专题17 一线三等角模型

破解策略

在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D．

1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时．

（1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD．

（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD．

证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3

∴∠C＝∠DPB，

∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD

（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP∽△BPD．

2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时．

如图，则有△ACP∽△BPD．

证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3

∴∠C＝∠DPB，

∵∠1＝∠2＝∠PBD，∴△ACP∽△BPD

3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时．

如图，则有△ACP∽△BPD．

证明：∵∠C＝∠1－∠CPB，∠BPD＝∠3－∠CPB，而∠1＝∠3

∴∠C＝∠BPD．

∵∠1＝∠2，∴∠PAC＝∠DBP．∴△ACP∽△BPD．

例题讲解

例1：已知：∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与点A，B重合）．DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N．记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．

（1）如图1，当△ABC是等边三角形，∠EDF＝∠A时，若AB＝6，AD＝4，求S1S2的值；

（2）当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α．

①如图2，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1S2的表达式（结果用a，b和a的三角函数表示）．

②如图3，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD＝b，直接写出S1S2的表达式．

图1 图2 图3

解：（1）如图4，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．

则S1S2＝MGADNHBD＝ADAMsinABDBNsinB．

由题意可知∠A＝∠B＝60º，所以sinA＝sinB＝．

由“一线三等角模型”可知△AMD∽△BDN．

∴，从而AMBN＝ADBD＝8，∴S1S2＝12．

（2）①如图5，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．

则S1S2＝MGADNHBD＝ADAMsinABDBNsinB．

由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN，

所以，从而AMBN＝ADBD＝ab，

所以S1S2＝a²b²sin²a；

②如图6，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．

则S1S2＝MGADNHBD＝ADAMsinABDBNsinB．

由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN，

所以，从而AMBN＝ADBD＝ab，

所以S1S2＝a²b²sin²a；

例2：如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．

（1）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

解（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，

∴∠ABD＝∠ACB＝30°，

∴∠ABD＝∠ADE＝30°，

∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，

∴∠EDC＝∠DAB，

∴△ABD∽△DCE；

∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，

过A作AF⊥BC于F，

∴∠AFB＝90°，

∵AB＝2，∠ABF＝30°，

∴AF＝＝1，

∴BF＝，

∴BC＝2BF＝，

则DC＝，EC＝2－y

∵△ABD∽△DCE，

∴，

∴，

化简得：．

（2）①当AD＝DE时，如图2，

△ABD≌△DCE，

则AB＝CD，即2＝，

x＝，代入

解得：y＝，即AE＝，

②当AE＝ED时，如图，

∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，

所以∠DEC＝60°，∠EDC ＝90°

则ED＝ EC，即y＝ （2－y）

解得y＝，即AE＝；

③当AD＝AE时，有∠AED－∠EDA＝30°，∠EAD＝120°

此时点D和点B重合，与题目不符，此情况不存在．

所以当△是ADE等腰三角形时，AE＝4－或AE＝

进阶训练

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上移动（不与点B，C重台）．满足

∠DEF＝∠B，且点D，F．分别在边AB，AC上．当点E移动到BC的中点时，求证：FE平

分∠DFC．

1．略

【提示】由题意可得∠B＝∠DEF＝∠C．由“一线三等

角模型”可得△BDE∽△CEF，可得＝．而BE＝CE·

所以＝，从而△DEF∽ECF．所以∠DEF＝∠EFC，即FE平分∠DFC．

2． 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，AD＝2BE＝6．将DE绕点

E顺时针旋转60°，得到EF．取EF的中点G，连结AG．延长CF交AG于点H．若2AH

＝5HG，求BD的长．

2．BD＝9．

【提示】如图，过点F作FI∥AC交BC于点I．则∠FIE＝∠ACB＝∠ABC．易证△DBE≌△EIF，则IF＝BE ，IE＝BD，所以BC＋BE＝AD，即IC＝BE＝IF，则∠ACH＝

∠BCH＝30°．延长CH变AB于点J，则CJ⊥AB，．A＝ BJ

分别过点G，E作AB的垂线段，垂足为K，L，·则KL＝KJ·＝＝，所以AJ：JK：KL：BL＝5：2：2：l．因为BE＝3，∠LEB＝ 30°，所以BL＝1．5．AB＝15．所以BD＝9．

2017届中考数学压轴题专项汇编专题17一线三等角模型