去伪存真，探求问题本质

—三角形中线等分面积问题的教学思考

三角形中线等分面积是义务教育教科书(苏科版)七年级下册数学一认识三角形专题中重要问题，它既是对三角形三边，三线(中线，角平分线，高线)关系的应用，同时也为后续三角形全等，相似等知识作铺垫.笔者在此以练习课的一道习题为例，通过两次解题教学的研究，谈谈自己在实践中一些体会与思考.

一、习题呈现

如图1，已知,分别是和的中点，的面积为16，求的面积.

二、第一次教学

1.看似很简单，学生为什么不会做

首先回顾三角形中线等分面积的性质，借助于图象直观讲解如图2，以点为中点为例，探究: 与的关系.学生较容易掌握到中线等分面积的结论.通过引导，图1，由是的中线，得出.运用三次中线等分面积的性质进行求解，学生看似将问题理解透彻了，笔者一周后又以相同问题做了一次反馈调查，能正确求解的同学不足三分之一，教学效果引起笔者深思.

2.反思失败之因

问题根源:学生没有领悟中线等分面积问题的实质，三角形的中线为何能等分面积?多数同学无法从复杂的图形中分离出简单图形的模型.七年级下学期，刚刚涉及到几何，大多数学生对于几何图形的辨析能力比较薄弱.在第一次教学中，学生缺乏理解与参与思考的立足点，整个教学过程是老师领着学生的思维在走，学生并没能形成有效的启发与思考，因而不能形成有效的教学.

三、第二次教学

3. 1教学更注重从形式到思想的点拨

提问1 从三角形的面积公式入手(学生容易得出三角形的面积大小是通过底和高这两个量决定的，为下面研究中线等分面积作铺垫)

提问2 如图3 , 与面积有怎样的联系?取中点，如何比较与的大小，并说明它们与有怎样的关系?(说明中线等分面积的实质)

提问3 在图4中，进一步，取中点，连接探求与的关系(通过图形分离，层层推进，训练他们几何的逻辑思维)

3. 2 进一步探究

如图5, 的面积为分别是中点，连接相交于点，试比较的与的大小.

解法点拨 仍从两条中线入手，由这两条中线可以得到哪些三角形的面积?学生经过思考后得知，、与并无明显数量关系，无法直接求解.但它们都可作为是与的一部分，引导学生“整体”中分离出“部分”，进而求解.

3. 3题型拓展

在上题的基础上，再取的中点，连接如图6所示.(1)比较与的大小.(2)你还能在图中找出哪些三角形面积相等.

解析 点拨(1)有了上题从“整体”到部分的经验，学生很快得出.对于问题(2)，学生们能列举出，进一步得出

……细心观察的同学不难发现，三条中线把三角形分成的六个小部分的面积都相等.

3. 4模型应用

如图7 , 中，分别是与的中点，己知的面积为1，求的面积.

解法分析 此题难点在于由题中三个中点，在中无法找到相应的中线，无从寻求与的面积关系.如何让转化为相对应的中线是关键，连接使其转化成三角形的中线，添加辅助线构造三个三角形.

由图8所示，学生们很快能够表示出，从而求出.

从复杂图形中分离出简单模型，从“整体”到“部分”对研究对象求解，学生理解更为流畅自然此时，他们不仅收获了这一类题的通法内涵，更为重要的是他们在思想层面上的领悟以及带来的自信与快乐，这是弥足珍贵的.从师生再到生生之间的交流，课堂中的灵动表现产生彼此信任不正是为师者不懈追求吗?

中考数学模拟试卷

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)

1.计算(-2)2-3的值是　(　　)

A.1 B.2 C.-1 D.-2

【解析】选A.(-2)2-3=4-3=1.

2.计算(-ab2)3÷(-ab)2的结果是　(　　)

A.ab4 B.-ab4

C.ab3 D.-ab3

【解析】选B.(-ab2)3÷(-ab)2

=-a3b6÷a2b2

=-ab4.

3.如图,是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形,其俯视图是

　(　　)

【解析】选C.从上面看,圆锥看见的是:圆和点,两个正方体看见的是两个正方形.

4.下列因式分解正确的是　(　　)

A.x2+9=(x+3)2

B.a2+2a+4=(a+2)2

C.a3-4a2=a2(a-4)

D.1-4x2=(1+4x)(1-4x)

【解析】选C.A、原式不能分解,错误;

B、原式不能分解,错误;

C、原式=a2(a-4),正确;

D、原式=(1+2x)(1-2x),错误.

5.某校对初中学生开展的四项课外活动进行了一次抽样调查(每人只参加其中的一项活动),调查结果如图所示,根据图形所提供的样本数据,可得学生参加科技活动的频率是　(　　)

A.0.15 B.0.2 C.0.25 D.0.3

【解析】选B.读图可知:共有(15+30+20+35)=100人,参加科技活动的频数是20.故参加科技活动的频率是0.2.

6.已知a,b为两个连续的整数,且a<则a+b的值为　(　　)

A.7 B.8 C.9 D.10

【解析】选A.∵9<11<16,∴3<<4.

又∵a<且a,b为两个连续的整数,∴a=3,b=4,∴a+b=3+4=7.

7.已知a-2b=-2,则4-2a+4b的值是　(　　)

A.0 B.2 C.4 D.8

【解析】选D.a-2b=-2,代入4-2a+4b得,4-2(a-2b)=4-2×(-2)=8.

8.如图,在△ABC中,AD是BC边的中线,∠ADC=30°,将△ADC沿AD折叠,使C点落在C′的位置,若BC=4,则BC′的长为　(　　)

A.2 B.2 C.4 D.3

【解析】选A.∵BD=DC=2,∠ADC=30°,

∴∠C′DA=∠ADC=30°,

∴∠BDC′=120°,BD=DC′=2.

∴BC′=2=2.

9.如图,菱形ABCD的边长为2,∠B=30°.动点P从点B出发,沿B-C-D的路线向点D运动.设△ABP的面积为y(B,P两点重合时,△ABP的面积可以看做0),点P运动的路程为x,则y与x之间函数关系的图象大致为　(　　)

【解析】选C.当点P在BC上运动时,如图1,△ABP的高PE=BPsinB=xsin30°=x,∴△ABP的面积y=·AB·PE=·2·x=x.

图1

当点P在CD上运动时,如图2,△ABP的高CF=

BCsinB=1,

∴△ABP的面积y=·AB·CF=·2·1=1.

因此,观察所给选项,只有C符合,故选C.

10.如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为　(　　)

A.2 B.2 C.3 D.

【解析】选A.∵正方形的对角线互相垂直平分,∴点D和点B关于AC对称,连接BE交AC于点P,P即为所求作的点,PD+PE的最小值即是BE的长.∵正方形的面积为12,∴正方形的边长是2,∴PD+PE的最小值是2.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)

11.今年我市初中毕业暨升学统一考试的考生约有35300人,该数据用科学记数法表示为________人.

【解析】35300=3.53×104.

答案:3.53×104

12.出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,则当x=________元,一天出售该种手工艺品的总利润y最大.

【解析】∵出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,

∴y=(8-x)x,即y=-x2+8x,

∴当x=-=-=4时,y取得最大值.

答案:4

13.分式方程-1=的解是x=________.

【解析】去分母得:6-x2+9=-x2-3x,

解得:x=-5,

经检验x=-5是分式方程的解.

答案:-5

14.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下面四个结论:

①OA=OD;

②AD⊥EF;

③当∠A=90°时,四边形AEDF是正方形;

④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是________.(把所有正确结论的序号都填在横线上)

【解析】∵AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,∴DE=DF,

∴Rt△AED≌Rt△AFD,

∴AE=AF,∴△AEO≌△AFO,

∴OE=OF,∠AOE=∠AOF,∴AD⊥EF,②对

当∠A=90°时,四边形AEDF为矩形,则AD=EF,

又AD⊥EF,∴四边形AEDF为正方形,③对;

∵DE=DF,∴AE2+DF2=AE2+DE2=AD2,

AF2+DE2=AF2+DF2=AD2,

∴AE2+DF2=AF2+DE2,④对.

答案:②③④

三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)

15.计算:(-1)-1-++|1-3|

【解析】原式=-1-3+1+3-1=-1.

16.观察下列算式:

①1×3-22=3-4=-1

②2×4-32=8-9=-1

③3×5-42=15-16=-1

④______________ 

…

(1)请你按以上规律写出第4个算式.

(2)把这个规律用含字母的式子表示出来.

(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗?并说明理由.

【解析】(1)第4个算式为:4×6-52=24-25=-1.

(2)答案不唯一.如n(n+2)-(n+1)2=-1.

(3)一定成立.

理由:n(n+2)-(n+1)2=n2+2n-(n2+2n+1)

=n2+2n-n2-2n-1=-1.

故n(n+2)-(n+1)2=-1成立.

四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)

17.在下列格图中,每个小正方形的边长均为1个单位.在Rt△ABC中,∠C=

90°,AC=3,BC=4.

(1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形

△AB1C1.

(2)若点B的坐标为(-3,5),试在图中画出直角坐标系,并标出A,C两点的坐标.

(3)根据(2)的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2,并标出B2,C2两点的坐标.

【解析】(1)△AB1C1如图所示. (2)如图所示,A(0,1),C(-3,1). (3)△A2B2C2如图所示,B2(3,-5),C2(3,-1).

18.路边路灯的灯柱BC垂直于地面,灯杆BA的长为2m,灯杆与灯柱BC成120°角,锥形灯罩的轴线AD与灯杆AB垂直,且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线(D在中心线上).已知点C与点D之间的距离为12m,求灯柱BC的高.(结果保留根号)

【解析】设灯柱BC的长为hm,作AH⊥CD于点H,作BE⊥AH于点E.

∴四边形BCHE为矩形.

∵∠ABC=120°,∴∠ABE=30°.

又∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠ADC=60°.

在Rt△AEB中,

∴AE=ABsin30°=1,BE=ABcos30°=.∴CH=.

又∵CD=12,∴DH=12-.

在Rt△AHD中,

tan∠ADH===,

解得,h=12-4.

∴灯柱BC的高为(12-4)m.

五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)

19.如图,Rt△ABC的两直角边AC边长为4,BC边长为3,它的内切圆为☉O,☉O与边AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,延长CO交斜边AB于点G.

(1)求☉O的半径长.

(2)求线段DG的长.

【解析】(1)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB==5,

∴☉O的半径r=(AC+BC-AB)=(4+3-5)=1.

(2)过G作GP⊥AC,垂足为P,设GP=x,

由∠ACB=90°,CG平分∠ACB,得∠GCP=45°,

∴GP=PC=x,

∵Rt△AGP∽Rt△ABC,

∴=,解得x=,

即GP=,CG=,

∴OG=CG-CO=-=,

在Rt△ODG中,DG==.

20.某生姜种植基地计划种植A,B两种生姜30亩.已知A,B两种生姜的年产量分别为2000千克/亩、2500千克/亩,收购单价分别是8元/千克、7元/千克.

(1)若该基地收获两种生姜的年总产量为68000千克,求A,B两种生姜各种多少亩?

(2)若要求种植A种生姜的亩数不少于B种的一半,那么种植A,B两种生姜各多少亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多?最多是多少元?

【解析】(1)设该基地种植A种生姜x亩,那么种植B种生姜(30-x)亩,

根据题意,2000x+2500(30-x)=68000,

解得x=14.

∴30-x=16.

答:种植A种生姜14亩,种植B种生姜16亩.

(2)由题意得,x≥(30-x),解得x≥10.

设全部收购该基地生姜的年总收入为y元,则

y=8×2000x+7×2500(30-x)

=-1500x+525000.

∵y随x的增大而减小,∴当x=10时,y有最大值.

此时,30-x=20,y的最大值为510000元.

答:种植A种生姜10亩,种植B种生姜20亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多,最多为510000元.

六、(本题满分12分)

21.甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A,B两个书店购书,

(1)求甲、乙两名学生在不同书店购书的概率.

(2)求甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率.

【解析】(1)甲、乙两名学生到A,B两个书店购书的所有可能结果有:

从树状图可以看出,这两名学生到不同书店购书的可能结果有AB,BA共2种,

所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率P(甲、乙两名学生在不同书店购书)=.

(2)甲、乙、丙三名学生到A,B两个书店购书的所有可能结果有:

从树状图可以看出,这三名学生到同一书店购书的可能结果有AAA,BBB共2种,

所以甲、乙、丙到同一书店购书的概率P(甲、乙、丙到同一书店购书)==.

七、(本题满分12分)

22.抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点.

(1)求出m的值并画出这条抛物线. (2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标. (3)x取什么值时,抛物线在x轴上方? (4)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小?

【解析】(1)由抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)得:m=3.

∴抛物线为y=-x2+2x+3.图象如图.

(2)由-x2+2x+3=0,得:x1=-1,x2=3. ∴抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0). ∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴抛物线顶点坐标为(1,4).

(3)由图象可知:当-1时,抛物线在x轴上方.

(4)由图象可知:当x>1时,y的值随x值的增大而减小.

八、(本题满分14分)

23.在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°<α<90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC,BC于D,F两点.

(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?并证明你的结论.

(2)如图2,当α=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由.

(3)在(2)的情况下,求ED的长.

【解析】(1)EA1=FC.

证法一:∵AB=BC,∴∠A=∠C. 由旋转可知,AB=BC1,∠A=∠C1,∠ABE=∠C1BF, ∴△ABE≌△C1BF. ∴BE=BF,又∵BA1=BC, ∴BA1-BE=BC-BF,即EA1=FC. 证法二:∵AB=BC,∴∠A=∠C. 由旋转可知,∠A1=∠C,A1B=CB,而∠EBC=∠FBA1,∴△A1BF≌△CBE. ∴BF=BE,∴BA1-BE=BC-BF,即EA1=FC. (2)四边形BC1DA是菱形. ∵∠A1=∠ABA1=30°,

∴A1C1∥AB,同理AC∥BC1. ∴四边形BC1DA是平行四边形. 又∵AB=BC1, ∴四边形BC1DA是菱形.

(3)方法一:过点E作EG⊥AB于点G,则AG=BG=1.

在Rt△AEG中,AE===.

由(2)知四边形BC1DA是菱形,

∴AD=AB=2,

∴ED=AD-AE=2-. 方法二:∵∠ABC=120°,∠ABE=30°, ∴∠EBC=90°. 在Rt△EBC中,BE=BC·tanC=2×tan30°=. ∴EA1=BA1-BE=2-. ∵A1C1∥AB, ∴∠A1DE=∠A. ∴∠A1DE=∠A1. ∴ED=EA1=2-.

中考数学模拟试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]

1．下列实数中，有理数是（ ▲ ）

（A）； （B）； （C）； （D）．

2．下列方程有实数根的是（ ▲ ）

（A）； （B）； （C）；（D）．

3．已知反比例函数，下列结论正确的是（ ▲ ）

（A）图像经过点（-1，1）； （B）图像在第一、三象限；　

（C）y随着x的增大而减小；　 （D）当时，．

4．用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ▲ ）

（A）； （B）； （C）；（D）．

5． “a是实数，”这一事件是（ ▲ ）

（A）不可能事件； （B）不确定事件； （C）随机事件； （D）必然事件．

6． 某校40名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直方图如图1所示，成绩的中位数落在（ ▲ ）

（A）50.5~60.5分； （B）60.5~70.5分；

（C）70.5~80.5分； （D）80.5~90.5分．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]

7．计算： ▲ ．

8．因式分解： ▲ ．

9．函数的定义域是 ▲ ．0

10．不等式组的整数解是 ▲ ．

11．关于的方程的解是 ▲ ．

12．抛物线的顶点坐标是 ▲ ．

13．掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为合数的概率是 ▲ ．

14．如果点（2，）、（3，）在抛物线上，那么 ▲ ．（填“>”、 “<”或 “=”）

15．如图2，已知在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，F在边AD上，且AF︰FD=2︰1，如果，，那么 ▲ ．

16．如图3，如果两个相似多边形任意一组对应顶点、所在的直线都经过同一点O，且有，那么我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O叫做位似中心．已知与是关于点O的位似三角形，，则与的周长之比是 ▲ ．

17．如图4，在△ABC 中，BC=7，AC=，，点P为AB边上一动点（点P不与点B重合），以点P为圆心，PB为半径画圆，如果点C在圆外，那么PB的取值范围是 ▲ ．

18．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=9， BC=12，点D、E分别在边AC、BC上，且

CD︰CE=3︰4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点F处时，BF

恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是 ▲ ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]

19．(本题满分10分)

计算：．

20．(本题满分10分)

先化简，再求值：，其中．

21. (本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）

如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD=2DE，联结AE．

（1）求线段CD的长；

（2）求△ADE的面积.

22．（本题满分10分）

如图6，海中有一个小岛A，该岛四周11海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向正东方向航行，到达B处时它在小岛南偏西60°的方向上，再往正东方向行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45°方向上的点C处．问：如果货轮继续向正东方向航行，是否会有触礁的危险？

（参考数据： ，）

23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）

如图7，在梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC、BD 交于点M，点E在边 BC上，且

，联结AE，AE与BD交于点F．

（1）求证：；

（2）联结DE，如果，

求证：四边形ABED是平行四边形.

24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）

已知：如图8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像与x轴交于点

A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积；

（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标．

．

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

如图9-1，已知扇形MON的半径为，∠MON=，点B在弧MN上移动，联结BM，作ODBM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA= x，∠COM的正切值为y．

（1）如图9-2，当ABOM时，求证：AM =AC；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.

中考数学二模试卷

一、选择题：

1．B； 2．C； 3．B； 4．A； 5．D； 6．C．

二、填空题：

7．； 8．； 9．； 10．； 11． ； 12．（3，1）；

13．； 14．>； 15．； 16．1︰3； 17．； 18．6．

三、解答题：

19．解：原式=． （8分）

=． （2分）

20．解：原式=， （5分）

=， （1分）

=. （1分）

当时，原式==. （3分）

21．解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H． （1分）

∵BD平分∠ABC，∠C=90°，

∴DH = DC=x， （1分）

则AD=3x．

∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5. （1分）

∵，

∴， （1分）

∴. （1分）

（2）. （1分）

∵BD=2DE，

∴， （3分）

∴. （1分）

22．解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H． （1分）

由题意，得∠BAH=60°，∠CAH=45°，BC=10． （1分）

设AH=x，则CH=x． （1分）

在Rt△ABH中，

∵，∴， （3分）

∴，解得， （2分）

∵>11， （1分）

∴货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险． （1分）

答：货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险．

23．证明：（1）∵AD//BC，∴， （1分）

∵，∴， （1分）

∴AE//DC， （1分）

∴． （1分）

∵AD//BC，∴， （1分）

∴， （1分）

即．

（2）设，则，． （1分）

由，得，

∴， （1分）

∴． （1分）

∵AD//BC，∴， （1分）

∴， （1分）

∴四边形ABED是平行四边形. （1分）

24．解：（1）∵顶点C在直线上，∴，∴． （1分）

将A（3，0）代入，得， （1分）

解得，． （1分）

∴抛物线的解析式为． （1分）

（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N．

∵=，∴C（2，）． （1分）

∵，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°，

∴． （1分）

∵抛物线与y轴交于点B，∴B（0，），

∴． （1分）

∵抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，

∴． （1分）

（3）联结CE.

∵四边形是平行四边形，∴点是对角线与的交点，

即 .

（i）当CE为矩形的一边时，过点C作，交轴于点，

设点，在中，，

即 ，解得 ，∴点 （1分）

同理，得点 （1分）

（ii）当CE为矩形的对角线时，以点为圆心，长为半径画弧分别交轴于点

、，可得 ，得点、 （2分）

综上所述：满足条件的点有，，），．

25．解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM =∠BAM =90°． （1分）

∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M，∴∠ABM =∠DOM． （1分）

∵∠OAC=∠BAM，OC =BM，

∴△OAC≌△ABM， （1分）

∴AC =AM． （1分）

（2）过点D作DE//AB，交OM于点E． （1分）

∵OB＝OM，OD⊥BM，∴BD＝DM． （1分）

∵DE//AB，

∴，∴AE＝EM，

∵OM=，∴AE＝． （1分）

∵DE//AB，

∴， （1分）

∴，

∴．（） （2分）

（3）（i） 当OA=OC时，

∵，

在Rt△ODM中，．∵，

∴．解得，或（舍）． （2分）

（ii）当AO=AC时，则∠AOC =∠ACO，

∵∠ACO >∠COB，∠COB =∠AOC，∴∠ACO >∠AOC，

∴此种情况不存在． （1分）

（ⅲ）当CO=CA时，

则∠COA =∠CAO=，

∵∠CAO >∠M，∠M=，∴>，∴>，

∴，∵，∴此种情况不存在． （1分）

中考数学模拟试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．中国海军第一艘国产航母001A型航母在2017年4月26日下水,该航母的飞行甲板长约300米，宽约70米，总面积约21000平方米.将21000用科学记数法表示应为

A． B． C． D．

2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

A．a<-2 B．b >-1　 C．-a<-b　　　 D．a >

3. 如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为

A．45°

B．55°

C．135°

D．145°

4.内角和与外角和相等的多边形是

A B C D

5．在一个不透明的袋子里装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外，没有任何区别． 现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是

A． B．　 C．　　　 D．

6. 下列图标中，是轴对称的是

A B C D

7.中国象棋是中华民族的文化瑰宝,它渊远流长,趣味浓厚．如图，在某平面直角坐标系中，所在位置的坐标为(-3, 1),所在位置的坐标为(2,-1), 那么， 所在位置的坐标为

A．（0，1） 　 B．（4，0） C．（-1，0） D．（0，-1）

8.抛物线的顶点坐标为

A．（3，–6） B．（3，12） C．（–3，-9） D．（–3，–6）

9.如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，垂足为D，OA=，

∠B=22.5°，AB的长为

A．2 B．4

C． D．

10. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭8次，三人的测试成绩如下表:

s2甲、s 2乙、s 2丙分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的方差，下面各式中正确的是

A．s 2甲＞s 2乙＞s 2丙 B．s 2乙＞s 2甲＞s 2丙

C．s 2丙＞s 2甲＞s 2乙 D．s 2丙＞s 2乙＞s 2甲

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11.在函数中，自变量x的取值范围是 ．

12. 分解因式：ax2-4ay2= ．

13. 写出一个图象经过点（1，1）的函数的表达式，所写的函数的表达式为 ．

14.在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为45m，那么这栋楼的高度为 m．

15.在一段时间内，小军骑自行车上学和乘坐公共汽车上学的次数基本相同，他随机记录了其中某些天上学所用的时间，整理如下表：

下面有四个推断：

①平均来说，乘坐公共汽车上学所需的时间较短

②骑自行车上学所需的时间比较容易预计

③如果小军想在上学路上花的时间更少,他应该更多地乘坐公共汽车

④如果小军一定要在16 min内到达学校，他应该乘坐公共汽车

其中合理的是 （填序号）．

16．阅读下面材料：

数学课上，老师提出如下问题：

小强的作法如下：

老师表扬了小强的作法是对的．

请回答：小强这样作图的主要依据是 ．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17.计算：.

18. 已知，求代数式的值.

19. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.

20.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高,

过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E.

求证:CE=AB

21.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.

（1）求m的取值范围；

（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值.

22.调查作业：了解你所在学校学生本学期社会实践活动的情况.

小明、小亮和小天三位同学在同一所学校上学.该学校共有三个年级，每个年级都有6个班，每个班的人数在30~40之间.

为了了解该校学生本学期社会实践活动的情况，他们各自设计了如下的调查方案：

小明：我给每个班学号分别为1、2、11、12、21、22的同学各发一份问卷，一两天就可以得到结果.

小亮：我把要调查的问题放在某两个班的微信群里，这样群里的大部分人就可以完成调

查的问题，并很快就可以反馈给我.

小天：我给每个班发一份问卷，一两天也就可以得到结果了.

根据以上材料回答问题：

小明、小亮和小天三人中，哪一位同学的调查方案能较好地获得该校学生本学期社会实践活动的情况，并简要说明其他两位同学调查方案的不足之处.

23. 如图，在中，BC=2AB，E，F分别是BC，AD的中点， AE，BF交于点O，连接EF，OC.

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若BC=8， ，求OC的长.

24.阅读下列材料：

自2011年以来，朝阳区统筹推进稳增长、调结构、促改革、惠民生等各项工作，经济转型发展不断加快，全区经济实力不断迈上新台阶．

2011年，朝阳区生产总值3272.2 亿元． 2012年，朝阳区生产总值3632.1 亿元，比上年增长359.9亿元． 2013年，朝阳区生产总值4030.6 亿元，比上年增长398.5亿元．2014年，朝阳区生产总值4337.3 亿元，比上年增长7.6%．2015年，朝阳区生产总值4640.2 亿元，比上年增长7.0%，其中，第一产业1.2 亿元，第二产业358.0 亿元，第三产业4281.0 亿元．2016年，朝阳区生产总值4942.0亿元，比上年增长6.5%，居民人均可支配收入达到59886元，比上年增长8%．

根据以上材料解答下列问题:

(1)用折线图将2011-2016年朝阳区生产总值表示出来，并在图中标明相应数据;

(2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2017年朝阳区生产总值约 亿元，你的预估理由是 ．

25．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O过D、A、B三点，OD∥BC．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）OD， AB相交于点E，若AB=AC，OD=r，写出求AE长的思路．

26. 下面是小东的探究学习过程，请补充完整：

（1）探究函数（x＜1）的图象与性质．

小东根据学习函数的经验，对函数（x＜1）的图象与性质进行了探究．

①下表是y与x的几组对应值．

求m的值；

②如下图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

③进一步探究发现，该函数图象的最高点的坐标是（0，1），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）： _____；

（2）小东在（1）的基础上继续探究：他将函数（x＜1）的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到函数（x＜2）的图象，请写出函数（x＜2）的一条性质：_____.

27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．

（1）求点A，B的坐标；

（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．

28.在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点D与点C在直线AB的两侧，连接CD．

(1) 如图1，若∠ABC=30°，则∠CAD的度数为 ．

(2)已知AC=1，BC=3.

①依题意将图2补全；

②求CD的长；

小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成了求CD长的几种想法：

想法1:延长CB，在CB延长线上截取BE=AC，连接DE.要求CD的长，需证明

△ACD≌△BED，△CDE为等腰直角三角形.

想法2:过点D作DH⊥BC于点H，DG⊥CA，交CA的延长线于点G，要求CD的长，需证明△BDH≌△ADG，△CHD为等腰直角三角形.

……

请参考上面的想法，帮助小聪求出CD的长（一种方法即可）.

(3)用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．

29. 在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r(r＞0)的⊙O和点P，给出如下定义：

若r≤PO≤，则称P为⊙O的“近外点”．

（1）当⊙O 的半径为2时，点A(4，0)， B (，0)，C(0， 3)，D (1，-1) 中，

⊙O的“近外点”是 ；

（2）若点E（3，4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；

（3）当⊙O 的半径为2时，直线（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于

点N，若线段MN上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围.

数学试卷评分标准及参考答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答 案 A B C C B D D A B D

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11. x≥2.

12. .

13. 答案不惟一 ,如:y=x.

14. 18.

15.①②③.

16. 同圆半径相等；线段垂直平分线的定义；三角形的中位线平行于第三边.

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17．解：原式=

=3.

18．解：

=

= ．

∴原式=1.

19．解: 去分母，得 .

移项，得 ．

合并，得 ．

系数化1,得 ．

不等式的解集是在数轴上表示如下 :

20．证明：∵ ，

∴∠BAE=∠CAE．

∵CE∥AB，

∴∠E=∠BAE．

∴∠E=∠CAE．

∴CE=AC.

∵AB=AC，

∴CE=AB.

21．解：(1)依题意，得 =16-4（2m-1）＞0.

∴ m＜ .

(2)∵m为正整数，

∴m=1或2.

当m=1时，方程为 的根 不是整数；

当m=2时，方程为 的根 ，都是整数.

综上所述，m=2.

22．答:小明的调查方案能较好地获得该校学生本学期社会实践活动的情况.

小亮的调查方案的不足之处:抽样调查所抽取的样本的代表性不够好.

小天的调查方案的不足之处:抽样调查所抽取的学生数量太少.

23. (1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，BC=AD .

∵E，F分别是BC，AD的中点，

∴ .

∴BE=AF.

∴四边形ABEF是平行四边形.

∵BC=2AB，

∴AB=BE.

∴ ABEF是菱形.

（2）解：过点O作OG⊥BC于点G.

∵E是BC的中点，BC=8，

∴BE=CE=4.

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，

∴∠OBE=30，∠BOE=90°.

∴OE=2，∠OEB=60°.

∴GE=1，OG= .

∴GC=5.

∴OC= .

24．解： (1) 2011—2016年朝阳区生产总值折现统计图

(2)预估理由须包含折线图中提供的信息，且支撑预估的数据.

25．（1）证明：连接OB．

∵∠A=45°，

∴∠DOB=90°．

∵OD∥BC,

∴∠DOB+∠CBO =180°.

∴∠CBO=90°．

∴ 直线BC是⊙ 的切线．

（2）求解思路如下：

如图,延长BO交⊙ 于点F，连接AF.

①由AB=AC，∠BAC=45°，可得∠ABC=67.5°，∠ABF=22.5°；

②在Rt△EOB中，由OB=r，可求BE的长；

③由BF是直径,可得∠FAB=90°，在Rt△FAB中，由BF=2r，

可求AB的长，进而可求AE的长.

26.解: （1）①当x= 时，y= .

∴ .

②该函数的图象如下图所示：

③答案不惟一，如：当x＜0时，y随x的增大而增大.

（2）答案不惟一，如：函数图象的最高点坐标为（1,2）.

27．解：（1）由题意，当x=0时，y=2.

∴A(0,2).

∵ ，

∴对称轴为直线x=1.

∴B(1,0).

（2）由题意，C（-1,0），D（3,0）.

①当m＞0时，

结合函数图象可知，满足题意的抛物线的顶点须在x轴下方，

即2-m＜0.

∴m＞2.

②当m＜0时，

过C（-1,0）的抛物线的顶点为E（1， ）.

结合函数图象可知，满足条件的抛物线的顶点须在点E上方或与点E重合，

即2-m≥ .

∴m≤ .

综上所述，m的取值范围为m＞2或m≤ .

28．解：（1）105°.

（2）①补全图形，如图所示.

②想法1：

如图，

∵∠ACB=∠ADB =90°，

∴∠CAD+∠CBD==180°.

∵∠DBE+∠CBD==180°，

∴∠CAD=∠DBE.

∵DA=DB，AC=BE，

∴△ACD≌△BED．

∴DC=DE，∠ADC=∠BDE.

∴∠CDE =90°.

∴△CDE为等腰直角三角形.

∵AC=1，BC=3,

∴CE=4.

∴CD= .

想法2：

如图，

∵∠ACB=∠ADB =90°，

∴∠CAD+∠CBD==180°.

∵∠DAG+∠CAD==180°，

∴∠CBD=∠DAG.

∵DA=DB，∠DGA=∠DHB=90°，

∴△BDH≌△ADG．

∴DH=DG，BH=AG.

∴∠DCH=∠DCG=45°.

∴△CHD为等腰直角三角形.

∵AC=1，BC=3，

∴CH=2.

∴CD= .

（3） .

29.解：（1）B，C.

（2）∵E（3，4）

∴EO=5.

∴

∴ .

（3） .

说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.

中考数学模拟试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．计算－7－1的结果为（ ）

A．7 B．－6 C．－8 D．6

2．函数y=中自变量x的取值范围是（ ）

A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＞2

3．计算m2+2m2的结果是（ ）

A．2m4 B．3m2 C．3m4 D．2m2

4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）

A．20 B．24 C．28 D．30

5．运用乘法公式计算（a－2）2的结果是（ ）

A．a2－4a+4 B．a2－2a+4 C．a2－4 D．a2－4a－4

6．在平面直角坐标系中，已知点A（－4，2），B（－6，－4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）

A．（－2，1） B．（一2，1）或（2，一1） C．（一8，4） D．（－8，4）或（8，－4）

7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（ ）

A． B． C． D．

8．初三（5）班体委用划记法统计本班40名同学投掷实心球的成绩，结果如右图所示: 则这40名同学投资实心球的成绩的众数和中位数分别是（ ）

A．9，8 B．9，8.5 C．8，8 D．8，8.5

9．如右图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4, ∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有（ ）个

A．4 B．5 C．6 D．7

10．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x的值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．12

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．计算= ．

12．计算:+的结果为 ．

13．一个不透明的口袋中有2个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其它差别．现从袋子中随机一次摸出两个球，则是两个红球的概率是 ．

14．如图，点E是菱形ABCD的边AD延长线上的点，AE =AC，CE=CB，则∠B的度数为 ．

15．如图，D为△ABC内一点，且AD =BD，若∠ACD=∠DAB=45°，AC=5，则S△ABC= ．

第14题图第15题图

16．反比例函数y=（1≤x≤8）的图象记为曲线C1，将C1沿y轴翻折，得到曲线C2，直线y=－x+b 与C1 ，C2一共只有两个公共点，则b的取值范围是 ．

答题卷

班级： 姓名： 总分 ：

一．选择题：（每小题3分，共30分）

二．填空题（每小题3分，共18分）

11． 12． 13．

14． 15． 16．