第2节 简谐运动的描述

[探新知·基础练]

1．振幅

(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示。

(2)物理意义：表示振动的强弱，是标量。

2．全振动

类似于O→B→O→C→O的一个完整振动过程。

3．周期(T)和频率(f)

4．相位

描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)

1．简谐运动的振幅大，振动物体的周期一定大。(×)

2．简谐运动的振幅大，振动物体的最大位移一定大。(√)

3．简谐运动的快慢可以用频率和振幅来描述。(×)

[释疑难·对点练]

1．对全振动的理解

正确理解全振动的概念，应注意把握振动的五种特征：

(1)振动特征：一个完整的振动过程。

(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。

(3)时间特征：历时一个周期。

(4)路程特征：振幅的4倍。

(5)相位特征：增加2π。

2．简谐运动中振幅和几个常见量的关系

(1)振幅和振动系统的能量关系：

对一确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大。

(2)振幅与位移的关系：

振动中的位移是矢量，振幅是标量，在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。

(3)振幅与路程的关系：

振动中的路程是标量，是随时间不断增大的，其中常用的定量关系——一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅。

(4)振幅与周期的关系：

在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。

3．弹簧振子四分之一周期内的路程

一质点做简谐运动的位移图象如图甲所示。O是平衡位置，B、C均为最大位移处，用A表示振幅，T表示周期，s表示时间内经过的路程。

(1)质点从位置P向平衡位置O运动，然后经过O点运动至Q点，假设从P到Q历时，那么在这段时间内质点运动的路程如何？比较质点由B到O的运动和由P到Q的运动，注意到PO段的运动是相同的；再来比较BP段和OQ段的运动，发现BP段质点运动得慢一些，OQ段质点运动得快一些，而两段运动的时间是相同的，所以＜。故质点从P运动到Q的路程大于从B运动到O的路程，即s＞A。

(2)质点从Q点向位置C处运动，然后再从C往回运动至M，假设运动时间也是，如图乙所示，那么在这段时间内质点运动的路程如何？比较质点从O至C的运动和从Q到C再到M的运动，注意到QC段的运动是相同的，只需比较OQ段和CM段的运动，容易知道质点在OQ段比CM段运动得快，而运动时间相同，所以＞。故质点从Q运动到C再到M的路程小于从O运动到C的路程，即s＜A。

(3)连续观察质点从P到Q，再经C到M的过程。若运动的总时间为，容易证明，M和P关于平衡位置O对称，质点通过的总路程为2A。

综上分析，可得到结论：做简谐运动的质点，在向平衡位置运动的过程中，取某一位置开始计时，质点在时间内通过的路程s＞A；在远离平衡位置的过程中，取某一位置开始计时，质点在时间内通过的路程s＜A；而如果计时起点就选在最大位移处或者平衡位置，那么质点在时间内通过的路程s＝A。

[特别提醒]　简谐运动的振幅大，振动物体的位移不一定大，但其最大位移一定大。

[试身手]

1．一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸。当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图象。y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标。由此图求得，振动的周期为______和振幅为______。

解析：由图象可知，振子在一个周期内沿x方向的位移为2x0，水平速度为v，故周期T＝；又由图象知2A＝y1－y2，故振幅A＝。

答案：　

[探新知·基础练]

简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)

(1)x表示振动物体相对于平衡位置的位移。

(2)A表示简谐运动的振幅。

(3)ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf。

(4)ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t＝0时的相位，叫做初相。

[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)

1．做简谐运动的质点先后通过同一点，速度、加速度、位移都是相同的。(×)

2．做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。(√)

3．做简谐运动的质点，位移增大时，其速度一定减小。(√)

[释疑难·对点练]

1．简谐运动的表达式理解

做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式：x＝Asin(ωt＋φ), 由简谐运动的表达式可以直接读出振幅A、圆频率ω和初相φ。据ω＝或ω＝2πf可求周期T或频率f，可以求某一时刻质点的位移x。

2．简谐运动的相位及相位差的理解

(1)ωt＋φ表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。

(2)相位差是指两个相位之差，在实际应用中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，它反映出两个简谐运动的步调差异。

设两频率相同的简谐运动的振动方程分别为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，它们的相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1。可见，其相位差恰好等于它

们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。

(3)若Δφ＝φ2－φ1＞0，则称B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ； 若Δφ＝φ2－φ1＜0，则称B的相位比A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|。

①同相：表明两个振动物体步调相同，相差位Δφ＝0；

②反相：表明两个振动物体步调完全相反，相位差Δφ＝π。

[试身手]

2．两个简谐运动的表达式分别为x1＝4asin(4πbt＋)，x2＝2asin(4πbt＋)。求它们的振幅之比，各自的频率。

解析：它们的振幅之比＝＝；

它们的频率相同，都是f＝＝＝2b。

答案：2∶1　频率均为2b

[典例1]　弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，B、C相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，求：

(1)振子的振幅；

(2)振子的周期和频率；

(3)振子在5 s内通过的路程及位移大小。

[思路点拨]　对做简谐运动的弹簧振子而言，离平衡位置最远的两个点关于平衡位置对称，其距离为2A。一个全振动的时间叫做周期，周期和频率互为倒数关系。简谐运动的位移是振子离开平衡位置的距离。要注意各物理量之间的区别与联系。

[解析]　(1)设振幅为A，则有2A＝BC＝20 cm，所以

A＝10 cm。

(2)从B首次到C的时间为周期的一半，因此

T＝2t＝1 s；

再根据周期和频率的关系可得

f＝＝1 Hz。

(3)振子一个周期通过的路程为4A＝40 cm，即一个周期运动的路程为40 cm，

s＝×4A＝5×40 cm＝200 cm

5 s的时间为5个周期，又回到起始点B，位移大小为10 cm。

[答案]　(1)10 cm　(2)1 s　1 Hz　(3)200 cm

10 cm

(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：

①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A；

②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅；

③振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于振幅。

(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。

1.周期性

做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回复到原来的状态。

2．对称性

如图所示，物体在A和B之间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则：

(1)时间的对称

①振动质点来回通过相同的两点间经过的时间相等，如tDB＝tBD；

②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。

(2)速度的对称

①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反；

②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。

[典例2]　一个质点在平衡位置O点的附近做简谐运动，它离开O点运动后经过3 s时间第一次经过M点，再经过2 s第二次经过M点，该质点再经过________s第三次经过M点。若该质点由O点出发在20 s内经过的路程是20 cm，则质点做振动的振幅为________ cm。

[思路点拨]　根据简谐运动的周期性和对称性分析解决问题。

[解析]　作出该质点做振动的图象如图所示，则M点的位置可能有两个，即如图所示的M1或M2。

第一种情况：若是位置M1，由题图可知＝3 s＋1 s＝4 s，T1＝16 s，根据简谐运动的周期性，质点第三次经过M1时所需时间为一个周期减第二次经过M点的时间，故Δt1＝16 s－2 s＝14 s。

质点在20 s内(即n＝＝个周期)的路程为20 cm，故由5A1＝20 cm，得振幅A1＝4 cm。

第二种情况：若是位置M2，由题图可知＝3 s＋1 s＝4 s，T2＝s。根据对称性，质点第三次经过M2时所需时间为一个周期减第二次经过M点的时间，故Δt2＝s－2 s＝s。

质点在20 s内(即n＝＝个周期内)的路程为20 cm，故由15A2＝20 cm，得振幅A2＝cm。

[答案]　14　4或　

简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可作如下判断：

(1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。

(2)若t2－t1＝nT＋T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反。

(3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。

[课堂对点巩固]

1．如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间为1 s，则下列说法正确的是(　　)

A．振子从B经O到C完成一次全振动

B．振动周期是1 s，振幅是10 cm

C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm

D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm

解析：选D　振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm，A、B错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动振子通过的路程为40 cm，C错误；3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm，D正确。

2．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，下列说法正确的是(　　)

A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍

B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍

C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等

D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等

解析：选C　对选项A，只能说明这两个时刻振子处于同一位置，设为P，如图所示，并未说明这两个时刻振子的运动方向是否相同，Δt可以是振子由P向B再回到P的时间，故认为Δt一定等于T的整数倍是错误的；对选项B，振子两次到P位置时速度大小相等、方向相反，但并不能肯定Δt等于的整数倍，选项B也是错误的；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必须相等，选项C是正确的；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置可位于与P相对称的P′处，在P处弹簧处于伸长状态，在P′处弹簧处于压缩状态，弹簧长度并不相等，选项D是错误的。

3．(浙江高考)一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　　)

A．0.5 s B．0.75 s

C．1.0 s D．1.5 s

解析：选C　由于振幅A为20 cm，振动方程为y＝Asin ωt(从游船位于平衡位置时开始计时，ω＝)，由于高度差不超过10 cm时，游客能舒服登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t1＝，t2＝，所以在一个周期内能舒服登船的时间为Δt＝t2－t1＝＝1.0 s，选项C正确。

4．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。

(1)求弹簧振子振动周期T；

(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；

(3)若B、C之间的距离为25 cm。从平衡位置计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象。

解析：(1)弹簧振子做简谐运动的示意图如图甲所示。由对称性可得：T＝s×4＝1.0 s。

(2)B、C间的距离为2个振幅，则振幅

A＝×25 cm＝12.5 cm。

振子4.0 s内通过的路程为：

s＝×4×12.5 cm＝200 cm。

(3)根据x＝Asin ωt，

A＝12.5 cm，ω＝＝2π。

得x＝12.5sin 2πt cm。

振动图象如图乙所示。

答案：(1)1.0 s　(2)200 cm　(3)x＝12.5sin 2πt cm　图象见解析图

[课堂小结]

[课时跟踪检测二]

一、单项选择题

1.如图所示，弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则(　　)

A．从B→O→C为一次全振动

B．从O→B→O→C为一次全振动

C．从C→O→B→O→C为一次全振动

D．从D→C→O→B→O为一次全振动

解析：选C　由全振动的概念可知C正确。

2.如图所示，弹簧振子的频率为5 Hz，让振子从B位置开始振动，并开始计时，则经过0.12 s时(　　)

A．振子位于BO之间，运动方向向右

B．振子位于BO之间，运动方向向左

C．振子位于CO之间，运动方向向右

D．振子位于CO之间，运动方向向左

解析：选C　因弹簧振子频率为5 Hz，则周期为0.2 s，题中所给的时间0.12 s＝T＜T，而＜T＜T，因此在0.12 s时，振子应位于CO之间且正向右运动，所以选项C正确，A、B、D错误。

3．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x(弹性限度内)后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)

A．1∶1,1∶1 B．1∶1,1∶2

C．1∶4,1∶4 D．1∶2,1∶2

解析：选B　弹簧的压缩量即为弹簧振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2。而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，则周期之比为1∶1，选项B正确。

4．周期为2 s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为(　　)

A．15次，2 cm B．30次，1 cm

C．15次，1 cm D．60次，2 cm

解析：选B　已知该简谐运动的周期为2 s，半分钟为15个周期，一个周期的路程为4倍的振幅，故半分钟内振子经过平衡位置的次数为30次；15个周期的路程为60A，即60A＝60 cm，故A＝1 cm，B正确。

5.物体做简谐运动，其图象如图所示，在t1和t2两时刻，物体的(　　)

A．相位相同

B．位移相同

C．速度相同

D．加速度相同

解析：选C　由题图可知物体做简谐运动的振动方程为x＝Asin ωt, 其相位为ωt，故t1与t2的相位不同，A错；t1时刻位移大于零，t2时刻位移小于零，B、D错；由振动图象知t1、t2时刻物体所处位置关于平衡位置对称，速率相同，且均向下振动，方向相同，C对。

6．如图所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为(　　)

A．0.2 s B．0.4 s C．0.1 s D．0.3 s

解析：选A　简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的，即0.2 s，A正确。

二、多项选择题

7．下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是(　　)

A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处

B．周期和频率的乘积是一个常数

C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小

D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关

解析：选BD　振幅是标量，A错误；周期和频率互为倒数，即Tf＝1，B正确；简谐运动的周期、频率由系统本身决定，与振幅没有关系，所以C错误，D正确。

8．一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．质点振动频率为4 Hz

B．在10 s内质点经过的路程为20 cm

C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π

D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是cm

解析：选BD　由题图知T＝4 s故f＝0.25 Hz，A错；在10 s内质点完成的全振动次数为n＝＝次，在一次全振动过程中质点通过的路程为4A＝8 cm，故10 s内通过的路程为×8 cm＝20 cm，B对；5 s末质点的相位为t＝×5＝π，故C错；由振动方程x＝Asint＝2sint知，当t1＝1.5 s时，x1＝cm，当t2＝4.5 s 时，x2＝cm，故D对。

9．弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s，则(　　)

A．振子的振动周期是2 s，振幅是8 cm

B．振子的振动频率是2 Hz

C．振子完成一次全振动通过的路程是16 cm

D．振子通过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm

解析：CD　由题干知A、B之间的距离为8 cm，则A＝4 cm，A错；周期T＝s＝2 s，所以振子的振动频率为f＝Hz＝0.5 Hz，B错；振子完成一次全振动所通过的路程为4个振幅，即4A＝16 cm，C对；3 s内通过的路程是6个振幅，即6A＝24 cm，D对。

10.如图所示，弹簧振子的小球在B、C之间做简谐运动，O为B、C间的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法中正确的是(　　)

A．小球的最大位移是10 cm

B．只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是零

C．无论小球在哪一位置，它的振幅都是5 cm

D．从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是20 cm

解析：选CD　小球的最大位移是5 cm，故A错误；振幅是小球离开平衡位置的最大距离，即小球在任何位置时振幅都是5 cm，故B错误，C正确；从任意时刻起小球在一个周期内的路程为4A＝4×5 cm＝20 cm，故D正确。

11．一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系如图所示，由图可知(　　)

A．频率是2 Hz

B．振幅是5 cm

C．t＝1.7 s时的加速度为正，速度为负

D．t＝0.5 s时质点所受的合外力为零

解析：选CD　由题图可知，质点振动的周期为2.0 s，易得频率为0.5 Hz。振幅为5 m，A、B选项错误；t＝1.7 s时的位移为负，加速度为正，速度为负，C选项正确；t＝0.5 s时质点在平衡位置，所受的合外力为零，D选项正确。

三、非选择题

12．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动。

(1)试写出用正弦函数表示的振动方程。

(2)10 s内通过的路程是多少？

解析：(1)简谐运动振动方程的一般表示式为

x＝Asin(ωt＋φ)。

根据题目条件，有：A＝0.08 m，ω＝2πf＝π。所以

x＝0.08sin(πt＋φ)m。

将t＝0，x＝0.04 m，代入得

0．04 m＝0.08sin φ m，

解得初相位φ＝或φ＝π，

因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝π。

故所求的振动方程为x＝0.08sin(πt＋π)m。

(2)周期T＝＝2 s，所以

10 s＝5T，

因1T内的路程是4A，

则10 s内通过的路程s＝5×4A＝20×8 cm＝160 cm。

答案：(1)x＝0.08sin(πt＋π)m　(2)160 cm

高中物理第十一章机械振动第2节简谐运动的描述学案新人教版选修3 - 4