关于贷款的问题

摘要

本文分析了关于几种贷款方式下，不同的方式借贷人所要承受的还款的压力，旨在对几种方式的优劣进行比较。我们在每种还款方式下分析其贷款总额、月利率、还款期数、月还款额之间的关系，进而得出了问题的结论。

对于案例一，我们通过对其借贷关系的分析得出了其贷款总额、月利率、还款期数、月还款额的关系表达式，可以对任意量进行推导，而由于在对这四种变量的运算中，在对月利率的计算过程中，出现了高次方程，因此，显然是不能手算的，我们在程序中用了二分法对月利率进行求解，得出了其月利率大概是0.92%。对于借贷公司所提出的方案，我们通过对其所收入的和其所支出的进行求解，得出其可以盈利，并且求出其盈利额大约在14852元。

对于案例二，利用第一问的公式得出了每月还款额的计算方法。对于“利随本清等本不等息偿还法”，其月还款额是根据其贷款本金分摊到每一个月上的金额加上剩余未还款金额所产生的利息。我们运用累加的方式求得其还款总额，进而求出“等本、等息、等额还款法”的月还款额。最后，我们通过在不同借贷条件下三种方法的还款方式，得出了“等本、等息、等额还款法”是比较适合大众的还款方式。

最后，我们利用实际检测数据对模型作了检验与评价，通过我们利用程序所得出的结论与世纪数据相对比，误差在千分之一之内。说明我们的程序是可行的。

关键字

四种变量关系 公式推导 二分法 贷款方式选择

一、问题重述

现代社会人们经常需要利用贷款来进行一些经济活动，比如贷款创业，贷款买房，贷款买车等等，但是贷款利息及每月还款额等等是怎样计算的呢？如果假设采用等额还贷，已知贷款总额、月利率、总贷款时间，如何计算每月还款额？更一般地，若已知贷款总额、月利率、总贷款时间，每月还款额这四个变量中的任意三个，能否求出另外一个？

同时，根据以下两个案例，分析其中所包含的问题：

1. 甲从一个借贷公司贷款60000美元, 年利率为12%, 25年还清。 假设是月等额还款(即一月为一期), 问他每月要还多少美元? (答案: 约632美元。 总还款额为189600美元。)

这时有另一家借贷公司出来跟甲说：“我可以帮你提前2年还清贷款，并且每个月不需要多交还款”。 该借贷公司提出的条件是: 1. 每半个月交一次还款，每次还款额是原来的一半(这似乎并没有增加甲的负担); 2. 因为每半个月就要给甲开一张收据, 文书工作多了, 所以要求甲预付3个月的还款，即先付 6323 = 1896美元, (这似乎也有一定的道理)。

甲想了想：提前两年还清贷款就可以少还63224= 15168美元, 而先付的1896美元只是15168美元的八分之一。 于是甲认为这是一笔合算的买卖。

试问这另一家借贷公司是会赔钱(它是一家慈善机构！)还是仍然可以赚钱? 把原来的一期(一个月)拆分为相等的两期, 从而将每期的还款额x替换成 x/2,每期的利率r替换成 r/2 确实能够提前还清吗? 如果是, 能提前多少时间还清?

2．为什么同样的借贷利率，总还款额(本息合计)会有不同呢?

请仔细阅读1998年12月30日《金陵晚报》下面的报道:

一笔总额为 13. 5 万元的个人住房组合贷款, 在两家银行算出了两种还款结果,而差额高达万元以上, 这让首次向银行借款的江苏某进出口公司程姓夫妇伤透了脑筋。

据介绍, 小程打算贷8万元公积金贷款和5.5万元商业性贷款, 他分别前往省建行直属支行和市建行房地产信贷部咨询, 其结果是, 这 13. 5 万元贷款, 分 15 年还清, 在利率相同的情况下省建行每月要求还本付息1175. 46元（其中公积金贷款660. 88元, 商业性贷款514. 58元）, 而市建行每月要求还1116. 415元（其中公积金贷款634. 56元，商业性贷款481. 855元）。 按贷款 180 个月一算, 省建行的贷款比在市建行贷款要多10628. 1元。

但两家银行均称, 结果不一样纯属正常。

有关行家向记者解释说, 省建行虽然也是等额还款, 但实行的是先还息后还本原则, 用行话说就是按月结息, 每月还本还息不等, 但每月总额一样。 举个简单的例子, 若每月等额还款1,000元, 第一个月还本息分别为100元、900元，而第二个月还本息分别变为200元、800元, 依此类推。 而市建行实行的是较便于市民理解的等本、等息、等额还款法。 为不让市民首期还款时面对巨额利息为难, 该行取了一个利息平均值, 平摊到每个月中。 上述两种算法都是人民银行许可的。

值得一提的是, 小程夫妇的麻烦已引起了央行的重视, 为规范个人住房贷款计息办法, 央行重新明确了个人住房贷款的利息计算方法。 从1999年1月1日起, 除保留每月等额本息偿还法外, 又推出了利随本清的等本不等息递减还款法公式是：

每月还款额={(贷款本金÷贷款期月数)＋(本金 – 已还本金累计额)×月利率}

同一笔贷款按这两种方法计算还款, 偿还总金额相同。

请回答下面的问题:

1.省建行的“每月等额本息偿还法（先还息后还本原则）”中的每月还款额是怎样算出来的?

2.央行推出的“利随本清等本不等息偿还法”的每月还款额是怎样算出来的? 并用市建行的结果进行计算。

3.市建行的“等本、等息、等额还款法”是怎样得到的?

4.试分析这三种算法的不同之处及利弊。

二、问题分析

首先，我们需要按照每月等额本息偿还法的相关数据，分析出这种还款方式下的每月还款额，我们经过分析发现，其月还款额可以通过一个递推的的表达式化简出来，进而得到一个月还款额、还款月数、月利率、总贷款额之间的关系式，再通过对这个式子的变形，得出四个变量的关系。

对于问题二，我们根据已经给出的式子进行了推导，从题目中所给的信息可以分析出其月还款额的值。

对于问题三，我们可以根据问题二中已经分析过的还款额的计算方法来用累加求平均数的方式求得等本、等息、等额还款法中的月还款额。

最后，对于问题四，我们将从月还款额，还款总额，还款月数等方面来分析每种还款方式的利弊，根据设计出的程序假定几个数据来比较每种方式的区别。

三、基本假设

1、在贷款的工程中，贷款人员不存在任何的经济问题以至于无法支付其应该支付的款额。

2、贷款人员可以在任何时刻还任何数目的款项，且不需要任何的违约金。

3、银行的利率不存在任何的变动。

四、文中符号说明

五、模型的建立与求解

案例一：

问题一

通过我们对资料的查阅以及自己的思考和判断，我们得到计算贷款利息的方法，如下：

设贷款本金为word/media/image1.gif，单期利率为word/media/image3.gif，还款期限为word/media/image2.gif，每期还款额为word/media/image4.gif。

等额还款的原则是每期还款额一定，即每次还款的本金与利息之和一定，但是本金与利息的比值会发生改变，通过如下方法来进行计算：

第一期还款word/media/image4.gif后亏欠

word/media/image7.gif

第二期还款word/media/image4.gif后亏欠

word/media/image8.gif；

第三期还款word/media/image4.gif后亏欠

word/media/image9.gif

以此类推在第word/media/image2.gif期还款word/media/image4.gif后应不再亏欠，即

word/media/image10.gif

将后面中括号内的等比数列求和得

word/media/image11.gif

求得word/media/image12.gif

通过上式，事实上可以解得word/media/image1.gif和word/media/image2.gif，即

word/media/image13.gif，word/media/image14.gif；

也就是说，我们知道word/media/image1.gif，word/media/image3.gif，word/media/image2.gif，word/media/image4.gif中的三个时，我们除了word/media/image3.gif无法直接由其余三个量通过初等函数的形式表出；word/media/image1.gif ，word/media/image2.gif，word/media/image4.gif三个量都可以通过初等函数的形式来由其他三个量表出。

而求解word/media/image3.gif的过程，实际上是解关于word/media/image3.gif的word/media/image15.gif次方程，这个除特殊情况外，我们没有办法直接求解，一般的解法目前我们用二分法。即利用电脑计算，无限逼近正确值。我们在附录中有完整的程序。

问题二

根据以上的推导公式，对于资料一中所给的例子，我们得出如下结论：

对于这家借贷公司，甲所交给他的总金额为

word/media/image16.gif

而对于借贷公司所要上缴的金额，其贷款总额变为

word/media/image17.gif

贷款期数变为

word/media/image18.gif

每一期的利率变为

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故这家公司所需要的交给银行的钱为

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故这家公司所能获得的钱数为

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所以，这家机构是可以盈利的。

案例二:

问题一

对于“每月等额本息偿还法”我们在上一个案例中已经有了详细的阐述，故在此不另作讨论，只在此引用上面的结论。

word/media/image12.gif

问题二

我们跟据题目所给的信息，探索“利随本清等本不等息还款法”

“利随本清等本不等息还款法”的基本原则是，每月偿还固定的本金，而利息是由上次还款结束到这次还款之前所亏欠的本金来计算。

通过公式

word/media/image22.gif

进而有：

设第word/media/image23.gif期还款额为word/media/image24.gif，则容易得到如下公式：

word/media/image25.gif

即得到其计算方式，其贷款总额和市建行的结果相等，市建行的的每月还款额是月还款额的平均值。

问题三

“等本等息等额还款法”

这种还款方法由上面所述的等本不等息还款法所得到。

容易发现，等本不等息还款法，每个月所偿还的一般情况下是不同的，而且，第一期最多，每期递减，故等本等息等额还款法讲等本不等息还款法所有的利息加在一起在平均分到每期当中。

设第word/media/image23.gif期利息为word/media/image26.gif，则

word/media/image27.gif

对其求和word/media/image28.gif对word/media/image2.gif取算术平均值

word/media/image29.gif，则每期的还款额为word/media/image30.gif.

问题四

为了方便对三种贷款方式进行比较，我们假定一种借贷方式，以求出其按每种方式所需的月还款额。故令：

总借贷额为50000，月利率为1%，借贷时间为15年即180个月，分别求出其月还款额。

有：

等额还款法月还款额：word/media/image31.gif,

利随本清等本不等息还款法第一月还款额：word/media/image32.gif最后一个月还款额为：word/media/image33.gif

等本等息等额还款法月还款额：word/media/image34.gif

根据我们在上面得出的算法，“利随本清等本不等息还款法”和“等本、等息、等额还款法”所需的还款总额是相等的，而经由计算得出等额还款法相比于另外两种所需的钱款更多。我们可以从图片中直观的看到

在总贷款额、还款期数相同的情况下，月利率的变化导致“等本、等息、等额还款法”和“每月等额本息偿还法”两种还款方式月还款额的变化。而“等本、等息、等额还款法”的月还款额总是小于另外一种的还款方式，而其总还款额是与“利随本清等本不等息偿还法”相同的，因此，“每月等额本息偿还法”对于借贷人所构成的实际上的压力是最大的。对于“利随本清等本不等息偿还法”，我们可以从图上得出：

其月还款额在逐步下降。但相比于“等本、等息、等额还款法”，其前几个月的还款数过大，对还款人压力太大。而对于需要向银行借款的人，其经济状况本身就不好，其很难在前几个月的时间里在满足自身需要的情况下还款。而“等本、等息、等额还款法”，其还款总额较低，且其每月所还的钱相等，不会在短时间对借贷人造成太大的压力，相比与其他几种方式，是一种比较好的选择。

六、模型的检验与评价

1.模型的检验

我们将问题所提供的数据代入到我们的模型当中，发现计算利率的误差为1%，计算单期还款额的误差为万分之一，计算总贷款期数的误差为万分之一，计算总贷款额的误差为万分之一。故，我们所建立的模型是非常具有可靠性的。

2.模型的评价

我们所建立的模型是由利息计算公式及一系列的相关的数学方法推导得到的。从本质上讲，我们的模型本应不存在任何的误差。

但是，在等额本息还款法环境下，通过贷款总额，贷款总期数，单期还款额来计算单期利率时，由于要解一个关于单期利率的一元高次方程，我们用计算机来解决这个问题，使用了二分法来解这个高次方程，可以说是无法避免地会出现一定的误差，但是这个误差是在很小的范围内的，因为为了计算这个单期利率，我们将其精确到小数点后四位。对于在等额本息还款法环境下，对其他数据进行求解的过程，我们运用数学的方法，用已知量来表示未知量，得到了很好的结果，如果存在误差的话，也是由计算机对于数据处理的局限性所造成的。

在等本不等息还款法以及等本等息等额还款法环境下，我们从银行方面获得了相关的公式信息，而所有的量都可以由该公式所解得，故，在这两种环境下，我们可以自由的求解。即使存在误差，同上，也都是由于计算机处理数据的局限性。

七、附录

关于贷款的问题