第四课时 集合的运算---交集

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学习要求

1．理解交集的概念及其交集的性质；

2．会求已知两个集合的交集；

3．理解区间的表示法；

4．提高学生的逻辑思维能力.

【课堂互动】

自学评价

1．交集的定义：

一般地，___________________________

______________________，称为A与B交集

(intersection set)，记作____________

读作“___________”.

交集的定义用符号语言表示为：

__________________________________

交集的定义用图形语言表示为：

_________________________________

注意：（1）交集（A∩B）实质上是A与B的公共元素所组成的集合.

（2）当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=word/media/image3_1.png.

2．交集的常用性质：

（1） A∩A = A；

（2） A∩word/media/image3_1.png=word/media/image3_1.png；

（3） A∩B = B∩A；

（4）(A∩B)∩C =A∩(B∩C)；

（5） A∩B word/media/image4_1.pngA， A∩Bword/media/image4_1.pngB

3．集合的交集与子集：

思考:

A∩B=A，可能成立吗？

【答】________________________

________________________

结论：

A∩B = Aword/media/image5_1.png Aword/media/image6_1.pngB

4．区间的表示法：

设a，b是两个实数，且a，我们规定：

[a， b] = _____________________

（a， b）= _____________________

[a ，b）= _____________________

（a ，b] = ______________________

（a，+∞）=______________________

（-∞，b）=______________________

（-∞，+∞）=____________________

其中 [a， b]，（a， b）分别叫闭区间、

开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭

区间；a，b叫做相应区间的端点.

注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言.

（2）区间符号内的两个字母或数之

间用“，”号隔开.

（3）∞读作无穷大，它是一个符 号，不是一个数.

【精典范例】

一、求已知两个集合的交集

例1．

（1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A∩B；

（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；

（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；

A∩C；C∩B；D∩B；

【解】

（1）A∩B={0，1}；

（2）A∩B={x|0≤1}；

（3）A∩B= A∩C= C∩B=word/media/image3_1.png

D∩B= D

点评:

不等式的集合求交集时，运用数轴比

较直观，形象.

例2：

已知数集 A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．

【解】

∵ A∩B={-3}

∴ -3 ∈ A -3 ∈ B

当a-3=-3时，即a= 0时，B={-3，-2，1}，

A={0，1，-3}满足题意；

当a-2=-3时，即a=-1时，B={-4，-3，2}，

A={1，0，-3}不满足题意；

∴ a = 0

点评:

在集合的运算中，求有关字母的值时，要注意分类讨论及验证集合的特性．

例3：

（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，

B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，

求A∩B；

（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，

B={(x,y)|y=-x2+2x+word/media/image7_1.png，x∈R}，

求A∩B；

分析：

先求出两个集合的元素，或者集合中元素

的范围，再进行交集运算．特别注意（1）、

（2）两题的区别，这是同学们容易忽视的地方．

【解】

（1） 两个集合表示的是y的取值范围，

∵A={y|y=x2-2x+3，x∈R}= {y|y≥2}，

B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}= {y|y≤11}，

∴ A∩B={y|2≤y≤11}；

（2）A∩B= {(x,y)|y=x+1，x∈R}∩{(x,y)|y=-x2+2x+word/media/image8_1.png，x∈R}

={(x,y)| word/media/image9_1.png}

={word/media/image10_1.png}

点评:

求集合的交集时，注意集合的实质，是点集还时数集．是数集求元素的公共部分，是点集的求方程组的解所组成的集合．

追踪训练一

1. 设集合A={小于7的正偶数}，B={-2，0，2，4}，求A∩B；

2. 设集合A={x|x≥0}，B={x|x≤0,x∈R}，求A∩B；

3. 设集合A={(x,y)|y=-4x+6，x∈R}，B={(x,y)|x=y2-1}求A∩B；

4. 设集合A={x||x=2k+1，k∈Z}，B={y|y=2k-1，k∈Z}，C={x|x=2k ，k∈Z}，

求A∩B，B∩C．

二、运用交集的性质解题

例4：

已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}

（1）若B={5}，求p，q的值．

（2）若A∩B= B ，求实数p，q满足的

条件．

分析：

（1）由B={5}，知：方程x2+px+q=0有两个

相等，再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p，q的值．

（2）由A∩B= B可知：B word/media/image11_1.png A，而A={2，5}从而顺利地求出实数p，q满足的条件．

【解】

（1）∵ A∩B={5}

∴ 方程x2+px+q=0有两个相等的实根5

∴ 5+5=-p 5•5=q

∴ p=-10，q=25

（2） ∵ A∩B= B ∴ B word/media/image11_1.png A

当B=word/media/image12_1.png时，⊿=p2-4q<0，即 p2<4q；

当B={2}时，可求得p=-4，q=4；

当B={5}时，p=-10，q=25；

当B={2，5}时，可求得p=-7，q=10；

综上所述：

实数p，q满足的条件为p2<4q；

或word/media/image13_1.png 或word/media/image14_1.png

或word/media/image15_1.png

点评:

利用性质：A∩B = Aword/media/image5_1.png Aword/media/image6_1.pngB是解题的

关键，提防掉进空集这一陷阱之中．

追踪训练二

1.已知集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0

=0}，若A∩B =B，求实数m所构成的集合M．

2.已知集合M={x|x≤-1}，N={x|x>a-2}，若M∩N≠word/media/image16_1.png，则a满足的条件是什么？

三、借助Venn图解决集合的运算问题

例5：

已知全集U={不大于20的质数}，M,N是U

的两个子集，且满足M∩(word/media/image17_1.png)={3，5}，

word/media/image18_1.png{7，19}，word/media/image19_1.png

{2，17}，求M，N的值．

分析：用Venn图表示集合M，N，U，将符合条件的元素依次填入即可．

【解】

点评:

Venn图的形象直观，简化了运算过程，降低

了思维难度，因此我们要善于灵活运用Venn图来进行集合间的运算，特别是抽象集合（或

较为复杂集合）间的运算问题．

高考热点：

例6：

已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0}，B={x|x<0}，

若A∩B ≠word/media/image16_1.png，求实数m的取值范围．

点拔：

本题如果直接求解，情况较多十分麻烦，可

从求解的反面来考虑，就比较简单．

【师生互动】

第4课 交集

分层训练：

1．设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，4，5}则word/media/image20_1.png（ ）

A．word/media/image21_1.png B．{4}

C．{1，5} D．{2，5}

2．设集合A={x|x≤5，x∈N}，B={x|x>1，x∈N }，那么A∩B等于 （ ）

A．{1，2，3，4，5}

B．{2，3，4，5}

C．{3，4，5}

D．{x|1≤5，x∈R }

3．若集合P={y|y=x2+2x-1 ，x∈N}，Q={y|y=-x2+2x-1 ，x∈N }，则下列各式中

正确的是 （ ）

A．P∩Q=word/media/image22_1.png B．P∩Q={0}

C．P∩Q= {-1} D．P∩Q=N

4．已知P，M是非空集合，且P≠M，则必有

（ ）

A．word/media/image22_1.png∈P∩M B．word/media/image22_1.png=P∩M

C．word/media/image22_1.pngword/media/image23_1.pngP∩M

D．word/media/image22_1.png是P∩M的真子集

5．已知集合A={x|-5，B={x|-7，C={x|b，且A∩B=C，则 a，b 的值

为 （ ）

A．a=5，b=-7 B．a=5，b=-5

C．a=2，b=-7 D．a=2，b=-5

6． 设全集U={1，2，3，4}，A与B是U的子集，若A∩B＝{1，3 }，则称(A,B)为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是（若A＝B，规定(A,B)＝(B, A)；若A≠B，规定(A,B)与(B, A)是两个不同的“理想配集”） （ ）

A．4 B．8

C．9 D．16

7．设A、B为两个集合：

①Aword/media/image24_1.pngBword/media/image25_1.png对任意x∈A，有xword/media/image26_1.pngB；

② Aword/media/image24_1.pngBword/media/image25_1.pngA∩B=word/media/image22_1.png；

③A∩Bword/media/image27_1.png B∩A；④Aword/media/image24_1.pngBword/media/image25_1.png存在x∈A使得xword/media/image26_1.pngB．上述四个命题中正确命题

的序号是______________________．

（把符合要求的命题序号都填上）

8．已知集合M={a，0}，N={x|2x2-5x<0，x∈Z}，

若M∩N≠word/media/image28_1.png，则a的值为_______________．

9． 设U={小于10的正整数}，已知A∩B={2}，word/media/image29_1.png={1，9}，word/media/image30_1.png={4， 6，8}，求A，B．

拓展延伸：

10． 已知集合A={x|x<3}，B={x|x

①若A∩B=A，求实数a的取值范围．

②若A∩B=B，求实数a的取值范围．

③若word/media/image31_1.png是word/media/image32_1.png的真子集，求实数a的取值范围．

11．已知A={1，2}，B={x|x2-ax+a-1=0}，C={x|x+word/media/image33_1.png= m}，若B∩Cword/media/image34_1.pngA，求a，

m的值．

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