为 ，则在距离球面R处的电场强度大小为：

(A) ． (B) ．

(C) ． (D) ． ［ ］

10. 1439

一电偶极子放在均匀电场中，当电偶极矩的方向与场强方向不一致时，其所受的合力和合力矩为：

(A) ＝0，= 0． (B) = 0，0．

(C) 0，＝0． (D) 0，0． ．

［ ］

11. 1100

关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一个是正确的？

(A) 起自正电荷，止于负电荷，不形成闭合线，不中断．

(B) 任何两条电位移线互相平行．

(C) 起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移线在无自由电荷的空间不相交．

(D) 电位移线只出现在有电介质的空间． [ ] 　　　

12. 1443

根据高斯定理的数学表达式可知下述各种说法中，正确的是：

(A) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零．

(B) 闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定处处不为零．

(C) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零．

(D) 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷。 ［ ］

13. 5084

A和B为两个均匀带电球体，A带电荷＋q，B带电荷－q，作一与A同心的球面S为高斯面，如图所示．则

(A) 通过S面的电场强度通量为零，S面上各点的场强为零．

(B) 通过S面的电场强度通量为q / 0，S面上场强的大小为．

(C) 通过S面的电场强度通量为(- q) / 0，S面上场强的大小为．

(D) 通过S面的电场强度通量为q / 0，但S面上各点的场强不能直接由高斯定理求出。 　　 ［ ］

14. 1019

在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点 ， 则M点的电势为

(A) ． (B) ．

(C) ． (D) ．

［ ］

15. 1240

如图所示，在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷+q和－3q．今将一电荷为+Ｑ的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为：

(A) ． (B) ．

(C) ． (D) ．

［ ］

16． 1172

有N个电荷均为q的点电荷，以两种方式分布在相同半径的圆周上：一种是无规则地分布，另一种是均匀分布．比较这两种情况下在过圆心O并垂直于圆平面的z轴上任一点P(如图所示)的场强与电势，则有

(A) 场强相等，电势相等．

(B) 场强不等，电势不等．

(C) 场强分量Ez相等，电势相等．

(D) 场强分量Ez相等，电势不等．

［ ］

17. 1484

如图所示，一半径为a的“无限长”圆柱面上均匀带电，其电荷线密度为 ．在它外面同轴地套一半径为b的薄金属圆筒，圆筒原先不带电，但与地连接．设地的电势为零，则在内圆柱面里面、距离轴线为r的P点的场强大小和电势分别为：

(A) E＝0，U＝．

(B) E＝0，U＝．

(C) E＝，U＝．

(D) E＝，U＝．

［ ］

18. 1516

如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R1、带电荷Q1，外球面半径为R2、带电荷Q2 .设无穷远处为电势零点，则在两个球面之间、距离球心为r处的P点的电势U为：

(A) ( B)

(C) (D) ［ ］

19. 1192

两块面积均为S的金属平板A和B彼此平行放置，板间距离为d(d远小于板的线度)，设A板带有电荷q1，B板带有电荷q2，则AB两板间的电势差UAB为

(A) ． (B) ．

(C) ． (D) ． ［ ］

20. 1624

知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？

(A) 电场强度EM＞EN．

(B) 电势UM＞UN．

(C) 势能WM＜WN．

(D) 电场力的功A＞0．

［ ］

21. 1299

在一个带有负电荷的均匀带电球外，放置一电偶极子，其电矩的方向如图所示．当电偶极子被释放后，该电偶极子将

(A) 沿逆时针方向旋转直到电矩沿径向指向

球面而停止．

(B) 沿逆时针方向旋转至沿径向指向球面，同时沿电场线方向向着球面移 动．

(C) 沿逆时针方向旋转至沿径向指向球面，同时逆电场线方向远离球面移动．

(D) 沿顺时针方向旋转至沿径向朝外，同时沿电场线方向向着球移动．

［ ］

22. 1101

一导体球外充满相对介电常量为 r的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度 为

(A) 0 E． (B) 0 r E．

(C) r E． (D) ( 0 r - 0)E．

［ ］

23 1137

有一接地的金属球，用一弹簧吊起，金属球原来不带电．若在它的下方放置一电荷为q的点电荷，如图所示，则

(A) 只有当q > 0时，金属球才下移．

(B) 只有当q < 0时，金属球才下移．

(C) 无论q是正是负金属球都下移．

(D) 无论q是正是负金属球都不动．

［ ］

24. 1355

如图所示，一带负电荷的金属球，外面同心地罩一不带电的金属球壳，则在球壳中一点P处的场强大小与电势(设无穷远处为电势零点)分别为：

(A) E = 0，U > 0． (B) E = 0，U < 0．

(C) E = 0，U = 0． (D) E > 0，U < 0． ［ ］

25. 1138

一“无限大”均匀带电平面A，其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B，如图所示．已知A上的电荷面密度为+ ，则在导体板B的两个表面1和2上的感应电荷面密度为：

(A) 1 = - ， 2 = + ．

(B) 1 = ， 2 =．

(C) 1 = ， 1 = ．

(D) 1 = - ， 2 = 0． ［ ］

26. 1114

一空气平行板电容器，极板间距为d，电容为C．若在两板中间平行地插入一块厚度为d/3的金属板，则其电容值变为

(A) C． (B) 2C/3．

(C) 3C/2． (D) 2C． ［ ］

27. 1359

图示一均匀带电球体，总电荷为+Q，其外部同心地罩一内、外半径分别为r1、r2的金属球壳．设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r的P点处的场强和电势为：

(A) ，．

(B) ，．

(C) ，．

(D) ，．

［ ］

28. 1345

在空气平行板电容器中，平行地插上一块各向同性均匀电介质板，如图所示．当电容器充电后，若忽略边缘效应，则电介质中的场强与空气中的场强相比较，应有

(A) E > E0，两者方向相同． (B) E = E0，两者方向相同．

(C) E < E0，两者方向相同． (D) E < E0，两者方向相反． ［ ］

29. 1325

C1和C2两空气电容器串联起来接上电源充电．然后将电源断开，再把一电介质板插入C1中，如图所示. 则

(A) C1上电势差减小，C2上电势差增大．

(B) C1上电势差减小，C2上电势差不变．

(C) C1上电势差增大，C2上电势差减小．

(D) C1上电势差增大，C2上电势差不变． ［ ］

30. 1115

金属球A与同心球壳B组成电容器，球A上带电荷q，壳B上带电荷Q，测得球与壳间电势差为UAB，可知该电容器的电容值为

(A) q/ UAB． (B) Q/ UAB．

(C) (q +Q )/ UAB． (D) (q +Q )/(2 UAB )．

［ ］

答案：

1.C 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.D 8.D 9.C 10.B 11.C 12.C 13.D 14.D 15.C 16.C 17.B 18.C 19.C 20.D 21.B 22.B 23.C 24.B 25.B 26.C 27.D 28.C 29.B 30.A

二．填空

1． 1050

两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2，相距为d，其电荷线密度分别为 1和 2如图所示，则场强等于零的点与直线1的距离a为_____________ ．

3分

2. 1058

三个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度都是＋ ，如图所示，则A、B、C、D三个区域的电场强

度分别为：EA＝_________________，EB＝_____________，

EC＝__________，ED =_________ (设方向向右为正)．

－3 / (2 0) 1分

－ / (2 0) 1分

/ (2 0) 1分

3 / (2 0) 1分

3. 1189

真空中一半径为R的均匀带电球面带有电荷Q(Q＞0)．今在球面上挖去非常小块的面积△S(连同电荷)，如图所示，假设不影响其他处原来的电荷分布，则挖去△S 后球心处电场强度的大小E＝______________，其方向为________________________．

2分

由圆心O点指向△S 1分

4. 1496

如图所示，一电荷线密度为 的无限长带电直线垂直通过图面上的A点；一带有电荷Q的均匀带电球体，其球心处于O点．△AOP是边长为a的等边三角形．为了使P点处场强方向垂直于OP，则 和Q的数量之间应满足_____________关系，且 与Q为_______号电荷．

=Q / a 3分

异号 2分

5..1427

图示两块“无限大”均匀带电平行平板，电荷面密度分别为＋ 和－ ，两板间是真空．在两板间取一立方体形的高斯面，设每一面面积都是S，立方体形的两个面M、N与平板平行．则通过M面的电场强度通量 1＝

____________，通过N面的电场强度通量 2＝________________．

－( S) / 3分

( S) / 0 2分

6.1600

在点电荷＋q和－q的静电场中，作出如图所示的三个闭合面S1、S2、S3，则通过这些闭合面的电场强度通量分别是： 1＝________， 2＝___________， 3＝__________．

q / 0 1分

0 1分

-q / 0 1分

7. 0391

AC为一根长为2l的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷．电荷线密度分别为－和＋，如图所示．O点在棒的延长线上，距A端的距离为l．P点在棒的垂直平分线上，到棒的垂直距离为l．以棒的中点B为电势的零点．则O点电势U＝____________；P点电势U0＝__________．

3分

0 2分

8. 1614

一“无限长”均匀带电直线，电荷线密度为 ．在它的电场作用下，一质量为m，电荷为q的质点以直线为轴线作匀速率圆周运动．该质点的速率v＝

________________________________．

3分

9.1090

描述静电场性质的两个基本物理量是______________；它们的定义式是

________________和__________________________________________．

电场强度和电势 2分

, 1分

(U0=0) 2分

10.1642

图中所示曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离r成反比关系，该曲线可描述_______________的电场的E~r关系，也可描述_____________ 的电场的U~r关系．(E为电场强度的大小，U为电势)

无限长均匀带电直线 2分

正点电荷 2分

11. 1507

如图所示，在半径为R的球壳上均匀带有电荷Q，将一个点电荷q(q<)从球内a点经球壳上一个小孔移到球外b点．则此过程中电场力作功A＝_______________．

3分

12. 1070

真空中，一边长为a的正方形平板上均匀分布着电荷q；在其中垂线上距离平板d处放一点电荷q0如图所示．在d与a满足______________条件下，q0所受的电场力可写成q0q / (4 0d 2)．

d>>a 3分

13.1153

如图所示，两块很大的导体平板平行放置，面积都是S，有一定厚度，带电荷分别为Q1和Q2．如不计边缘效应，则A、B、C、D四个表面上的电荷面密度分别为______________ 、______________、_____________、____________

1分

1分

- 1分

1分

14.5453

一金属球壳的内外半径分别为R1和R2，带有电荷Q．在球壳内距球心O为r处有一电荷为q的点电荷，则球心处的电势为

______________________________________________． 3分

15.1206

一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常量为 r的各向同性均匀电介质，这时两极板上的电荷是原来的______倍；电场强度是原来的 _________倍；电场能量是原来的_________倍．

r 2分

1 1分

r 2分

16. 5681

在相对介电常量 r = 4的各向同性均匀电介质中，与电能密度we =2×106 J/cm3相应的电场强度的大小E =_______________________．(真空介电常 0 = 8.85×10-12 C2/(N·m2))

3.36×1011 V/m 3分

参考解：

=3.36×1011 V/m

17. 1534

一空气平行板电容器，其电容为C0，充电后将电源断开，两极板间电势差为U12．今在两极板间充满相对介电常量为 r 的各向同性均匀电介质，则此时电容值C =____________________，两极板间电势差___________________．

2分

2分

18 . 1148

真空中，半径为R1和R2的两个导体球，相距很远，则两球的电容之比

_____________．当用细长导线将两球相连后，电容C =_______________.

1分

2分

三、计算题

1． 1051

一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R，内半径为R/2，并有电荷Q均匀分布在环面上．细绳长3R，也有电荷Q均匀分布在绳上，如图所示,试求圆环中心O处的电场强度(圆环中心在细绳延长线上)．

解：先计算细绳上的电荷在O点产生的场强．选细绳顶端作坐标原O，x轴向下为正．在x处取一电荷元dq = dx = Qdx/(3R)

它在环心处的场强为

2分

整个细绳上的电荷在环心处的场强

2分

圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强

E2=0 2分

由此，合场强 2分

方向竖直向下．

2． 1497

如图所示，在x－y平面内有与y轴平行、位于x＝a / 2和x＝-a / 2处的两条“无限长”平行的均匀带电细线，电荷线密度分别为＋ 和－ ．求z轴上任一点的电场强度．

解：过z轴上任一点(0 , 0 , z)分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图所示．    2分

按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为

场强方向如图所示． 3分

按场强叠加原理，该处合场强的大小为

2分

方向如图所示． 3分

或用矢量表示

3. 1503

如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板 ， 其

电荷体密度分布为 ＝kx (0≤x≤b )，式中k为一正

的常量．求：

(1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小；

(2) 平板内任一点P处的电场强度；

(3) 场强为零的点在何处？

解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E．

作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S，如图所示． 按高斯定理，即

得到E = kb2 / (4 0) (板外两侧)

4分

(2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S．设该处场强为，如图所示．按高斯定理有

得到 (0≤x≤b) 4分

(3) =0，必须是， 可得 2分

4. 5092

一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为,两球心间距离,如图所示. 求:

(1) 在球形空腔内,球心处的电场强度.

(2) 在球体内P点处的电场强度.设、O、P三点在同一直径上，且.

解：挖去电荷体密度为 的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场，而另在挖去处放上电荷体密度为－ 的同样大小的球体，求出电场，并令任意点的场强为此二者的叠加，即可得

2分

在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，则可求出O 与P处场强的大小.

有 E1O’＝E1P= 方向分别如图所示. 3分

在图(b)中，以O 点为小球体的球心，可知在O 点E2=0. 又以O 为心，2d为半径作球面为高斯面S 可求得P点场强E2P

3分

(1) 求O 点的场强 . 由图(a)、(b)可得

EO’ = E1O’ =， 方向如图(c)所示. 2分

(2)求P点的场强.由图(a)、(b)可得

方向如(d)图所示. 2分

5. 1121

图示一静电天平装置．一空气平板电容器，下极板固定，上极板即天平左端的秤盘，极板面积为S，两极板相距d．电容器不带电时，天平正好平衡．当电容器两极板间加上电势差V时，天平另一端需加质量为m的砝码才能平衡．求所加电势差V有多大？

解：当加电势差V天平达到新的平衡时，电容器上极板所受电场力与右端秤盘中砝码所受的重力相等，即

Fe =mg 2分

而电场力 2分

又因 2分

∴

从而得 2分

6. 1074

两根相同的均匀带电细棒，长为l，电荷线密度为 ，沿同一条直线放置．两细棒间最近距离也为l，如图所示．假设棒上的电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电相互作用力．

解：选左棒的左端为坐标原点O，x轴沿棒方向向右，在左棒上x处取线元dx，其电荷为dq＝ dx，它在右棒的处产生的场强为：

3分

整个左棒在处产生的场强为：

2分

右棒处的电荷元 d在电场中受力为：

3分

整个右棒在电场中受力为：

，方向沿x轴正向． 2分

左棒受力 2分

7. 1246

一半径为R的均匀带电细圆环，其电荷线密度为 ，水平放置．今有一质量为m、电荷为q的粒子沿圆环轴线自上而下向圆环的中心运动(如图)．已知该粒子在通过距环心高为h的一点时的速率为v1，试求该粒子到达环心时的速率．

解：带电粒子处在h高度时的静电势能为

2分

到达环心时的静电势能为 2分

据能量守恒定律 2分

以上三式联立求解得到

2分

8. 1651

如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求：

(1) 球壳内外表面上的电荷．

(2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．

(3)球心O点处的总电势．

解： (1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q+Q． 2分

(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为

2分

(3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点

产生的电势的代数和 2分

2分

9. 1182

一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R1 = 2 cm，R2 = 5 cm，其间充满相对介电常量为 r 的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压U = 32 V的电源上，(如图所示)，试求距离轴线R = 3.5 cm处的A点的电场强度和A点与外筒间的电势差．

解：设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电荷+ 和 , 根据高斯定理可求得两圆筒间任一点的电场强度为 2分

则两圆筒的电势差为

解得 3分

于是可求得Ａ点的电场强度为 = 998 V/m

方向沿径向向外 2分

A点与外筒间的电势差：

= 12.5 V 3分

10. 1470

半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多．今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q．求：

(1) 每个球上分配到的电荷是多少？

(2) 按电容定义式，计算此系统的电容．

解：(1) 设两球上各分配电荷Qa，Qb，忽略导线影响，则Qa + Qb = Q．两球相距很远，近似孤立，各球电势为：

, 2分

因有细导线连接，两球等势，即 Ua = Ub = U 2分

U为系统的电势．则

得到 ， 2分

(2) 系统电容 2分

11. 1344

一平行板电容器的极板面积为S = 1 m2，两极板夹着一块d = 5 mm厚的同样面积的玻璃板．已知玻璃的相对介电常量为 r = 5．电容器充电到电压U = 12 V以后切断电源．求把玻璃板从电容器中抽出来外力需做多少功．(真空介电常量 0 = 8.85×10-12 C2·N-1·m-2 )

解：玻璃板抽出前后电容器能量的变化即外力作的功．抽出玻璃板前后的电容值分别为 ， 2分

撤电源后再抽玻璃板．板上电荷不变，但电压改变，即

∴ 2分

抽玻璃板前后电容器的能量分别为

，

2分

外力作功 = 2.55×10-6 J 2分

12. 5111

两个同心导体球壳，其间充满相对介电常量为 r的各向同性均匀电介质，外球壳以外为真空．内球壳半径为R1，带有电荷Q1；外球壳内、外半径分别为R2和R3，带有电荷Q2 ,如图所示.

.

(1) 求整个空间的电场强度的表达式，并定性画出场强大小的径向分布曲线；

(2) 求电介质中电场能量We的表达式；

(3) 若Q1 =2×10-9 C，Q2 = -3Q1 ， r = 3，

R1 =3×10-2 m，R2 = 2R1，R3 = 3R1

计算上一问中We的值．(已知 0 = 8.85×10-12 C2/(N·m2) )

E～r分布曲线如图 图2分

解：(1) 场强表示式

1分

2分

1分

2分

(2)

2分

(3) 将Q1和R1、R2的值代入有：

9.98×10-8 J 2分

大学物理电学部分