§4　数列在日常经济生活中的应用

课时目标　1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．

1．有关储蓄的计算

储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率．

根据国家规定，个人所得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率．

(1)整存整取定期储蓄

一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q，则到期时，所得利息为：________，应纳税为________，实际取出金额为：________________.

(2)定期存入零存整取储蓄

每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，税率为q，则到第n期末时，应得到全部利息为： _________.应纳税为：______________，实际受益金额为__________________．

2．分期付款问题

贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为： _______________________.

一、选择题

1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的是较少的两份之和，则最小的一份的量为(　　)

A. B. C. D.

2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为(　　)

A．1.14a B．1.15a

C．10a(1.15－1) D．11a(1.15－1)

3．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还(　　)

A.万元 B.万元

C.万元 D.万元

4．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为(　　)

A．p B．12p

C．(1＋p)12 D．(1＋p)12－1

5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最大的生产期限是(　　)

A．5年 B．6年 C．7年 D．8年

二、填空题

6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区2015年的垃圾量为________吨．

7．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了______支铅笔．

8．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．

三、解答题

9．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．

10．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)

能力提升

11．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是(　　)

A．5月、6月 B．6月、7月

C．7月、8月 D．8月、9月

12．某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2＝0.3)

从实际问题转化为数列问题，极易出现弄错数列的项数，因此一定要仔细审题，弄清楚数列中的项与实际问题中的时间(例如年份)之间的对应关应．尤其是首项a1代表的实际含义一定要弄清楚．

§4　数列在日常经济生活中的应用

答案

知识梳理

1．(1)nAp　nApq　nAp(1－q)＋A　(2) n(n＋1)Ap n(n＋1)Apq　n(n＋1)Ap(1－q)

2.

作业设计

1．A　[设公差为d(d>0)，

则5份分别为20－2d,20－d,20,20＋d,20＋2d，

则7(20－2d＋20－d)＝20＋(20＋d)＋(20＋2d)，

解得d＝，最小的一份为20－＝.]

2．D　[注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，

1．12a,1.13a,1.14a,1.15a.

∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．]

3．B　[设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，

∴x＝.]

4．D　[设1月份产值为1，年平均增长率为x，依题意得＝(1＋x)，∴x＝(1＋p)12－1.]

5．C　[由题意知第一年年产量为a1＝×1×2×3＝3；

以后各年年产量为an＝f(n)－f(n－1)＝3n2，

∴an＝3n2 (n∈N＋)，令3n2≤150，得1≤n≤5，

∴1≤n≤7，故生产期限最长为7年．]

6．a(1＋b)5

7．7 260

解析　从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔，

∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)．

8. [(1＋r)3－1]

解析　设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存收益最大，三年总收益为(1＋r)3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q，为鼓励储户三年定期存款，应使3q>(1＋r)3－1. 即q> [(1＋r)3－1]．

9．解　方法一　设每期应付款x元．

第1期付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1＋0.008)11(元)．

第2期付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1＋0.008)10(元)，…

第12期付款没有利息．

所以各期付款连同利息之和为x(1＋1.008＋…＋1.00811)＝x，

又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，

于是有x＝2 000×1.00812.

解得x＝＝176(元)．

即每期应付款176元．

方法二　设每期应付款x元，则

第1期还款后欠款2 000×(1＋0.008)－x

第2期还款后欠款(2 000×1.008－x)×1.008－x＝2 000×1.0082－1.008x－x，

…

第12期还款后欠款2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x，第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0.

∴x＝＝176(元)．即每期应还款176元．

10．解　(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列．

其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.

令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.

∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．

(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列．

其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1.

由题意可知an>0.85bn，

有250＋(n－1)·50>400×1.08n－1×0.85.

由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n＝6，

∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

11．C

解析　n个月累积的需求量为Sn，∴第n个月的需求量为

an＝Sn－Sn－1＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]＝(－n2＋15n－9)．

an>1.5，即满足条件，∴(－n2＋15n－9)>1.5，6<n<9(n＝1,2,3，…，12)，

∴n＝7或n＝8.(可直接代入各个选项进行验证得出答案)

12．解　设该项目逐年的项目资金数依次为a1，a2，a3，…，an.

则由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N＋)．

即an＋1＝an－200.

令an＋1－x＝(an－x)，即an＋1＝an－，

由＝200，∴x＝800.

∴an＋1－800＝(an－800)(n∈N＋)

故数列{an－800}是以a1－800为首项，为公比的等比数列．

∵a1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050.

∴a1－800＝250，∴an－800＝250n－1.

∴an＝800＋250n－1(n∈N＋)．

由题意an≥4 000.∴800＋250n－1≥4 000，即n≥16.

两边取常用对数得nlg≥lg 16，即n(1－3lg 2)≥4lg 2.

∵lg 2＝0.3，∴0.1n≥1.2，∴n≥12.

即经过12年后，该项目资金可以达到或超过翻两番的目标．

高中数学北师大版必修五1.4《数列在日常经济生活中的应用》word课时作业