圆与方程

1. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.

特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.

2. 点与圆的位置关系：

(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

a.点在圆内 d＜r； b.点在圆上 d=r； c.点在圆外 d＞r

(2). 给定点及圆.

①在圆内

②在圆上

③在圆外

（3）涉及最值：

1　圆外一点，圆上一动点，讨论的最值

2　圆内一点，圆上一动点，讨论的最值

思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）

3. 圆的一般方程： .

(1) 当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.

(2) 当时，方程表示一个点.

(3) 当时，方程不表示任何图形.

注：方程表示圆的充要条件是：且且.

4. 直线与圆的位置关系：

直线与圆

圆心到直线的距离

1）；

2）；

3）；弦长|AB|=2

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：

（1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；

（2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；

（3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；

5. 两圆的位置关系

（1）设两圆与圆，

圆心距

1　；

2　；

3　；

4　；

5　；

外离 外切 相交 内切

（2）两圆公共弦所在直线方程

圆：，

圆：，

则为两相交圆公共弦方程.

补充说明：

1　若与相切，则表示其中一条公切线方程；

2　若与相离，则表示连心线的中垂线方程.

（3）圆系问题

过两圆：和：交点的圆系方程为（）

补充：

1　上述圆系不包括；

2　2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

3　过直线与圆交点的圆系方程为

6. 过一点作圆的切线的方程：

(1) 过圆外一点的切线：

①k不存在，验证是否成立

②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即

求解k，得到切线方程【一定两解】

例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线，则切线方程为 。

(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x—a)2+(y—b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，

则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r2

特别地，过圆上一点的切线方程为.

例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为 。

7．切点弦

(1)过⊙C：外一点作⊙C的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为：

8. 切线长：

若圆的方程为(x a)2 (y b)2=r2，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为 d=．

9. 圆心的三个重要几何性质：

1　圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

2　圆心在某一条弦的中垂线上；

3　两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法

例.已知圆C1：x2 +y2 —2x =0和圆C2：x2 +y2 +4 y=0，试判断圆和位置关系，

若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。

一、求圆的方程

例1 (06重庆卷文) 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为( )

(A) (B)

(C) (D)

二、位置关系问题

例2 (06安徽卷文) 直线与圆没有公共点，则的取值范围是( )

(A) (B)

(C) (D)

三、切线问题

例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆相切的直线方程为( )

(A)或 (B)或

(C)或 (D)或

四、弦长问题

例4 (06天津卷理) 设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 .

五、夹角问题

例5 (06全国卷一文) 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )

(A) (B) (C) (D) 0

六、圆心角问题

例6 (06全国卷二) 过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 .

七、最值问题

例7 (06湖南卷文) 圆上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是( )

(A) 30 (B) 18 (C) (D)

八、综合问题

例8 (06湖南卷理) 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率k取值范围_______________

圆的方程

1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是

A.－1<t< B.－1<t<C.－<t<1 D.1<t<2

2. 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.

3.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（ ）

A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0

4.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ）

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

5. （2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.

6.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________.

7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；

（3）x2+y2的最大值和最小值.

经过两已知圆的交点的圆系

例1． 求经过两已知圆：和的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。

例2． 设圆方程为：

其中－4

求证： 不论为何值，所给圆必经过两个定点。

直线与圆的位置关系

例1：求由下列条件所决定圆的圆的切线方程；

(1) 经过点，(2)经过点，(3)斜率为

直线和圆

1．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程．

2. 求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程．

3. （2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．

弦长

【例题】 已知直线l∶x+2y-2=0与圆C∶x2+y2=2相交于A、B两点，求弦长AB.

（完整版）圆与方程知识点总结典型例题