矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用

【摘要】在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用，随着科技的发展，自动控制理论跨入了一个全新的阶段——现代控制理论，它主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题，而研究多变量系统的主要工具是矩阵理论。因此，矩阵理论及其矩阵函数理论在现代控制理论中有着广泛而重要的应用。

本文主要介绍了矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用，重点讨论了两种李亚普诺夫方法。

【关键词】线性定常系统；非线性定常系统；矩阵函数；矩阵理论；雅可比矩阵

1.引言

一个自动控制系统要能正常工作，必须是一个稳定的系统。例如，电压自动调节系统中保持点击电压为恒定的能力；电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。

稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏，但在外扰消失以后，它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。一个动态系统的稳定性，通常指系统的平衡状态是否稳定。简单地说，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能，它是系统的一个自身动态属性。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。

稳定性和能控性、能观测性一样，均是系统的结构性质。稳定性是子弹控制系统能否正常工作的先决条件，因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性是系统分析和综合的首要问题。

1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义，提出了解决稳定性问题的一般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法，是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法，是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。

基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性，因此，经典控制理论中的稳定性一般指输出（外部）稳定性；状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性，且全面揭示了系统的内部特性，因此，借助平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态（内部）稳定性。

李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法，即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。

李雅普诺夫第一法（简称间接法）是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系统，只需解出全部特征根即可判断稳定性；对非线性系统，则采用微偏线性化的方法处理，即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性，故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性。

李雅普诺夫第二法（简称直接法）的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的基础上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系统的运动，其存储的能量将随时间增长而不断衰减，直至系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量”函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其稳定性，故又称为直接法，其最大优点在于对任何复杂系统都适用，而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性分析，则更能显示出优越性。

2.李亚普诺夫稳定性的基本概念

系统稳定性是动态系统的一个重要的、可以用定量方法研究和表示的定性指标。它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系统变换而改变，但可通过系统反馈和综合加以控制。这也是控制理论和控制工程的精髓。

在经典控制理论中，讨论的是在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题。从经典控制理论知道，线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根，与初始条件和扰动都无关，而非线性系统则不然。

非线性系统的稳定性是相对于系统的平衡态而言的，我们很难笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。对于非线性系统，其不同的平衡态有着不同的稳定性，故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。

对于稳定性的线性系统，由于只存在唯一的孤立平衡态，所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性问题。

李亚普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。它是一种具有普遍性的稳定性理论，不仅适用于线性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统。

2.1 平衡状态

稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质，与外部输入无关。对于系统自由运动，令输入u=0，系统的齐次状态方程为

（2-1-1）

式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；为线性或非线性、定常或时变的n维向量函数，其展开式为

， （2-1-2）

式（2-1-2）的解为

（2-1-3）

式中，为初始时刻；为状态向量的初始值。

式（2-1-3）描述了式（2-1-1）在n维状态空间的状态轨线。若在式（2-1-1）所描述的系统中，存在状态点，当系统运动到达该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，即，该类状态点即为系统的平衡状态。

若系统式（2-1-1）存在状态向量，对所有时间t都使

（2-1-4）

成立，则称为系统的平衡状态。由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。

式（2-1-4）为式（2-1-1）所描述系统平衡状态的方程。

可知，平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点（状态）。由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态。

李亚普诺夫稳定性研究的是平衡态附近（领域）的运动变化问题。若平衡态附近某充分小领域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态，则称该平衡态是渐近稳定的；若发散掉则称为不稳定的，若能维持在平衡态附近某个领域内运动变化则称为稳定的。如图2-1-1所示

3.李亚普诺夫第一法

基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方程的特征值，最后根据线性化方程的特征值判定原非线性系统的稳定性。

设非线性系统的状态方程为

（3-1）

或写成

, （3-2）

将非线性函数在平衡状态=0处附近展成泰勒级数，则有

（3-3）

式中，为常数；为一次项系数，且为所有高次项之和。

由于，故线性化方程为

（3-4）

式中

（3-5）

为雅可比矩阵。

现在我们讨论的稳定性问题，李亚普诺夫证明了三个定理，给出了明确的结论：

1　如果线性化系统的系统矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态=0总是渐近稳定的，而且系统的稳定性与高阶导数项无关。

2　如果线性化系统的系统矩阵A特征值中，至少有一个具有正实部，则不论高阶导数项的情况如何，原非线性系统的平衡状态总是不稳定的。

3　如果线性化系统的系统矩阵A有实部为零的特征值，而其余特征值实部均为负，则在此临界情况下，原非线性系统平衡状态的稳定性决定于高阶导数项，即可能不稳定，也可能稳定。

4.李亚普诺夫第二法

由李雅普诺夫第一法的结论可知，该方法能解决部分弱非线性系统的稳定性判定问题，但对强非线性系统的稳定性判定则无能为力，而且该方法不易推广到时变系统。

下面讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析都适用的李亚普诺夫第二法。它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。

由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小（这意味总能量对时间的导数为负定），直到平衡状态时为止，则此振动系统是稳定的。

李亚普诺夫第二法是建立在更为普遍意义基础上的，即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，李亚普诺夫定义了一个虚构的能量函数，称为李亚普诺夫函数。当然，这个函数无疑比能量函数更为一般，且其应用也更广泛。实际上。任一标量函数只要满足李亚普诺夫稳定性定理的假设条件，都可以作为李亚普诺夫函数。

李亚普诺夫函数与和t有关，我们用或者来表示李亚普诺夫函数。如果李亚普诺夫函数中不含t，则用或表示。在李亚普诺夫第二法中，和其对时间的全导数的符号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则。这种间接方法不必直接求出给定非线性状态方程的解。

李亚普诺夫第二法的基本思想就是通过定义和分析一个在平衡态领域的关于运动状态的广义能量函数来分析平衡态的稳定性。通过考察该能量函数随时间变化是否衰减来判定平衡态是渐近稳定，还是不稳定。

1.关于渐近稳定性

可以证明：如果x为n维向量，且其标量函数正定，则满足

（4-1）

的状态x处于n维状态空间的封闭超曲面上，且至少处于原点附近，这里C为正常数。此时，随着,上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果，则超曲面完全处于超曲面的内部。

对于给定的系统，若可求得正定的标量函数，并使其沿轨迹对时间的全导数总为负定，则随时间的增加，将取越来越小的C值。随着时间的进一步增长，最终变为零，而x也趋于零。这意味着，状态空间的原点是渐近稳定的，李亚普诺夫主稳定性定理就是前述事实的普遍化，它给出了渐近稳定的充分条件。

1　渐近稳定性定理

考虑如下非线性系统：

（4-2）

式中

, 对所有 （4-3）

如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数，且满足以下条件：

正定；负定。

则在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。

进一步地，若（径向无穷大），则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。

2　稳定性定理

考虑如下非线性系统：

（4-4）

式中

, 对所有 （4-5）

如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数，且满足以下条件：

正定；负定；对于任意和任意，在时不恒等于零，这里表示在时从出发的轨迹或解；当时有。

则在系统原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

2.关于稳定性

然而，如果存在一个正定的标量函数，则始终为零，则系统可以保持在一个极限环上。在这种情况下，原点处的平衡状态称为李亚普诺夫意义下是稳定的。

3.关于不稳定性

如果系统平衡状态=0是不稳定的，则存在标量函数V(x,t)，可用其确定平衡状态的不稳定性。下面介绍不稳定性定理。

考虑如下非线性系统：

（4-6）

式中

, 对所有 （4-7）

若存在一个标量函数V(x,t)，具有连续的一阶偏导数，存在V(x,t)在原点附近的某一领域内是正定的；且满足下列条件：

在同样的领域内是正定的；为非负定的，且对任意的和任意的在时不恒为零。

则原点处的平衡状态是不稳定的。

5.总结

随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具，作为在众多科技领域起着越来越重要作用的现代控制理论，它主要研究具有高性能、高精度的多变量系统的最优控制问题。因此矩阵理论及其矩阵函数理论在现代控制理论中有着广泛而很重要的应用。

本文阐述了矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用，，所涉及的只是矩阵理论在现代控制理论中应用的冰山一角，矩阵理论的应用，还需我们更进一步地学习。

【参考文献】

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[5] 方保镕,周继东,等. 矩阵论. 北京：清华大学出版社,2004.

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