泛函分析讲义

发布时间：2023-04-07 09:34:20

. 第三章 赋范空间
3.1. 范数的概念
“线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。
为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。那么，究竟需要了解函数的什么属性呢？ 3.1.1. 向量的长度
为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。

图3.1.1. 三维欧氏空间中向量的大小和方向
矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。实际上，可以在数域F上的n维欧式空间Fn上定义向量x(x1,x2,. ,xn的如下三种长度（称为“范数”）：

. 2-范数（也称为欧氏范数）：x2nk1nxk；
2 1-范数：x1xk；
k1 -范数：xmaxxk。
1kn


图3.1.2. 三种向量范数对应的“单位圆” 图3.1.3. “单位圆”集合的艺术形式

下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。
我们注意到：通常将2或3中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的长度。由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。因此，长度是比距离更本质的概念。 3.1.2. 范数的定义
我们希望将向量范数的概念推广到（以函数空间为原型的）无限维线性空间的场合。
定义3.1.1. 设X是数域F上的线性空间，是定义在X上、取值为实数的函数。如果下列条件满足：
（1）正定性：对于任意xX，都有x0，并且等号成立当且仅当x0； （2）正齐性：对于任意xX，F，都有xx； （3）三角不等式：xyxy；
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