极坐标与全参数方程专题复习
发布时间:2019-06-09 15:58:28
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
1.直线的参数方程
(1)标准式过点,倾斜角为的直线 (如图)的参数方程是
(t为参数)
定点加t个单位向量就是动点
于是,t的绝对值就是定点和动点间的距离,
(2)一般式 (t为参数)
转化为标准式
2.圆锥曲线的参数方程。“1”的代换
(1)圆 (是参数)
是动半径所在的直线与轴正向的夹角,∈
(2)椭圆 (为参数)
椭圆 (为参数)
3.极坐标
(1)极坐标与直角坐标互换。
(2)过原点倾斜角为的直线的极坐标方程:
(3)圆心在原点,半径为的圆极坐标方程:
1、点到点、点到直线距离的最值。参数方程看做点带入距离公式。
2、点的轨迹方程。参数方程看做点,同时使用跟踪点发。
例1.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)写出直线的普通方程及圆的直角坐标方程;
(2)点是直线上的点,求点的坐标,使到圆心的距离最小.
例2.在直角坐标系中,直线的方程为,曲线的参数方程为(为参数).
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,点的极坐标为,判断点与曲线的位置关系;
(2)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
例3.已知动点,Q都在曲线C:(β为参数)上,对应参数分别为与(0<<2π),M为PQ的中点。
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点。
例4.以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,将曲线:(为参数),经过伸缩变换后得到曲线.
(1)求曲线的参数方程;
(2)若点的曲线上运动,试求出到直线的距离的最小值.
例5.已知曲线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,在平面直角坐标系,直线经过点,倾斜角.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程;
(2)设与曲线相交于,两点,求的值.
例6.在平面直角坐标系中,的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,的极坐标方程.
(Ⅰ)说明是哪种曲线,并将的方程化为普通方程;
(Ⅱ)与有两个公共点,顶点的极坐标,求线段的长及定点到两点的距离之积.
例7.在直角坐标系中,圆的方程为,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)直线与圆交于点,求线段的长.
例8.选修4-4:坐标系与参数方程
自极点任意作一条射线与直线相交于点,在射线上取点,使得,求动点的极坐标方程,并把它化为直角坐标方程.
参考答案
1.试题解析:(1)由消去参数,得直线的普通方程为,
由得,,即圆的直角坐标方程为.
(2),,,
时最小,此时.
2.试题分析:(1)可将直角坐标代入曲线的普通方程得在曲线内;(2)设点的坐标为,从而点到直线的距离为(其中),
时,取得最小值,且最小值为.
试题解析:(1)把极坐标系下的点化为直角坐标,得,
曲线的普通方程为,把代入得,所以在曲线内.
(2)因为点在曲线上,故可设点的坐标为,
从而点到直线的距离为(其中),
由此得时,取得最小值,且最小值为.
3.【解析】(Ⅰ)由题意有, , ,
因此,
M的轨迹的参数方程为,(为参数, ).
(Ⅱ)M点到坐标原点的距离为
,
当时,,故M的轨迹过坐标原点.
4.试题解析:(1)将曲线:(为参数)化为,
由伸缩变换化为,代入圆的方程得,
即,可得参数方程为(为参数).
(2)曲线的极坐标方程,化为直角坐标方程:,
点到的距离,
∴点到的距离的最小值为.
5.试题分析:(1)利用,化为直角坐标方程,利用直线参数方程公式求出参数方程;(2)利用直线参数方程的几何意义求出弦长.
试题解析:(1)曲线化为,再化为直角坐标方程为,化为标准方程为,
直线的参数方程为(为参数).
(2)将的参数方程代入曲线的直角坐标方程,整理得,
,则,,
所以.
6.试题解析:(Ⅰ)是圆,的极坐标方程,
化为普通方程:即:.
(Ⅱ)的极坐标平面直角坐标为在直线上,
将的参数方程为(为参数)代入中得:
化简得:
.设两根分别为,
由韦达定理知:
所以的长,
定点到两点的距离之积.
7.试题解析:(1)可化为,
故其极坐标方程为.……5分
(2)将代入,得,,..……10分
考点:直角坐标与极坐标互化,弦长公式.
8.试题解析:设,.
,.
又,.
则动点的极坐标方程为.………(5分)
极点在此曲线上,方程两边可同时乘,得.
. ………(10分)