北京市朝阳区2019-2020学年中考数学三模考试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．下列计算正确的是（    ）.

A．(x+y)2=x2+y2 B．(－xy2）3=－ x3y6

C．x6÷x3=x2 D．=2

2．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（　　）

A．36° B．54° C．72° D．108°

3．去年12月24日全国大约有1230000人参加研究生招生考试，1230000这个数用科学记数法表示为（　　）

A．1.23×106 B．1.23×107 C．0.123×107 D．12.3×105

4．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：

小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）

A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟

5．若a与﹣3互为倒数，则a=（　　）

A．3 B．﹣3 C． D．-

6．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（　　）

A． B． C．2 D．

7．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为1．若AA'=1，则A'D等于（　　）

A．2 B．3 C． D．

8．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠B＝58°，则∠OAC的度数是( )

A．32° B．30° C．38° D．58°

9．如图是一个放置在水平桌面的锥形瓶，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

10．如图，将△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）

A．42 B．96 C．84 D．48

11．如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（　　）

A．60cm2 B．50cm2 C．40cm2 D．30cm2

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（　　）

A．15° B．55° C．65° D．75°

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是_________．

14．如图，将△AOB绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 _______．

15．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10％，则该商品每件的进价为_________元．

16．计算：．

17．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____．

18．某排水管的截面如图，已知截面圆半径OB=10cm，水面宽AB是16cm，则截面水深CD为_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，一次函数y=﹣x+的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．

20．（6分）在我校举办的“读好书、讲礼仪”活动中，各班积极行动，图书角的新书、好书不断增多，除学校购买的图书外，还有师生捐献的图书，下面是九（1）班全体同学捐献图书情况的统计图（每人都有捐书）．

请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题：该班有学生多少人？补全条形统计图．九（1）班全体同学所捐图书是 6 本的人数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角为多少度？请你估计全校 2000 名学生所捐图书的数量．

21．（6分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．

①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

22．（8分）（1）问题发现

如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，=1，点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接 CD．

（1）①求的值；②求∠ACD的度数．

（2）拓展探究

如图 2，在Rt△ABC中，∠A=90°，=k．点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD，请判断∠ACD与∠B 的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

如图 3，在△ABC中，∠B=45°，AB=4，BC=12，P 是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，连接CD．若 PA=5，请直接写出CD的长．

23．（8分）已知AC＝DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连接CB．

（1）直接写出∠D与∠MAC之间的数量关系；

（2）①如图1，猜想AB，BD与BC之间的数量关系，并说明理由；

②如图2，直接写出AB，BD与BC之间的数量关系；

（3）在MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，直接写出BC的值．

24．（10分）关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．求m的取值范围；若m为正整数，求此方程的根．

25．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）试说明DF是⊙O的切线；

（2）若AC=3AE，求tanC．

26．（12分）先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解．

27．（12分）在□ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.

求证：四边形BFDE是矩形；若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．D

【解析】

分析：根据完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义计算，判断即可．

详解：（x+y）2=x2+2xy+y2，A错误；

（-xy2）3=-x3y6，B错误；

x6÷x3=x3，C错误；

==2，D正确；

故选D．

点睛：本题考查的是完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法以及算术平方根的计算，掌握完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义是解题的关键．

2．C

【解析】

正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是=72度，

故选C．

3．A

【解析】

分析：科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，是正数；当原数的绝对值<1时，是负数．

详解：1230000这个数用科学记数法可以表示为

故选A.

点睛：考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.

4．D

【解析】

【分析】

设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解.

【详解】

设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：

1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）,

10.8+0.3x=16.5+0.3y,

0.3（x-y）=5.7,

x-y=19,

故答案为D.

【点睛】

本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键.

5．D

【解析】

试题分析：根据乘积是1的两个数互为倒数，可得3a=1，

∴a=，

故选C.

考点：倒数．

6．D

【解析】

【分析】

根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.

【详解】

∵∠DAB=∠DEB，

∴tan∠DEB= tan∠DAB=，

故选D．

【点睛】

本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．

7．A

【解析】

分析：由S△ABC=9、S△A′EF=1且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E∽△DAB知，据此求解可得．

详解：如图，

∵S△ABC=9、S△A′EF=1，且AD为BC边的中线，

∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，

∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，

∴A′E∥AB，

∴△DA′E∽△DAB，

则，即，

解得A′D=2或A′D=-（舍），

故选A．

点睛：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．

8．A

【解析】

【分析】

根据∠B＝58°得出∠AOC=116°,半径相等，得出OC=OA，进而得出∠OAC=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．

【详解】

解：∵∠B＝58°,

∴∠AOC=116°,

∵OA=OC，

∴∠C=∠OAC=32°,

故选：A．

【点睛】

此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

9．B

【解析】

【分析】

根据俯视图是从上面看到的图形解答即可.

【详解】

锥形瓶从上面往下看看到的是两个同心圆.

故选B.

【点睛】

本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.

10．D

【解析】

【分析】

【详解】

由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，

∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，

∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=（AB+OE）•BE=（10+6）×6=1．

故选D.

【点睛】

本题考查平移的性质，平移前后两个图形大小，形状完全相同，图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离.

11．D

【解析】

【分析】

标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AED，然后求出△ADE和△EFB相似，根据相似三角形对应边成比例求出，即，设BF=3a，表示出EF=5a，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．

【详解】

解:如图，∵正方形的边DE∥CF，

∴∠B=∠AED，

∵∠ADE=∠EFB=90°，

∴△ADE∽△EFB，

∴，

∴，

设BF=3a，则EF=5a，

∴BC=3a+5a=8a，

AC=8a×=a，

在Rt△ABC中，AC1+BC1=AB1，

即（a）1+（8a）1=（10+6）1，

解得a1=，

红、蓝两张纸片的面积之和=×a×8a-（5a）1，

=a1-15a1，

=a1，

=×，

=30cm1．

故选D．

【点睛】

本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积求解是关键.

12．D

【解析】

【分析】

根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．

【详解】

解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，

∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，

∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，

故选D．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．

【解析】

试题解析：∵四边形ABCD是矩形，

∵AE⊥BD，

∴△ABE∽△ADB，

∵E是BC的中点，

过F作FG⊥BC于G，

故答案为

14．60°

【解析】

【分析】

根据题意可得,根据已知条件计算即可.

【详解】

根据题意可得：

，

故答案为60°

【点睛】

本题主要考查旋转角的有关计算，关键在于识别那个是旋转角.

15．1

【解析】

试题分析：设该商品每件的进价为x元，则

150×80%－10－x＝x×10%，

解得 x＝1．

即该商品每件的进价为1元．

故答案为1．

点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到商品售价的等量关系．

16．

【解析】

【分析】

此题涉及特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式化简，绝对值的性质．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【详解】

原式

．

【点睛】

此题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，绝对值，解题关键在于掌握运算法则.

17．

【解析】

【分析】

随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．

【详解】

抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=2．

18．4cm．

【解析】

【分析】

由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由CD=OD-OC即可得出结论．

【详解】

由题意知OD⊥AB，交AB于点E，

∵AB=16cm，

∴BC=AB=×16=8cm，

在Rt△OBE中，

∵OB=10cm，BC=8cm，

∴OC=（cm），

∴CD=OD-OC=10-6=4（cm）

故答案为4cm．

【点睛】

本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（1） （2）（0，）

【解析】

【分析】

（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义得出|k|=1，进而得到反比例函数的解析式；

（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，得到PA+PB最小时，点P的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A′B的长；利用待定系数法求出直线A′B的解析式，得到它与y轴的交点，即点P的坐标．

【详解】

（1）∵反比例函数 y= =（k＞0）的图象过点 A，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，

∴|k|=1，

∵k＞0，

∴k=2，

故反比例函数的解析式为：y=；

(2)作点 A 关于 y 轴的对称点 A′，连接 A′B，交 y 轴于点 P，则 PA+PB 最小．

由，解得，或，

∴A（1，2），B（4，），

∴A′（﹣1，2），最小值 A′B= =，

设直线 A′B 的解析式为 y=mx+n，

则 ，解得，

∴直线 A′B 的解析式为 y= ，

∴x=0 时，y= ，

∴P 点坐标为（0，）．

【点睛】

本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定PA+PB最小时，点P的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．

20．（1）50；（2）详见解析；（3）36°；（4）全校2000名学生共捐6280册书．

【解析】

【分析】

（1）根据捐2本的人数是15人，占30%，即可求出该班学生人数；

（2）根据条形统计图求出捐4本的人数为，再画出图形即可；

（3）用360°乘以所捐图书是6本的人数所占比例可得；

（4）先求出九（1）班所捐图书的平均数，再乘以全校总人数2000即可．

【详解】

（1）∵捐 2 本的人数是 15 人，占 30%，

∴该班学生人数为 15÷30%＝50 人；

（2）根据条形统计图可得：捐 4 本的人数为：50﹣（10+15+7+5）＝13；

补图如下；

（3）九（1）班全体同学所捐图书是 6 本的人数在扇形统计图中所对应扇形的圆

心角为 360°×＝36°．

（4）∵九（1）班所捐图书的平均数是；（1×10+2×15+4×13+5×7+6×5）÷50＝，

∴全校 2000 名学生共捐 2000×＝6280（本），

答：全校 2000 名学生共捐 6280 册书．

【点睛】

本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，用到的知识点是众数、中位数、平均数．

21．（1）y=﹣x2+2x+1．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（1）y=﹣x+1；P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）．

【解析】

【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；

（1）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．

【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c，

得，解得：，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+1；

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（1，0）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，

∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+1，

∴点C的坐标为（0，1），点P的坐标为（2，1），

∴点M的坐标为（1，6）；

当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，

∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，

又∵t≠2，

∴不存在；

（1）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．

设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），

将B（1，0）、C（0，1）代入y=mx+n，

得，解得：，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+1，

∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+1），

∴点F的坐标为（t，﹣t+1），

∴PF=﹣t2+2t+1﹣（﹣t+1）=﹣t2+1t，

∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+；

②∵﹣＜0，

∴当t=时，S取最大值，最大值为．

∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，1），

∴线段BC=，

∴P点到直线BC的距离的最大值为，

此时点P的坐标为（，）．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（1）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．

22．（1）1，45°；（2）∠ACD=∠B， =k；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件推出△ABP≌△ACD，根据全等三角形的性质得到PB=CD，∠ACD=∠B=45°，于是得到

根据已知条件得到△ABC∽△APD，由相似三角形的性质得到，得到 ABP∽△CAD，根据相似三角形的性质得到结论；

过A作AH⊥BC 于 H，得到△ABH 是等腰直角三角形，求得 AH=BH=4， 根据勾股定理得到根据相似三角形的性质得到 ，推出△ABP∽△CAD，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】

（1）∵∠A=90°，

∴AB=AC，

∴∠B=45°，

∵∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°，

∴AP=AD，

∴∠BAP=∠CAD，

在△ABP 与△ACD 中，

AB=AC, ∠BAP=∠CAD，AP=AD,

∴△ABP≌△ACD，

∴PB=CD，∠ACD=∠B=45°，

∴=1，

（2）

∵∠BAC=∠PAD=90°，∠B=∠APD，

∴△ABC∽△APD，

∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°，

∴∠BAP=∠CAD，

∴△ABP∽△CAD，

∴∠ACD=∠B，

（3）过 A 作 AH⊥BC 于 H，

∵∠B=45°，

∴△ABH 是等腰直角三角形，

∵

∴AH=BH=4，

∵BC=12，

∴CH=8，

∴

∴PH==3，

∴PB=1，

∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD，

∴△ABC∽△APD，

∴,

∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，

∴∠BAP=∠CAD，

∴△ABP∽△CAD，

∴即

∴

过 A 作 AH⊥BC 于 H，

∵∠B=45°，

∴△ABH 是等腰直角三角形，

∵

∴AH=BH=4，

∵BC=12，

∴CH=8，

∴

∴PH==3，

∴PB=7，

∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD，

∴△ABC∽△APD，

∴，

∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，

∴∠BAP=∠CAD，

∴△ABP∽△CAD，

∴即

∴

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定

和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

23．（1）相等或互补；（2）①BD+AB＝BC；②AB﹣BD＝BC；（3）BC＝ 或.

【解析】

【分析】

（1）分为点C，D在直线MN同侧和点C，D在直线MN两侧,两种情况讨论即可解题,

（2）①作辅助线,证明△BCD≌△FCA，得BC＝FC，∠BCD＝∠FCA,∠FCB＝90°,即△BFC是等腰直角三角形,即可解题, ②在射线AM上截取AF＝BD，连接CF，证明△BCD≌△FCA，得△BFC是等腰直角三角形,即可解题,

（3）分为当点C，D在直线MN同侧，当点C，D在直线MN两侧，两种情况解题即可,见详解.

【详解】

解：（1）相等或互补；

理由：当点C，D在直线MN同侧时，如图1，

∵AC⊥CD，BD⊥MN，

∴∠ACD＝∠BDC＝90°，

在四边形ABDC中，∠BAD+∠D＝360°﹣∠ACD﹣∠BDC＝180°，

∵∠BAC+∠CAM＝180°，

∴∠CAM＝∠D；

当点C，D在直线MN两侧时，如图2，

∵∠ACD＝∠ABD＝90°，∠AEC＝∠BED，

∴∠CAB＝∠D，

∵∠CAB+∠CAM＝180°，

∴∠CAM+∠D＝180°，

即：∠D与∠MAC之间的数量是相等或互补；

（2）①猜想：BD+AB＝BC

如图3，在射线AM上截取AF＝BD，连接CF．

又∵∠D＝∠FAC，CD＝AC

∴△BCD≌△FCA，

∴BC＝FC，∠BCD＝∠FCA

∵AC⊥CD

∴∠ACD＝90°

即∠ACB+∠BCD＝90°

∴∠ACB+∠FCA＝90°

即∠FCB＝90°

∴BF＝

∵AF+AB＝BF＝

∴BD+AB＝；

②如图2，在射线AM上截取AF＝BD，连接CF，

又∵∠D＝∠FAC，CD＝AC

∴△BCD≌△FCA，

∴BC＝FC，∠BCD＝∠FCA

∵AC⊥CD

∴∠ACD＝90°

即∠ACB+∠BCD＝90°

∴∠ACB+∠FCA＝90°

即∠FCB＝90°

∴BF＝

∵AB﹣AF＝BF＝

∴AB﹣BD＝；

（3）①当点C，D在直线MN同侧时，如图3﹣1，

由（2）①知，△ACF≌△DCB，

∴CF＝BC，∠ACF＝∠ACD＝90°，

∴∠ABC＝45°，

∵∠ABD＝90°，

∴∠CBD＝45°，

过点D作DG⊥BC于G，

在Rt△BDG中，∠CBD＝45°，BD＝，

∴DG＝BG＝1，

在Rt△CGD中，∠BCD＝30°，

∴CG＝DG＝，

∴BC＝CG+BG＝+1，

②当点C，D在直线MN两侧时，如图2﹣1，

过点D作DG⊥CB交CB的延长线于G，

同①的方法得，BG＝1，CG＝，

∴BC＝CG﹣BG＝﹣1

即：BC＝ 或，

【点睛】

本题考查了三角形中的边长关系,等腰直角三角形的性质,中等难度,分类讨论与作辅助线是解题关键.

24．（1）且；（2），．

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；

（2）利用m的范围可确定m=1，则原方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．

【详解】

（1）∵

．

解得且．

（2）∵为正整数，

∴．

∴原方程为．

解得，．

【点睛】

考查一元二次方程根的判别式，

当时，方程有两个不相等的实数根.

当时，方程有两个相等的实数根.

当时，方程没有实数根.

25．（1）详见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；

（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的值．

【详解】

（1）连接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线；

（2）连接BE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∵AB=AC，AC=3AE，

∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE=，

在RT△BEC中，tanC=．

26．，1

【解析】

【分析】

先算减法，把除法变成乘法，求出结果，求出不等式组的整数解，代入求出即可．

【详解】

解：原式＝[﹣]

＝

＝，

∵不等式组的解为＜a＜5，其整数解是2，3，4，

a不能等于0，2，4，

∴a＝3，

当a＝3时，原式＝＝1．

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解和分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．

27．（1）见解析（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；

（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．

试题分析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD．

∵BE∥DF，BE=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四边形BFDE是矩形；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠DFA=∠FAB．

在Rt△BCF中，由勾股定理，得

BC===5，

∴AD=BC=DF=5，

∴∠DAF=∠DFA，

∴∠DAF=∠FAB，

即AF平分∠DAB．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．

2019-2020学年中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．若二元一次方程组的解为则的值为（ ）

A．1 B．3 C． D．

2．如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，连接.若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．

3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤

4．一个几何体的三视图如图所示，该几何体是　　

A．直三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．立方体

5．如图所示的几何体的主视图正确的是（ ）

A． B． C． D．

6．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　）

A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）

7．计算(ab2)3的结果是(　　)

A．ab5 B．ab6 C．a3b5 D．a3b6

8．已知直线y=ax+b(a≠0)经过第一，二，四象限，那么直线y=bx-a一定不经过（   ）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

9．已知A、B两地之间铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从A市到B市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x千米，则可列方程为（　　）

A． B．

C． D．

10．某工程队开挖一条480米的隧道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖米，那么求时所列方程正确的是（ ）

A． B．

C． D．

11．已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）

A． B．

C． D．

12．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．在中，：：1：2：3，于点D，若，则______

14．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 ．

15．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图象经过点B，则k的值是_____．

16．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为________．（用含n的代数式表示，其中n为正整数）

17．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是 ．

18．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是__________．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？

20．（6分）为响应“植树造林、造福后人”的号召，某班组织部分同学义务植树棵，由于同学们的积极参与，实际参加的人数比原计划增加了，结果每人比原计划少栽了棵，问实际有多少人参加了这次植树活动？

21．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．求证：四边形ABCD是菱形；过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．

22．（8分）如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高，中线，BC＝a，AC＝b．若a＝3，b＝4，求DE的长；直接写出：CD＝　 　（用含a，b的代数式表示）；若b＝3，tan∠DCE=，求a的值．

23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．

24．（10分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：坡顶A到地面PO的距离；古塔BC的高度（结果精确到1米）．

25．（10分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．求y与x之间的函数关系式；直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．

26．（12分）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM，垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B＝60°．求证：AM是⊙O的切线；若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

27．（12分）在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求的值；设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．D

【解析】

【分析】

先解方程组求出，再将代入式中，可得解.

【详解】

解：

，

得，

所以，

因为

所以.

故选D.

【点睛】

本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b的值，本题属于基础题型．

2．B

【解析】

【分析】

根据题意可知DE是AC的垂直平分线，CD=DA．即可得到∠DCE=∠A，而∠A和∠B互余可求出∠A，由三角形外角性质即可求出∠CDA的度数.

【详解】

解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA=DC，

∴∠DCE=∠A，

∵∠ACB=90°，∠B=34°，

∴∠A=56°，

∴∠CDA=∠DCE+∠A=112°，

故选B．

【点睛】

本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形有关角的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

3．C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质逐项分析可得解.

【详解】

解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，

则①当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；

②当x=-1时，y=a-b+c＞1，正确；

③abc＞0，正确；

④对称轴x=-1，则x=-2和x=0时取值相同，则4a-2b+c=1＞0，错误；

⑤对称轴x=-=-1，b=2a，又x=-1时，y=a-b+c＞1，代入b=2a，则c-a＞1，正确．

故所有正确结论的序号是①②③⑤．

故选C

4．A

【解析】

【分析】

根据三视图的形状可判断几何体的形状．

【详解】

观察三视图可知，该几何体是直三棱柱．

故选A．

本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键．

5．D

【解析】

【分析】

主视图是从前向后看，即可得图像.

【详解】

主视图是一个矩形和一个三角形构成.故选D.

6．C

【解析】

关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），

故选C．

【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键.

关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；

关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.

7．D

【解析】

试题分析：根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．

试题解析：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b1．

故选D．

考点：幂的乘方与积的乘方．

8．D

【解析】

【分析】

根据直线y=ax+b（a≠0）经过第一，二，四象限，可以判断a、b的正负，从而可以判断直线y=bx-a经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．

【详解】

∵直线y=ax+b（a≠0）经过第一，二，四象限，

∴a＜0，b＞0，

∴直线y=bx-a经过第一、二、三象限，不经过第四象限，

故选D．

【点睛】

本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．

9．D

【解析】

解：设动车速度为每小时x千米，则可列方程为：﹣=．故选D．

10．C

【解析】

【分析】

本题的关键描述语是：“提前1天完成任务”；等量关系为：原计划用时−实际用时＝1．

【详解】

解：原计划用时为：，实际用时为：．

所列方程为：，

故选C．

【点睛】

本题考查列分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

11．D

【解析】

试题分析：D选项中作的是AB的中垂线，∴PA=PB，∵PB+PC=BC，

∴PA+PC=BC．故选D．

考点：作图—复杂作图．

12．B

【解析】

【分析】

根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题.

【详解】

解: A. x2-x-1=0,△=1+4=50,∴原方程有两个不相等的实数根,

B. , △=36-144=-1080,∴原方程没有实数根,

C. , , △=10,∴原方程有两个不相等的实数根,

D. , △=m2+80,∴原方程有两个不相等的实数根,

故选B.

【点睛】

本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．2.1

【解析】

【分析】

先求出△ABC是∠A等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解．

【详解】

解：根据题意，设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k，

则k+2k+3k=180°，

解得k=30°，

2k=60°，

3k=90°，

∵AB=10，

∴BC=AB=1，

∵CD⊥AB，

∴∠BCD=∠A=30°，

∴BD=BC=2.1．

故答案为2.1．

【点睛】

本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC是直角三角形是解本题的关键．

14．50°．

【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可：

【详解】

∵MN是AB的垂直平分线，∴AD="BD." ∴∠A=∠ABD.

∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°.

∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°.

∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，

解得∠A=50°．

故答案为50°．

15．．

【解析】

【分析】

已知△ABO是等边三角形，通过作高BC，利用等边三角形的性质可以求出OB和OC的长度；由于Rt△OBC中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC的长度，进而确定点B的坐标；将点B的坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出k的值.

【详解】

过点B作BC垂直OA于C，

∵点A的坐标是（2，0），

∴AO=2，

∵△ABO是等边三角形，

∴OC=1，BC=，

∴点B的坐标是

把代入，得

故答案为．

【点睛】

考查待定系数法确定反比例函数的解析式，只需求出反比例函数图象上一点的坐标；

16．

【解析】

试题解析：如图，连接D1E1，设AD1、BE1交于点M，

∵AE1：AC=1：（n+1），

∴S△ABE1：S△ABC=1：（n+1），

∴S△ABE1=，

∵，

∴，

∴S△ABM：S△ABE1=（n+1）：（2n+1），

∴S△ABM：=（n+1）：（2n+1），

∴Sn=．

故答案为．

17．.

【解析】

试题分析：根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．

由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，

∴∠EFC+∠AFB=90°，∵∠B=90°，

∴∠BAF+∠AFB=90°，∴∠EFC=∠BAF，cos∠BAF==，

∴cos∠EFC=，故答案为：．

考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.

18．

【解析】

【分析】

根据概率的公式进行计算即可.

【详解】

从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是.

故答案为：.

【点睛】

考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（1）答案见解析；（2）

【解析】

分析：（1）直接列举出所有可能的结果即可.

（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．

详解：（1）学生小红计划选修两门课程，她所有可能的选法有：A书法、B阅读；A书法、C足球；A书法、D器乐；B阅读，C足球；B阅读，D器乐；C足球，D器乐.

共有6种等可能的结果数；

（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，

所以他们两人恰好选修同一门课程的概率

点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

20．人

【解析】

【详解】

解：设原计划有x人参加了这次植树活动

依题意得：

解得 x=30人

经检验x=30是原方程式的根

实际参加了这次植树活动1.5x=45人

答实际有45人参加了这次植树活动．

21．（1）详见解析；（2）1.

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；

（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE＝BC，根据勾股定理得到DE＝＝6，于是得到结论．

【详解】

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AD＝AB，

∵BA＝BC，

∴AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵BA＝BC，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵DE⊥BD，

∴∠BDE＝90°，

∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，

∵CB＝CD，

∴∠DBC＝∠BDC，

∴∠CDE＝∠E，

∴CD＝CE＝BC，

∴BE＝2BC＝10，

∵BD＝8，

∴DE＝＝6，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝BC＝5，

∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝1．

【点睛】

本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

22．（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）求出BE，BD即可解决问题．

（2）利用勾股定理，面积法求高CD即可．

（3）根据CD＝3DE，构建方程即可解决问题．

【详解】

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝91°，a＝3，b＝4，

∴．

∵CD，CE是斜边AB上的高，中线，

∴∠BDC＝91°，．

∴在Rt△BCD中，

（2）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝91°，BC＝a，AC＝b，

故答案为：．

（3）在Rt△BCD中，，

∴，

又，

∴CD＝3DE，即．

∵b＝3，

∴2a＝9﹣a2，即a2+2a﹣9＝1．

由求根公式得（负值舍去），

即所求a的值是．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

23．（1）证明见解析；（2）BD＝2．

【解析】

【分析】

（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；

（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出，从而求得BD•CD=AB•CE，由BD=CD，即可求得BD2=AB•CE，然后代入数据即可得到结果．

【详解】

（1）证明：连接OD，如图，

∵AB为⊙0的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴AD平分BC，即DB＝DC，

∵OA＝OB，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙0的切线；

（2）∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，

∴△DEC∽△ADB，

∴，

∴BD•CD＝AB•CE，

∵BD＝CD，

∴BD2＝AB•CE，

∵⊙O半径为3，CE＝2，

∴BD＝＝2．

【点睛】

本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．

24． (1)坡顶到地面的距离为米；移动信号发射塔的高度约为米．

【解析】

【分析】

延长BC交OP于H.在Rt△APD中解直角三角形求出AD＝10.PD＝24.由题意BH＝PH.设BC＝x.则x+10＝24+DH.推出AC＝DH＝x﹣14.在Rt△ABC中.根据tan76°＝,构建方程求出x即可.

【详解】

延长BC交OP于H．

∵斜坡AP的坡度为1：2.4,

∴,

设AD＝5k,则PD＝12k,由勾股定理,得AP＝13k,

∴13k＝26,

解得k＝2,

∴AD＝10,

∵BC⊥AC,AC∥PO,

∴BH⊥PO,

∴四边形ADHC是矩形,CH＝AD＝10,AC＝DH,

∵∠BPD＝45°,

∴PH＝BH,

设BC＝x,则x+10＝24+DH,

∴AC＝DH＝x﹣14,

在Rt△ABC中,tan76°＝,即≈4.1．

解得：x≈18.7,

经检验x≈18.7是原方程的解．

答：古塔BC的高度约为18.7米．

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形,用到的知识点是勾股定理,锐角三角函数,坡角与坡角等,解决本题的关键是作出辅助线,构造直角三角形．

25．（1）；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0）

【解析】

分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式；

（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞的解集为x＞1；

（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标．

详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，

∴A（1，3），

把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，

∴y与x之间的函数关系式为：y=；

（2）∵A（1，3），

∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；

（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，

∴点B的坐标为（4，0），

把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，

∴b=，

∴y2=x+，

令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），

∴BC=7，

∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，

∴CP=BC=，或BP=BC=

∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，

∴P（﹣，0）或（，0）．

点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

26． (1)见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据题意，可得△BOC的等边三角形，进而可得∠BCO＝∠BOC，根据角平分线的性质，可证得BD∥OA，根据∠BDM＝90°，进而得到∠OAM＝90°，即可得证；

（2）连接AC，利用△AOC是等边三角形，求得∠OAC＝60°，可得∠CAD＝30°，在直角三角形中，求出CD、AD的长，则S阴影＝S梯形OADC﹣S扇形OAC即可得解．

【详解】

（1）证明：∵∠B＝60°，OB＝OC，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠1＝∠3＝60°，

∵OC平分∠AOB，

∴∠1＝∠2，

∴∠2＝∠3，

∴OA∥BD，

∵∠BDM＝90°，

∴∠OAM＝90°，

又OA为⊙O的半径，

∴AM是⊙O的切线

（2）解：连接AC，

∵∠3＝60°，OA＝OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠OAC＝60°，

∴∠CAD＝30°，

∵OC＝AC＝4，

∴CD＝2，

∴AD＝2 ，

∴S阴影＝S梯形OADC﹣S扇形OAC＝ ×（4+2）×2﹣．

【点睛】

本题主要考查切线的性质与判定、扇形的面积等，解题关键在于用整体减去部分的方法计算．

27．（1）；（2）1．

【解析】

【分析】

（1）根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比进行计算即可；

（2）根据EH＝KD＝x，得出AK＝12﹣x，EF＝（12﹣x），再根据S＝x（12﹣x）＝﹣（x﹣6）2+1，可得当x＝6时，S有最大值为1．

【详解】

解：（1）∵△AEF∽△ABC，

∴，

∵边BC长为18，高AD长为12，

∴＝；

（2）∵EH＝KD＝x，

∴AK＝12﹣x，EF＝（12﹣x），

∴S＝x（12﹣x）＝﹣（x﹣6）2+1.

当x＝6时，S有最大值为1．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标．

2019-2020学年中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若AB=6，则BF的长为（　　）