湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三第一次模拟考试

数学（文）试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．纯虚数满足，则纯虚数为

A． B． C． D．或

2．命题甲：或；命题乙：，则甲是乙的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件

3．双曲线的焦距为，焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为

A． B．

C．或 D．或

4．直线过点与圆的圆心，则直线在轴上的截距为

A． B． C． D．

5．已知函数，则下面说法错误的是

A．在上是增函数 B．的最小正周期为

C．的图象向右平移个单位得到曲线

D．是图象的一条对称轴

6．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为，方格边长为(单位：)，

则游客获奖的概率为

A． 　　B． 　　　 C． 　 D．

7．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为

A．， B．， C．， D．，

8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是

A． B． C． D．

9．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．

对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：

由表中样本数据求得回归方程为，则点与直线的位置关系是

A．点在直线左侧 B．点在直线右侧 C．点在直线上 D．无法确定

10．已知定义在上的单调函数，对，都有，

则方程的解所在的区间是

A．（0，） B．（） C．（1，2） D．（2，3）

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分．

11．已知集合，，则 ．

12．已知实数满足，则的最大值为 ．

13．已知，则的值为 ．

14．若点满足，则目标函数的最小值为 ．

15．执行如图所示的程序框图，输出的值是 ．

16．如图，是圆的直径，是圆上的点，

，，，

则的值为 ．

17．对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用符号表示．对于实数，无穷数列满足如下条件：

①；②．

（Ⅰ）若时，数列通项公式为 ；

（Ⅱ）当时，对任意都有，则的值为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分12分）

已知中，角的对边分别为，，向量，

，且．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）当取得最大值时，求角的大小和的面积．

19．（本小题满分12分）

已知是首项为的等比数列，依次成等差数列，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

20．（本小题满分13分）

如图，棱柱的侧面是菱形，底面是边长为4的等边三角形，且．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）设是棱上的点，且平面，当时，求与平面所成的角的正切值．

21．（本小题满分14分）

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．

如图，“盾圆”是由椭圆与抛物线中两段曲线弧合成，为椭圆的左、右焦点，，为椭圆与抛物线的一个公共点，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在过的一条直线，与“盾圆”依次交于四点，使得与的面积比为？若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分14分）

已知函数有极小值．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若，且对任意恒成立，求的最大值；

（Ⅲ）当时，证明：．

数学（文）试卷答案

ABCB ADBD BC

11答案： 12答案： 13答案： 14答案：3 15答案：

16答案： 17答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）或

1答案：A 【解析】设，则，则．

2答案：B 【解析】甲乙，例如，；

乙甲，“若，则或”的逆否命题为“若且，则”

此逆否命题为真命题，所以原命题为真命题．

3答案：C 【解析】由题知，故，这样的双曲线标准方程有两个．

4答案：B 【解析】直线方程为．

5答案：A 【解析】A中，在上不是单调函数．

6答案：D 【解析】考查几何概型，游客获奖的概率为．

7答案：B 【解析】样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为

中位数是频率为时，对应的样本数据，

由于，故中位数为．

8答案：D 【解析】此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，体积

．

9答案：B

【解析】样本数据的中心点为，在直线上，则

10答案：C 【解析】由题（为常数），则

故，得，故，

记在上为增函数

且,

故方程的解所在的区间是（1，2）．

11答案： 12答案： 13答案：

14答案：3 【解析】即，表示以为

圆心、以1为半径的圆周及其以外的区域，目标函数在点和点处取到最小值3．

15答案： 【解析】由题意，得：

当时，执行最后一次循环；当时，循环终止，这是关键，输出．

16答案：【解析】

设，建立如图所示坐标系，则，

，，故．

17答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）或

【解析】（Ⅰ）若时，,则．

（Ⅱ）当时，由知，，所以，，且．

①当时，，故（舍去）

②当时，，故（舍去）

综上，或

18解答：（1）因为，所以

即，因为，所以

所以 ． 4分

（2）由，

故

由，故最大值时，． 8分

由正弦定理，，得

故． 12分

19解答： (Ⅰ) 由题，设的公比为，则，

由依次成等差数列，所以．

即，解得或又，所以，故

所以数列的通项公式为． 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，所以 8分

则，，

由恒成立，得． 12分

20解答：（1）证明：侧面是菱形，，又

故平面，所以平面平面． 6分

（Ⅱ）记与的交点为，连结．

平面，与平面所成的角为． 8分

平面，，为的中点，为的中点．

因为底面是边长为4的等边三角形，

则中，，，，

故与平面所成的角的正切值为． 13分

21解答：（Ⅰ）由的准线为，，故记

又，所以，故椭圆为． 4分

（Ⅱ） 设直线为，

联立，得，则 ①

联立，得，则 ②

8分

与的面积比

整理得 12分

若， 由②知坐标为，不在“盾圆”上；

同理也不满足，故符合题意的直线不存在． 14分

22答案：（Ⅰ），

令，令

故的极小值为，得． 4分

（Ⅱ）当时，令，

令， ，故在上是增函数

由于， 存在，使得．

则，知为减函数；，知为增函数．

又，，所以=3． 9分

（Ⅲ）要证即证

即证，令，得

令为增函数，

又，所以

是增函数，又= ． 14分

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