数列的题型与考点

二、经典例题剖析

考点一：等差、等比数列的概念与性质

例题1. 已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设，求数列

解析：（I）依题意

（II）

点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。

例题2.设数列的前n项和为Sn，若是首项为1，各项均为正数且公比为q的等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）试比较的大小，并证明你的结论.

解析：（Ⅰ）∵是各项均为正数的等比数列.

∴. 当n=1时，a1=1， 当

∴。

（Ⅱ）当n=1时，

∴

∴当

∵

①当q=1时，

②当

③当

综上可知： 当n=1时，

当

若

若

点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。

考点二：求数列的通项与求和

例题3.已知数列中各项为：

12、1122、111222、……、 ……

（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.

（2）求这个数列前n项之和Sn .

解析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。

答案：（1）

记：A = , 则A=为整数

= A (A+1) ， 得证

(2)

点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。

例题4.已知是数列{}的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）.

（I）证明数列是等比数列，并求的通项公式；

（II）设的前n项和，求.

解析：（I）

两式相减：

是以2为公比的等比数列，

（II）

而

点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第二问求和用到裂项的办法求和。

考点三：数列与不等式的联系

例题5.已知为锐角，且，

函数，数列{an}的首项.

⑴ 求函数的表达式；

⑵ 求证：；

⑶ 求证：

解析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。

答案：解：⑴ 又∵为锐角

∴ ∴

⑵ ∵ ∴都大于0

∴ ∴

⑶

∴

∴

∵, , 又∵

∴ ∴

∴

点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式所给的式子更具有一般性。

例题6.已知数列满足且

（Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）求；

（Ⅲ）若，试比较的大小，并说明理由.

解析：（I）

当时上式也成立，

（Ⅱ）

①

②

①—②，得

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得又

当

当

当

综上所述，当

点评：比较大小的常见的办法是做差，但关键在于和零比较，要注意在不同的条件下有不同的结果，也就是要根据分类讨论。

例题7. 已知函数,数列满足,

; 数列满足, .求证:

（Ⅰ） （Ⅱ）

（Ⅲ）若则当n≥2时,.

解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。

答案：解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明,.

（1）当n=1时,由已知得结论成立;

（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,

因为0时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数.

又f(x)在上连续,所以f(0))即0<.

故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.

又由, 得,从而.

综上可知

(Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0

由,知g(x)在(0,1)上增函数.

又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.

因为,所以,即>0,从而

(Ⅲ) 因为 ,所以, ,

所以 ————,

由(Ⅱ)知:, 所以= ,

因为, n≥2,

所以 <<=————.

由 两式可知: .

点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。

考点四：数列与函数、向量、概率等的联系

例题8.无穷数列的前n项和，并且≠．

　（1）求p的值； （2）求的通项公式；

（3）作函数，如果，证明：．

解析：（1）∵　　　∴　，且p＝1，或．

　　若是，且p＝1，则由．

　　∴　，矛盾．故不可能是：，且p＝1．由，得．

　　又，∴　．

　　（2）∵　，，　∴　．

　　．

当k≥2时，．　　

∴　n≥3时有．

　　∴　对一切有：．

　　（3）∵　，　　∴　．　．

　　故．　　∴　．

　　又．

　　∴　．

　　故　．

点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。

例题9.已知定义域为R的二次函数的最小值为0且有，直线被的图象截得的弦长为，数列满足，

（1）求函数的表达式；

（2）求证；

（3）设，求数列的最值及相应的。

解析：第（2）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最值的方式来解决。

答案：解：（1）设，则两图象交点为

∵ ∴

（2） ∵

∴

∵ ∴，故 ∴，

数列是首项为1，公差为的等差数列

∴，

（3）

令，

则 ∵

∴的值分别为

经比较距最近

当时，有最小值是，当时，有最小值是。

点评：本题二次函数、不等式知识的交汇题，要解决好这类题是要有一定的数学素养的。

例题10.某人抛掷一枚硬币，出现正面、反面的概率均为，使得

（I）求S4=2的概率；

（II）若前两次均出现正面，求的概率.

解析：解：（I）若S4=2，则需4次中有3次正面1次反面，设概率为P1，则

所以，S4=2的概率为.

（II）且前两次出现正面，则后4次中有2次正面2次反面或3次正面1次反面，设其概率为P2，则

∴若前两次均出现正面，则的概率为.

点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，要解决好此题要需要冷静，问题本身并不难。

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