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内部文件，版权追溯

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1．1.1　算法的概念

(1)利用加减消元法求解一般的二元一次方程组的步骤有哪些？

(2)在数学中算法是如何定义的？

(3)算法的特征是什么？

(4)解决一类问题的算法是唯一的吗？是不是任何一个算法都有明确的结果？

1．算法的概念

在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．

现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．

2．算法的特征

(1)确定性：算法中每一步都是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果．

(2)有限性：一个算法的步骤是有限的，不能无限地进行下去，它能在有限步的操作后解决问题．

(3)有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步．

(4)不唯一性：解决一个问题可以有多种不同的算法．

(5)普遍性：给出一个算法的程序步骤，它可以解决一类问题，并且能够多次重复使用．

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)求解一类问题的算法是唯一的(　　)

(2)算法必须在有限步骤操作之后解决问题(　　)

(3)算法执行后一定产生确定的结果(　　)

解析：由算法具有有限性、确定性和不唯一性可知(1)错，(2)、(3)对．

答案：(1)×　(2)√　(3)√

2．下列叙述不能称为算法的是(　　)

A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海

B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1

C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22

D．解方程x2－2x＋1＝0

解析：选D　选项A，B给出了解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算，也属于算法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．

3．下面是某人出家门先打车去火车站，再坐火车去北京的一个算法，请补充完整．

第一步，出家门．

第二步，________________.

第三步，坐火车去北京．

答案：打车去火车站

[典例]　下列说法正确的是(　　)

A．算法就是某个问题的解题过程

B．算法执行后可以产生不同的结果

C．解决某一个具体问题算法不同，则结果不同

D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施

[解析]　选项B正确，例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A，算法不能等同于解法；选项C，解决某一个具体问题算法不同，但结果应相同；选项D，算法可以为很多次，但不可以无限次．

[答案]　B

算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．

[活学活用]

有人对哥德巴赫猜想“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤：

第一步，检验6＝3＋3.

第二步，检验8＝3＋5.

第三步，检验10＝5＋5.

……

利用计算机一直进行下去！

请问：利用这种步骤能够证明猜想的正确性吗？这是一个算法吗？

解：利用这种步骤不能证明猜想的正确性．此步骤不满足算法的有限性，因此不是算法.

[典例]　写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．

[解]　法一：第一步，计算1＋2得到3.

第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6.

第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10.

第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15.

第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21.

法二：第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7.

第二步，计算3×7.

设计具体问题的算法的一般步骤

(1)分析问题，找出解决问题的一般数学方法；

(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；

(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；

(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．

[活学活用]

1．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法如下，请补充完整．

第一步，求1×3得结果3.

第二步，将第一步所得结果3乘以5，得到结果15.

第三步，_________________________________________________________________.

第四步，再将第三步所得结果105乘以9，得到结果945.

第五步，再将第四步所得结果945乘以11，得到结果10 395，即为最后结果．

解析：依据算法功能可知，第三步应为“再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105”．

答案：再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105

2．写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．

解：法一：第一步，移项得x2－2x＝3.①

第二步，①式两边同时加1，并配方得(x－1)2＝4.②

第三步，②式两边开方，得x－1＝±2.③

第四步，解③式得x1＝3，x2＝－1.

法二：第一步，计算出一元二次方程的判别式的值，并判断其符号．显然Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0.

第二步，将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x1,2＝，得x1＝3，x2＝－1.

[层级一　学业水平达标]

1．下列关于算法的说法中正确的个数有(　　)

①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③x2－x＞2是一个算法；④算法执行后一定产生确定的结果．

A．1　　　　　　　 　　 B．2

C．3 D．4

解析：选B　依据算法的多样性(不唯一性)知①错误；由算法的有限性，确定性知②④正确；因为x2－x＞2仅仅是一个数学问题，不能表达一个算法，所以③是错误的；由于算法具有可执行性，正确的有②④.

2．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：(　　)

①计算c＝；②输入直角三角形两直角边长a，b的值；③输出斜边长c的值．其中正确的顺序是(　　)

A．①②③ B．②③①

C．①③② D．②①③

解析：选D　明确各步骤间的关系即可知D选项正确．

3．下列叙述中，

①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；

②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…99＋1＝100；

③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州；

④3x＞x＋1；

⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….

能称为算法的个数为(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：选B　根据算法的含义和特征知：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x＞x＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．

4．下列所给问题中，不能设计一个算法求解的是(　　)

A．用“二分法”求方程x2－3＝0的近似解(精确度0.01)

B．解方程组

C．求半径为2的球的体积

D．求S＝1＋2＋3＋…的值

解析：选D　对于D，S＝1＋2＋3＋…，不知道需要多少步完成，所以不能设计一个算法求解．

[层级二　应试能力达标]

1．一个厂家生产商品的数量按照每年比前一年都增加18%的比率递增，若第一年的产量为a，“计算第n年的产量”的算法中用到的一个函数解析式是(　　)

A．y＝an0.18 B．y＝a(1＋18%)n

C．y＝a(1＋18%)n－1 D．y＝n(1＋18%)n

解析：选C　根据已知条件可以得出满足题意的函数解析式为y＝a(1＋18%)n－1.

2．如下算法：

第一步，输入x的值．

第二步，若x≥0，则y＝x.

第三步，否则，y＝x2.

第四步，输出y的值．

若输出的y值为9，则x的值是(　　)

A．3 B．－3

C．3或－3 D．－3或9

解析：选D　根据题意可知，此为分段函数

y＝的算法，

当x≥0时，x＝9；

当x＜0时，x2＝9，所以x＝－3.

综上所述，x的值是－3或9.

3．对于算法：

第一步，输入n.

第二步，判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步．

第三步，依次从2到(n－1)检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第四步；若能整除n，则结束算法．

第四步，输出n.

满足条件的n是(　　)

A．质数 B．奇数

C．偶数 D．约数

解析：选A　此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到(n－1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数．

4．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程．从下列选项中选出最好的一种算法(　　)

A．第一步，洗脸刷牙．第二步，刷水壶．第三步，烧水．第四步，泡面．第五步，吃饭．第六步，听广播

B．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭．第五步，听广播

C．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭同时听广播

D．第一步，吃饭同时听广播．第二步，泡面．第三步，烧水同时洗脸刷牙．第四步，刷水壶

解析：选C　因为A选项共用时间36 min，B选项共用时间31 min，C选项共用时间23 min，D选项的算法步骤不符合常理，故选C.

5．以下是解二元一次方程组的一个算法，请将该算法补充完整．

第一步，①②两式相加得3x＋9＝0.　　③

第二步，由③式可得________. ④

第三步，将④式代入①式，得y＝0.

第四步，输出方程组的解________．

解析：由3x＋9＝0，得x＝－3，即④处应填x＝－3；把x＝－3代入2x－y＋6＝0，得y＝0，即方程组的解为

答案：x＝－3　

6．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：

第一步，输入A＝89，B＝96，C＝99.

第二步，__________________________.

第三步，__________________________.

第四步，输出计算的结果．

解析：应先计算总分D＝A＋B＋C，然后再计算平均成绩E＝.

答案：计算总分D＝A＋B＋C　计算平均成绩E＝

7．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的步骤是________(填序号)．

①配方得(x－2)2＝1；

②移项得x2－4x＝－3；

③解得x＝1或x＝3；

④开方得x－2＝±1.

解析：使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行．

答案：②①④③

8．对任意三个整数a，b，c，写出求最大数的算法．

解：算法如下：

第一步，令max＝a.

第二步，比较max与b的大小，若b>max，则令max＝b；否则，执行第三步．

第三步，比较max与c的大小，若c>max，则令max＝c；否则，执行第四步．

第四步，max就是a，b，c中的最大数．

9．已知直线l1：3x－y＋12＝0和直线l2：3x＋2y－6＝0，设计一个算法，求l1和l2及y轴所围成的三角形的面积．

解：算法如下：

第一步，解方程组得l1，l2的交点为P(－2，6)．

第二步，在方程3x－y＋12＝0中，令x＝0，得y＝12，从而得到l1与y轴的交点为A(0,12)．

第三步，在方程3x＋2y－6＝0中，令x＝0，得y＝3，从而得到l2与y轴的交点为B(0,3)．

第四步，求出△ABP的边长AB＝12－3＝9.

第五步，求出△ABP的边AB上的高h＝2.

第六步，根据三角形的面积公式计算S＝·AB·h＝×9×2＝9.

第七步，输出S.

18学年高中数学第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念教学案新人教A版必修3