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知识讲解-充分条件与必要条件(经典)

充分条件与必要条件

编稿：张希勇 审稿：李霞

【学习目标】

1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；

2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；

3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.

4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.

【要点梳理】

要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念

符号8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png与c6a51722b54dcc7681ea8de5d29a45d4.png的含义

“若83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png，则7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png”为真命题，记作：8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png；

“若83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png，则7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png”为假命题，记作：c6a51722b54dcc7681ea8de5d29a45d4.png.

充分条件、必要条件与充要条件

①若8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png，称83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分条件，7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的必要条件.

②如果既有8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png，又有57cc3977148e068ebe558dd8364f62cd.png，就记作cdc3b9a0702d40ec5e42d6c6a08c30eb.png，这时83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分必要条件，称83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充要条件.

要点诠释：对8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png的理解：指当83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png成立时，7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png一定成立，即由83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png通过推理可以得到7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png.

①“若83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png，则7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png”为真命题；

②83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分条件；

③7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的必要条件

以上三种形式均为“8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png”这一逻辑关系的表达.

要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断

从逻辑推理关系看

命题“若83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png，则7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png”，其条件p与结论q之间的逻辑关系

①若8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png，但69893c29fe887feb7c2174a9e39169ea.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分不必要条件，7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的必要不充分条件；

②若c6a51722b54dcc7681ea8de5d29a45d4.png，但57cc3977148e068ebe558dd8364f62cd.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的必要不充分条件，7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的充分不必要条件；

③若8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png，且57cc3977148e068ebe558dd8364f62cd.png，即cdc3b9a0702d40ec5e42d6c6a08c30eb.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png、7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png互为充要条件；

④若c6a51722b54dcc7681ea8de5d29a45d4.png，且69893c29fe887feb7c2174a9e39169ea.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的既不充分也不必要条件.

从集合与集合间的关系看

若p：x∈A，q：x∈B，

①若Af2947e69ef41389b673d7fd36e9b0aa8.pngB，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分条件，7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的必要条件；

②若A是B的 真子集，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分不必要条件；

③若A=B，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png、7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png互为充要条件；

④若A不是B的子集且B不是A的子集，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的既不充分也不必要条件.

要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：

①确定哪是条件，哪是结论；

②尝试用条件推结论，

③再尝试用结论推条件，

④最后判断条件是结论的什么条件.

要点三、充要条件的证明

要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）

要点诠释：对于命题“若83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png，则7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png”

①如果83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分条件，则原命题“若83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png，则7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png”与其逆否命题“若bc094d1be19e461c8e9df0ef736a90d1.png，则d35c8cbd467e79fec06b84657d4c137b.png”为真命题；

②如果83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的必要条件，则其逆命题“若7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png”与其否命题“若d35c8cbd467e79fec06b84657d4c137b.png，则bc094d1be19e461c8e9df0ef736a90d1.png”为真命题；

③如果83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充要条件，则四种命题均为真命题.

【典型例题】

类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定

例1.指出下列各题中，83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的什么条件

(1) 83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png: 97b2518e41ed4028e0690bc8068516b2.png， 7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png: 566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png；

(2) 83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png: 633bff1fa0b2fabb9e12f0f4285e42cb.png，7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png: 抛物线85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png过原点

(3) 83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png: 一个四边形是矩形，7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png: 四边形的邻边相等

【解析】

(1)∵83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png: 566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png或5870bb658ee9e8a6900c138365d64c80.png, 7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png: 566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png

∴c6a51722b54dcc7681ea8de5d29a45d4.png且57cc3977148e068ebe558dd8364f62cd.png,∴83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的必要不充分条件；

(2)∵8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png且57cc3977148e068ebe558dd8364f62cd.png,∴83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充要条件；

(3)∵c6a51722b54dcc7681ea8de5d29a45d4.png且69893c29fe887feb7c2174a9e39169ea.png，∴83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的既不充分条件也不必要条件.

【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.

举一反三：

【变式1】指出下列各题中，83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的什么条件

（1）83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png：a070b7a787b16960f6ec90e57ee0531d.png，7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png：a66673bc9ada03cd05582a6dedc42019.png和551e442a59b4789241f9fd7e8a072a5f.png是对顶角.

（2）41012d6d1a8d25be9bda3f18be43c722.png，e01c397af64b13ced49394dc0df4e7cb.png；

【答案】

（1）∵c6a51722b54dcc7681ea8de5d29a45d4.png且57cc3977148e068ebe558dd8364f62cd.png，

∴83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的必要不充分条件，7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的充分不必要条件.

（2）∵e8f655286027c9fc21c86d54e801a06c.png

∴393cc670fe3d0b5a2840dd4d43de0de4.png，但f1ce654fb734cc82ce4d2e6b76e1127f.png，

∴83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分不必要条件，7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png是83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的必要不充分条件.

【变式2】判断下列各题中83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的什么条件.

（1）83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png:323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png且539fa66a54d60fdbd6278ccebed13ddd.png, 7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png:6f5e3a8e1c8466c3503af36bfbff2002.png

（2）83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png:a922f061b492e9f66f382d6275f0485b.png, 7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png: 10342149cd04422c7be79506cb544ac5.png.

【答案】

（1）83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的充分不必要条件.

∵323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png且539fa66a54d60fdbd6278ccebed13ddd.png时，6f5e3a8e1c8466c3503af36bfbff2002.png成立；

反之，当6f5e3a8e1c8466c3503af36bfbff2002.png时，只要求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png同号即可.

∴必要性不成立.

（2）83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的既不充分也不必要条件

∵a922f061b492e9f66f382d6275f0485b.png在34b506d4a8cb0a7bc03701bec2c7691c.png的条件下才有10342149cd04422c7be79506cb544ac5.png成立.

∴充分性不成立，同理必要性也不成立.

【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】

例2. 已知p：0

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

word/media/image61.gif【解析】q：|x-1|<2，解得-1

如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，

从图中看P Q， pc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngq，但qc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngp，所以选择（A）.　　　　　　　　　　　　　　　　　

【总结升华】

①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；

②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.

举一反三：

【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】

【变式1】设b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png，则条件“49f800f6a17487df9bd707b818acbd8c.png”的一个必要不充分条件为（ ）

A.3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png B.17c061e65bba6bb05290b3a938943bdb.png C.70bd59c13dc73bf9bd6d754179e97497.png D.c06f875f6c2d7ba10b68291a9a71e3a9.png

【答案】A

【变式2】（2015 天津文）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的（ ）

A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】由|x－2|＜117823a7561d859dbad393b7f4f4ce839.png －1＜x－2＜117823a7561d859dbad393b7f4f4ce839.png－1＜x＜3，可知“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分而不必要条件.

故选:A.

【变式3】 (2015 福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】若l⊥m，因为m垂直于平面α，则l∥α或l17823a7561d859dbad393b7f4f4ce839.pngα；若l∥α，又m垂直于平面α，则l⊥m，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件，故选B．

类型二：充要条件的探求与证明

例3. 设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

【解析】

（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，

于是|x+y|=|x|+|y|

如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，

当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.

当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.

总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.

（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，

即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，

∴xy≥0.

综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.

判断命题的充要关系有三种方法：

（1）定义法；

（2）等价法，即利用17823a7561d859dbad393b7f4f4ce839.png与2e62ec9f12fe424bf3c997167a17e883.png；6f6ab0a7a120c578ae3a9a303d72627a.png与0fb08e1a4dde4d5b2800feaa41945763.png；c02fc3767fd88baa76e8a1f4b6b8ffee.png与8842b19d6e097eb3c751dbd739bdcd87.png的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.

（3）利用集合间的包含关系判断，若8222227339e31b091463424292a35628.png，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.

举一反三：

【变式1】已知a, b, c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

【答案】

（1）充分性:若ac<0，则Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2,

∵ac<0, ∴x1·x2=093f8a967400f274ba09d084a57ef1af.png<0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.

（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x1>0, x2<0，

则x1·x2=093f8a967400f274ba09d084a57ef1af.png<0，∴ac<0

综上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

【变式2】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.

【答案】

（1）a=0时适合.

（2）当a≠0时，显然方程没有零根，

若方程有两异号的实根，则必须满足b37da67fd9be4410c23b625b8d0a40af.png；

若方程有两个负的实根，则必须满足33c471ed08a586321c2be3144cb6143c.png

综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；

反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，

因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1

类型三：充要条件的应用

例4. 已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，

∵p是q的充分不必要条件，

∴8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png，即A B，

可知d24736891e6e04fdadbce8e7ffd069c7.png或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内

∴Δ＝a2－4<0或1bc38033ed79f11003c968e9b8b0d985.png，得－2≤a≤2.

【总结升华】

解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A、B，再由它们的因果关系，得到A与B的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.

举一反三：

【变式1】已知命题p：1－c<x<1＋c(c>0)，命题q：x>7或x<－1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是________．

【答案】0<c≤2

【解析】命题p对应的集合A＝{x|1－c<x<1＋c，c>0}，同理，命题q对应的集合B＝{x|x>7或x<－1}．因为p是q的既不充分又不必要条件，所以61c5cbec5aecaa35b7639d5f52fb843f.png或A不是B的子集且B不是A的子集，所以4f156d9473016c5ab06f8a953aad8bb6.png，①或d070958e8eba69f125265a30f5cfb826.png，②，解①得c≤2，解②得c≥－2，又c>0，综上所述得0<c≤2.

【变式2】已知7223c2b2d10feaa9b325a55d491e14fe.png若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.

【答案】6eedcf28066569e2ef25ba8fa16cfaa7.png

【解析】由c6a3fc49d1f0229968d1415407533492.png解得bd4e707b97d82345563f583f8a2b5a4e.png

又由58b8e6f05f31e5765bc20671f49b051f.png解得b1497de0f6076b6a703d5e0476316702.png

p是q的充分不必要条件，所以

eb2eb7b10471bf237d8f5fed572a34b2.png或1ea9c2459738326536f589e239345115.png

解得6eedcf28066569e2ef25ba8fa16cfaa7.png

知识讲解-充分条件与必要条件（经典）